數(shù)學(xué)教學(xué)中思維方法的理論探析與實(shí)踐嘗試

李亞瓊 徐文彬

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)是以學(xué)科知識為載體，引導(dǎo)學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法，滲透培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的過程. 算兩次原理又稱富比尼原理，便是其中一種數(shù)學(xué)思維方法. 富比尼原理的思維本質(zhì)是換一個角度思考問題，蘊(yùn)含思維質(zhì)的同一性，體現(xiàn)多向性、同一性和概括性的思維屬性，其運(yùn)用表現(xiàn)為問題檢驗(yàn)、正難則反及“局部—整體”運(yùn)用的特點(diǎn). 文章基于對富比尼原理的理論剖析，梳理了富比尼原理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐嘗試，以期更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.

關(guān)鍵詞：富比尼原理;思維的多向性;思維的同一性;正難則反;實(shí)踐嘗試

在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角看待問題，學(xué)會辯證地思考問題. 在思考過程中，引導(dǎo)學(xué)生抽象出問題的本質(zhì)，從而尋求問題的最優(yōu)解.

一、問題的提出背景

引例? 為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑假開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周. 若課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，則所有可能的排法種數(shù)為_____________________.

引例以我國古代“六藝文化”為情境，考查排列的相關(guān)知識. 學(xué)生可以從正面考慮，滿足條件的情況有：“樂”“御”均未排在第一周和最后一周;“樂”排最后一周;“御”排第一周. 其中，“御”排第一周且“樂”排最后一周，這種情況重復(fù)計算需要去除. 于是可算出有504種排法. 當(dāng)然學(xué)生也可以從對立事件的視角思考：從六門課全排列中，分別去除“樂”排第一周的情形，和去除“御”排最后一周的情形，再加上“樂”排第一周且“御”排最后一周的情形，這樣能很容易地計算出共有504種排法.

引例的求解過程反映出如果從一個視角出發(fā)求解問題時難度較大，可以尋求另一個視角進(jìn)行思考，這種思維方式體現(xiàn)了一題多解的強(qiáng)化運(yùn)用，被稱為算兩次原理，又稱富比尼原理，即將一個量用兩種方法分別計算一次，根據(jù)結(jié)果相同來解決問題的原理. 高中數(shù)學(xué)中的很多問題都可以從不同角度進(jìn)行分析，可以發(fā)掘出不同的內(nèi)在信息，從而強(qiáng)化學(xué)生對不同知識點(diǎn)的深入理解，展現(xiàn)出多角度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)所在.

二、富比尼原理的理論探析

基于上述分析，本文試圖從理論視角對“富比尼原理”進(jìn)行剖析，以期更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.

1. 富比尼原理的思維本質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提到：數(shù)學(xué)教育需要幫助學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 其中，數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的過程與活動. 對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，重要的是要從數(shù)學(xué)思維的規(guī)律切入，調(diào)控數(shù)學(xué)思維活動，從而提高思維效率. 為此，我們可以從對富比尼原理思維本質(zhì)的理解出發(fā)，研究其思維結(jié)構(gòu)，從而運(yùn)用理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)、改進(jìn)教學(xué)方法、提高學(xué)生的思維水平.

學(xué)生在運(yùn)用富比尼原理解決問題時，需要通過聯(lián)想，回憶頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識及題目中給出的數(shù)學(xué)關(guān)系信息. 學(xué)生在理解題意后，可以使用直覺思維、形象思維或邏輯思維對問題進(jìn)行判斷，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、正難則反等思維策略尋求解題的思路與突破口. 波利亞形象地將富比尼原理比喻為“拋兩條錨安全系數(shù)更大”. 波利亞認(rèn)為，為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種方法表示出來，也就是將一個量從不同的角度、用不同的形式“算兩次”，從而尋找相互的聯(lián)系或建立相等的關(guān)系. 單墫教授將“算兩次”的解題方式稱為“三步舞曲”：一方面……，另一方面……，綜合起來可得……. 即在兩個方面充分考慮適當(dāng)量，并且這兩個方面都具備精確結(jié)果，于是得出一個等式. 因此，富比尼原理的思維本質(zhì)是換個角度思考問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換思想. 但這個轉(zhuǎn)換需要保持思維質(zhì)的同一性：一方面，可以從不同角度對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考;另一方面，要保持思維對象的統(tǒng)一. 具體表現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、等價轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等思想.

2. 富比尼原理的思維屬性

富比尼原理換個角度思考問題的轉(zhuǎn)換思想，體現(xiàn)了思維的多向性、同一性和概括性.

（1）思維的多向性.

富比尼原理的運(yùn)用體現(xiàn)了思維的多向性. 思維的多向性是發(fā)散思維的典型形式，具體表現(xiàn)為從盡可能多的方面來考慮同一個問題，使思維不局限于一種模式或一個方面，從而獲得多種解答的思維方式. 多向思維的表現(xiàn)形式為：一題多解、一法多用和一題多變. 富比尼原理的使用是對一題多解的強(qiáng)化運(yùn)用，體現(xiàn)了目標(biāo)的集中性和解法角度的發(fā)散性.

多向性體現(xiàn)在多視角、逆向性、正難則反等方面. 多向性包括研究對象的多向性和研究方法的多向性. 研究對象包括概念、命題、結(jié)論等. 例如，對切線的研究可以從切線的定義出發(fā)，也可以從導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)，這就體現(xiàn)了研究對象的多向性. 研究方法包括幾何法、代數(shù)法、三角法、數(shù)形結(jié)合法、遞推法、分析與綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等，有時也需要逆向思考，或者從對立事件出發(fā)去思考. 在具體解題中，可以采取多角度、多方法進(jìn)行綜合思考. 當(dāng)然，“算兩次”不是說只能從兩個方面去考慮問題，這里的“算兩次”是指轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)，即換個角度看問題. 富比尼原理是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與方程思想的具體體現(xiàn)，通過恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換看問題的角度，創(chuàng)新性發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.

（2）思維的同一性.

富比尼原理源于對某個知識點(diǎn)的考查，但其思想和應(yīng)用則超越了知識點(diǎn)本身. 例如，在兩角和（差）余弦公式的推導(dǎo)過程中，可以利用向量的數(shù)量積的定義運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算來構(gòu)造等式，這種思維方式是對所需信息進(jìn)行抽象，選取不同的視角找到某種等量關(guān)系，并將這些內(nèi)容進(jìn)行融合，形成解決問題的思路. 因此，運(yùn)用富比尼原理解題的過程實(shí)質(zhì)上是變更問題的過程，即變換視角、變換問題的表達(dá)形式，使問題從給出的初始狀態(tài)化歸為所要表達(dá)的目標(biāo)狀態(tài). 而這個轉(zhuǎn)化或化歸過程的根本思想是保持思維質(zhì)的同一性. 若出現(xiàn)差異則正好說明矛盾所在，這一思路也經(jīng)常被運(yùn)用到反證法中.

（3）思維的概括性.

富比尼原理的精髓是當(dāng)從一個方面不能很好地解決問題時，可以轉(zhuǎn)換視角進(jìn)行再思考. 在許多問題中，“算兩次”重要的不是套用形式，而是考慮用什么樣的適當(dāng)量和如何轉(zhuǎn)換角度對問題進(jìn)行研究. 因此，“算兩次”是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與方程思想的高度具體運(yùn)用，體現(xiàn)了思維的概括性. 思維的概括性還體現(xiàn)在富比尼原理使用的遷移和抽象，解題視角和解題方法的獲得正是概括性的體現(xiàn)，然后再將不同視角進(jìn)行整合，則是概括性遷移的結(jié)果. 由此可見，在利用富比尼原理解決問題時，要全面、系統(tǒng)地探究問題本質(zhì)，而這樣的思維過程的最終指向自然可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

3. 富比尼原理的表現(xiàn)形式

富比尼原理的實(shí)踐形態(tài)有以下三種.

（1）問題檢驗(yàn).

富比尼原理的思維方式可以用來進(jìn)行解題檢驗(yàn)，彌補(bǔ)了從一個視角思考問題的不足. 例如，在解三角形時，邊化角或角化邊可以有不同的方法，但選擇合適的視角進(jìn)行轉(zhuǎn)化去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可以簡化運(yùn)算量，達(dá)到“多想少算”的效果.

（2）正難則反.

在對問題進(jìn)行分析時，有時從正向分析問題會思路不暢、計算煩瑣，此時需要轉(zhuǎn)換思考方向，采用“正難則反”的策略，可以拓展解題思路，優(yōu)化解題方案.

（3）“局部—整體”運(yùn)用.

富比尼原理的運(yùn)用更多體現(xiàn)在對某一問題的局部研究中. 例如，運(yùn)用等積法的目的是求高，而求高可能只是解決某個問題的一個環(huán)節(jié). 局部運(yùn)用富比尼原理是為整體解決問題做好鋪墊. 從辯證思維的角度觀察，問題的構(gòu)成具有“一中有多，多中有一”的性質(zhì). 在數(shù)學(xué)問題的解決中，可以采取“以分求合”的思想方法，即由局部到整體，逐步指向目標(biāo)，更有效地破解難點(diǎn)，達(dá)到解決問題的目的.

三、富比尼原理的教學(xué)實(shí)踐嘗試

富比尼原理雖然沒有顯現(xiàn)在教材中，卻在解題中彰顯力量. 剖析富比尼原理的思維背景，追尋思維的源頭，探尋解題方法的源與流，形成相對穩(wěn)定的思維模式，才能為運(yùn)用知識指明方向，從而更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐. 下面按照知識模塊對富比尼原理在教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行歸納和梳理.

1. 富比尼原理在三角與向量中的運(yùn)用

高中誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程的本質(zhì)是從坐標(biāo)與三角函數(shù)的定義兩個角度表示出圖1中的點(diǎn)[P1x，y，P2-x，y，][P3-x，-y，P4x，-y，] 即[x，y=cosα，sinα， -x，y=]

除此之外，在兩角和與差的正、余弦公式的推導(dǎo)中，也運(yùn)用了富比尼原理，即從平面向量和三角函數(shù)兩個角度融合考慮，從而較為輕松地完成公式的推導(dǎo). 平面向量自帶數(shù)和形兩重屬性，是研究數(shù)和形問題的重要工具，從這個角度來看，平面向量是運(yùn)用富比尼原理的良好載體. 因此，伴隨三角函數(shù)知識的形成過程，綜觀三角中的重要公式，富比尼原理的思想方法便滲透其中.

2. 富比尼原理在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的運(yùn)用

富比尼原理在求切線中的運(yùn)用也很多，典型案例是在求導(dǎo)和切線斜率公式中的融合應(yīng)用.

此題是2020年高考全國Ⅰ卷文科第15題的變式，難易程度適中，學(xué)生只要會求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和[k=tan α α≠π2+kπ，k∈Z]便可快速得出切點(diǎn)的橫坐標(biāo). 這個過程就是從求導(dǎo)和切線斜率公式兩個角度利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立等量關(guān)系，從而滲透數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了對富比尼原理的巧妙運(yùn)用. 當(dāng)然，富比尼原理在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的運(yùn)用也是常態(tài)，教師可以梳理出這一類運(yùn)用的共同之處，以體現(xiàn)殊途同歸之妙用.

3. 富比尼原理在概率與統(tǒng)計中的運(yùn)用

富比尼原理在計算組合數(shù)中被運(yùn)用得較多，有時也會被運(yùn)用在二項式定理中.

例2的解題過程體現(xiàn)了富比尼原理中思維的多向性. 從結(jié)果出發(fā)，將條件進(jìn)行變形，從而達(dá)到多想少算、巧妙化簡問題的解題效果. 對于一些概率或統(tǒng)計問題，有時從正面分析需要進(jìn)行分類討論，解題過程煩瑣，此時就需要采用正難則反的思維方式去簡化解題過程，這也是富比尼原理在解題過程中的具體運(yùn)用. 例如，先后拋擲三枚硬幣，求至少出現(xiàn)一次正面朝上的概率. 此題采用正難則反的思路很容易解決，這樣的解題過程需要轉(zhuǎn)換思考視角、另辟蹊徑，體現(xiàn)了思維的逆向性和發(fā)散性.

4. 富比尼原理在解析幾何與立體幾何中的運(yùn)用

富比尼原理在立體幾何中的運(yùn)用表現(xiàn)在計算點(diǎn)面距離時經(jīng)常采用等積法，即應(yīng)用每個面都可以作為底面的性質(zhì)，兩次算出幾何體的體積而構(gòu)建等式求高;在探究幾何中的動點(diǎn)軌跡時，也會經(jīng)常參照動點(diǎn)符合的多個條件列出等式.

通過以上分析可以看出，選擇合適的底來求高是求解的關(guān)鍵，這里就體現(xiàn)了對富比尼原理“局部—整體”的巧妙運(yùn)用. 解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵在于對問題形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，而轉(zhuǎn)化與化歸的依據(jù)在于各種形式間本質(zhì)上的和諧統(tǒng)一，這種和諧統(tǒng)一使得問題的條件和結(jié)論在新的形式下相互溝通，進(jìn)而使問題得以解決.

5. 富比尼原理在集合與復(fù)數(shù)中的運(yùn)用

復(fù)數(shù)的幾何意義將復(fù)數(shù)賦予了形的屬性. 因此，在解決復(fù)數(shù)的最值問題時經(jīng)常會采用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的動點(diǎn)問題，最終較為形象地求出最值.

6. 富比尼原理在數(shù)列中的運(yùn)用

此題利用變形和錯位相減，將復(fù)雜的求和轉(zhuǎn)化為含[Sn]的等式，體現(xiàn)了對轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，也凸顯了富比尼原理的無形滲透作用.

教師要善于基于教材整合思維方法的素材，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中找到數(shù)學(xué)思維方法的切入點(diǎn)，并加以運(yùn)用，以提高學(xué)生探究問題和解決問題的能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目的就是通過數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生主體的良好素養(yǎng)、陶冶個性品質(zhì)的作用.

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