求圓錐曲線中的最值，勿忘“定義”

傅建紅

圓錐曲線的定義是對圓錐曲線本質(zhì)特征的深刻揭示，利用它來解決與圓錐曲線焦點或準線相關(guān)的問題時，?？蓛?yōu)化解題思路，化難為易、變繁為簡.本文利用定義探討圓錐曲線中形如“PA±PB（其中P為圓錐曲線上的動點，A，B為‘給定的兩點）”形式的幾何最值問題，針對A，B兩點的不同“給定”，分如下三種情形予以說明，供參考.

A，B兩點均為動點

例1 如圖1，點P在曲線C1：+=1上，點A在曲線C2：（x-8）2+y2=1上，點B在曲線C3：（x+8）2+y2=1上，則PA+PB的最小值是________.

破解 如圖1，由于P，A，B三點均為自由動點，所以（PA+PB）min=PAmin+PBmin. 先將P點“固定”（暫時看做定點），則當A點在圓C2上運動時，易知PAmin=PC2-1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA+PB）min=PC2+PC3-2. 注意到兩圓的圓心C2，C3恰為橢圓C1的左、右焦點，由橢圓的第一定義知：PC2+PC3=2a=20（不論P點如何運動），所以PA+PB的最小值是18.

變式1 如圖2，點P在曲線C1：-=1上，點A在曲線C2：（x-5）2+y2=1上，點B在曲線C3：（x+5）2+y2=1上，則PA-PB的最大值是_____.

破解 如圖2，由于P，A，B三點均為自由動點，所以（PA-PB）max=PAmax-PBmin. 先將P點“固定”（暫時看做定點），則當A點在圓C2上運動時，易知PAmax=PC2+1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA-PB）max=PC2-PC3+2.

注意到兩圓的圓心C2，C3恰為橢圓C1的左、右焦點，由雙曲線的第一定義知：當P點在雙曲線左支上時，PC2-PC3=2a=8（不論P點如何運動），所以PA-PB的最大值是10.

點評 例1與變式1均涉及圓錐曲線上一動點與兩已知曲線（圓）上動點的距離之和（差）的最值問題. 解決此類多動點問題的方法是“局部固定、動靜轉(zhuǎn)換”，即先將某一動點“固定”，求出其他動點運動時的最值情形，然后“恢復”固定點作為動點的“本質(zhì)”，對已求出的最值繼續(xù)求最值，即可解決.

本情形由于PC2-PC3為定值，故實際只求了一次最值.

鏈接 設(shè)P為圓C上動點，A為圓外一定點，直線AC與圓C依次交于E，F(xiàn)兩點（E在A，C之間），則APmax=AF=AC+r，APmin=AE=AC-r（其中r為圓C的半徑）.

A，B兩點一定一動

例2 如圖3，點P是拋物線y2=4x上的一點，A為拋物線的焦點，B在圓C：（x-4）2+（y-1）2=1上，則PA+PB的最小值為________.？搖

破解 如圖3，過P點作拋物線的準線l的垂線，垂足為H，由拋物線的定義知PA=PH. 易知圓C在拋物線的內(nèi)部，先固定拋物線上的P點，則當B在圓上運動時，易知PBmin=PC-1，從而當P運動到C，P，H三點共線時，PA+PB的最小值為4.

變式2 如圖4，設(shè)B為圓C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一點，拋物線y2=8x的準線為l，若拋物線上任意一點P到直線l的距離為m，則m+PB的最小值為________.

破解 如圖4，設(shè)拋物線的焦點為A，由拋物線的定義知m=PA，所求m+PB=PA+PB. 先固定拋物線上的P點，則當B在圓上運動時，易知PBmin=PC-2，從而當P運動到C，P，A三點共線時，m+PB的最小值為AC-2=-2.

點評 例2與變式2均涉及拋物線上一動點與一已知曲線（圓）上動點及一定點（焦點）的距離之和的最值問題. 解決此類問題的方法仍是“局部固定、動靜轉(zhuǎn)換”，即先“固定”P點，對B點的運動求最小值，然后“釋放”P點，對已求出的最小值整體再求最小值，即（PA+PB）min=（PA+PBmin）min. 具體求最值時，除了利用拋物線定義，將動點到焦點的距離與其到準線的距離進行轉(zhuǎn)化以外，還需結(jié)合幾何最值的方法，方可最終解決.

A，B兩點均為定點

例3 如圖5，已知A（1，-3）為橢圓+=1內(nèi)一點，B為橢圓的右焦點，P為橢圓上一動點，則PA+PB的最大值與最小值分別為________.

破解 如圖5，設(shè)橢圓的左焦點為B1，由橢圓定義可得PA+PB=PA+2a-PB1=2a+PA-PB1. 因為PA？搖-PB1？搖≤AB1，所以-AB1≤PA-PB1≤AB1. 因為2a=10，AB1=5，所以當橢圓上P點運動到線段AB1的延長線上時，（PA+PB）max=15；而當P點運動到B1A的延長線上時，（PA+PB）min=5.

變式3 如圖6，已知點A（3，8）為橢圓+=1外一點，B為橢圓的左焦點，P為橢圓上一動點，則PA-PB的最大值與最小值為________.

破解 如圖6，因為A點在橢圓外，所以當橢圓上P點運動到AB的延長線上時，（PA-PB）max=AB=10. 設(shè)橢圓的右焦點為B1，由橢圓定義可得PA-PB=PA-（2a-PB1）=PA+PB1-2a，則當P點運動到線段AB1上時，（PA+PB1）min=AB1=8，所以（PA-PB）min=-2.

點評 例3與變式3均涉及圓錐曲線上一動點與兩定點（其中一個為焦點）距離之和（差）的最值問題.此類問題的求解通?？煞謨煞N類型：（1）先利用定義，將動點到一個焦點的距離與其到另一個焦點的距離進行轉(zhuǎn)化，然后利用幾何最值法最終解決（如例3和變式3中差的最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值（最大或最小）時，有時可不經(jīng)定義轉(zhuǎn)化，直接使用幾何最值法（如變式3中差的最大值），具體屬于哪一類型，應視定點在圓錐曲線內(nèi)、外的給定情況而定.

鏈接 設(shè)A，B為兩定點，P為一動點，則當P點在線段AB的延長線上時，（PA-PB）max=AB；當P點在線段BA的延長線上時，（PA-PB）min=-AB.

綜上可知，對于形如“PA±PB”形式的幾何最值問題，不論A，B的“給定”情況如何，只要涉及焦點或準線，就可嘗試使用定義法來解決. 以下兩點對于解題至關(guān)重要：

（1）在涉及多個動點時，可采用“以靜制動”的策略，將動點分批處理、各個擊破；

（2）在涉及圓外一點與圓上動點的距離時，可把圓上動點轉(zhuǎn)化為定點（圓心）來解決. 當然，問題的最終解決離不開幾何最值法（如上鏈接）的協(xié)助. 最后值得一提的是，上述形式的幾何最值問題中，只使用了圓錐曲線的第一定義，但當涉及形如“PA+PB（e為圓錐曲線的離心率）”形式的最值問題時，則可嘗試使用第二定義來解決，本文在此不再贅述.endprint