讓學(xué)生學(xué)會研究函數(shù)的一般方法

董志軍

摘? 要：函數(shù)是高中階段的重要內(nèi)容. 一些學(xué)生只是記住了學(xué)過的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對函數(shù)概念的理解不夠深入，這就導(dǎo)致學(xué)生在研究陌生函數(shù)時無從下手. 結(jié)合具體實例，給出高中學(xué)習(xí)函數(shù)的三個階段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的方法，以期提高學(xué)生研究陌生函數(shù)的能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象;函數(shù)性質(zhì);教學(xué)設(shè)計

函數(shù)是新課程的主線之一，對函數(shù)的研究是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重. 本文從一道填空題切入，探討在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生研究陌生函數(shù)的方法.

很多學(xué)生不能準(zhǔn)確解答此題，究其原因是面對一個陌生函數(shù)，學(xué)生無從下手. 如何解決這個問題呢？還得從函數(shù)的教學(xué)說起. 筆者整體考慮高中三年的函數(shù)教學(xué)，分為三個階段，設(shè)計如下.

一、感受利用函數(shù)性質(zhì)作圖

在高中初學(xué)函數(shù)時，無論哪個版本的教材，都是先學(xué)習(xí)函數(shù)的定義和表示方法，然后學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、零點等）. 在實際教學(xué)中，筆者也是按照這樣的教學(xué)安排授課，但是由于沒有讓學(xué)生充分體會學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的必要性，導(dǎo)致學(xué)生在遇到陌生函數(shù)時，不能靈活運用函數(shù)的性質(zhì)作圖. 為了改變這種現(xiàn)象，筆者將函數(shù)教學(xué)設(shè)計改進(jìn)如下.

面對陌生的函數(shù)，學(xué)生剛開始可能沒有思路，只能運用描點法作圖. 但是在描點的過程中，學(xué)生慢慢感悟到了經(jīng)驗，對函數(shù)的性質(zhì)也有了直觀的認(rèn)識.

對于函數(shù)①，學(xué)生在描點時發(fā)現(xiàn)，點的橫坐標(biāo)不能取負(fù)數(shù)，函數(shù)只在區(qū)間[0，+∞]上有圖象，進(jìn)而體會定義域?qū)D象的影響. 繼續(xù)分析，可得[fx≥0]，所以除了原點，其余的圖象一定在第一象限，那么這部分圖象該怎么畫呢？在描點的基礎(chǔ)上，學(xué)生總結(jié)出[y]隨[x]的增大而增大，所以圖象從左往右看是上升的.

對于函數(shù)②，學(xué)生在描點時發(fā)現(xiàn)，若點[2， 15]在圖象上，那么點[-2， 15]一定也在圖象上. 進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，若點[x0，y0]在圖象上，則點[-x0，y0]一定也在圖象上，所以函數(shù)的圖象一定是關(guān)于[y]軸對稱的. 然后學(xué)生就發(fā)現(xiàn)函數(shù)③④與函數(shù)②一樣，函數(shù)圖象都是關(guān)于[y]軸對稱的.

對于函數(shù)⑤，受前面解決問題方法的啟示，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，若點[x0，y0]在圖象上，則點[-x0，-y0]一定也在圖象上，所以函數(shù)的圖象一定是關(guān)于原點對稱的. 然后學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)函數(shù)⑥與函數(shù)⑤一樣，圖象都是關(guān)于原點對稱的.

教師適時點評，像②③④這樣圖象關(guān)于[y]軸對稱的函數(shù)叫做偶函數(shù)，像⑤⑥這樣圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫做奇函數(shù)，稍后我們會學(xué)習(xí). 如果函數(shù)具有這樣的性質(zhì)，那么我們只需重點研究[y]軸一側(cè)的函數(shù)圖象即可得到完整的函數(shù)圖象.

經(jīng)過這樣的探究過程，使學(xué)生對函數(shù)的探究有了一定的感悟，為之后學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、零點等）奠定了基礎(chǔ)，對于研究函數(shù)是很有必要的. 同時，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，學(xué)生能夠掌握陌生函數(shù)的研究方法，即從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、零點等方面入手來研究.

二、借助三角函數(shù)，學(xué)習(xí)利用周期性和對稱性作圖

正弦函數(shù)的教學(xué)安排一般是先學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的定義，再利用單位圓內(nèi)的正弦線作出圖象，然后研究正弦函數(shù)的性質(zhì). 在實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生學(xué)習(xí)完正弦函數(shù)之后，常常不理解為什么正弦函數(shù)有多條對稱軸和多個對稱中心. 遇到一個陌生函數(shù)時，也不能正確判斷函數(shù)是否具有對稱性. 為此，筆者將正弦函數(shù)教學(xué)設(shè)計改進(jìn)如下.

在作出正弦函數(shù)的圖象后，學(xué)生肯定會發(fā)現(xiàn)圖象有對稱軸和對稱中心. 如何證明呢？筆者在習(xí)題課上安排時間引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究.

經(jīng)過這樣的探究過程，讓學(xué)生慢慢體會到，遇到一個陌生函數(shù)，如何猜測這個函數(shù)是否有周期性和對稱性，并學(xué)會證明自己的猜想.

三、借助超越函數(shù)，學(xué)會合理利用導(dǎo)數(shù)作圖

經(jīng)過前兩個階段的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，相信學(xué)生在探究這兩個函數(shù)圖象的時候，已經(jīng)能順利判斷出每個函數(shù)的定義域、奇偶性和零點等性質(zhì). 但是在探究單調(diào)性和極值（最值）的時候，肯定會遇到困難. 教師適時引入導(dǎo)數(shù)，給學(xué)生展示由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的過程. 學(xué)生會驚訝于這么簡潔的過程，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣，也使學(xué)生能夠?qū)崒嵲谠诘馗惺艿綄?dǎo)數(shù)的作用. 通過后續(xù)學(xué)習(xí)，學(xué)生還會慢慢體會到：面對一個陌生函數(shù)，不一定要馬上求導(dǎo)，可以先研究這個函數(shù)的初等性質(zhì)，如果有需要，再求導(dǎo).

經(jīng)過以上三個階段的學(xué)習(xí)，再輔之以一定的練習(xí)，相信學(xué)生再遇到陌生函數(shù)時，會有信心、有方法去研究. 更重要的是，學(xué)生會逐漸掌握研究陌生函數(shù)的一般方法.

對本文開頭引用的題目，分析如下.

這樣，選出此題的答案②③，就很容易了.

根據(jù)學(xué)情不斷進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)與優(yōu)化，必將換來學(xué)生分析問題和解決問題能力的提高. 教師通過教學(xué)設(shè)計有意識地引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生不僅知其然，還能知其所以然，學(xué)生分析問題能力的提升也會水到渠成.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.