行星滾柱絲杠副齒輪變位系數(shù)的優(yōu)化

高 揚(yáng), 楊家軍，梁 漢，鄧 波, 朱繼生

(1 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2 中船重工七二二研究所, 湖北 武漢 430072； 3 山東博特精工股份有限公司，山東 濟(jì)寧 272071)

行星滾柱絲杠副齒輪變位系數(shù)的優(yōu)化

高 揚(yáng)1, 楊家軍1，梁 漢1，鄧 波2, 朱繼生3

(1 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2 中船重工七二二研究所, 湖北 武漢 430072； 3 山東博特精工股份有限公司，山東 濟(jì)寧 272071)

變位系數(shù)是行星滾柱絲杠副設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，將內(nèi)齒圈和滾柱端齒的變位系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，通過對(duì)其失效形式的分析，確定優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)；通過對(duì)幾何結(jié)構(gòu)分析，確定一系列約束條件,建立變位系數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用復(fù)合形法求解方法獲得最佳變位系數(shù)。

行星滾柱絲杠； 齒輪； 變位系數(shù)； 復(fù)合形法

行星滾柱絲杠是一種將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為線性運(yùn)動(dòng)的機(jī)械裝置。它與滾珠絲杠相比，具有承載能力大、效率高、壽命長等特點(diǎn)，目前已被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域。行星滾柱絲杠副內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，部件精度、可靠性要求高，其嚙合齒變位系數(shù)的優(yōu)化也一直是其設(shè)計(jì)過程中的重要問題，現(xiàn)實(shí)中常常因?yàn)樽兾幌禂?shù)選擇不當(dāng)，造成產(chǎn)品精度達(dá)不到要求或可靠性不高。為進(jìn)一步優(yōu)化行星滾柱絲杠副性能，須探索一個(gè)更合理的設(shè)計(jì)方法解決這個(gè)問題。

1 行星滾柱絲杠的傳動(dòng)原理分析

行星滾柱絲杠主要由絲杠、滾柱、螺母、內(nèi)齒圈、保持架等組成(圖1)[1]。

1-滾柱2-內(nèi)齒圈；3-絲杠；4-保持架；5-螺母

其工作原理為：絲杠、滾柱和內(nèi)齒圈可以分別視為太陽輪、行星輪和中心輪，當(dāng)螺母周向固定而絲杠旋轉(zhuǎn)時(shí)，滾柱圍繞絲杠做行星運(yùn)動(dòng)，通過滾柱與絲杠的螺旋傳動(dòng)，把絲杠的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為螺母的直線運(yùn)動(dòng)。滾柱端齒輪可以保證絲杠、螺母與滾柱間嚙合傳動(dòng)的同步性，避免發(fā)生干涉，也可以在高速重載的時(shí)候減輕螺紋傳動(dòng)的負(fù)荷[2]。

行星滾柱絲杠副的機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。

1-絲杠 2-滾柱；3-螺母；2′ -滾柱端齒輪(行星齒輪)；4-內(nèi)齒圈齒輪(與2’嚙合)；H-滾柱絲杠副的螺紋副；dn-內(nèi)齒圈齒的公稱直徑；dr-滾柱端齒的公稱直徑；ds-絲杠的公稱直徑；zn-內(nèi)齒圈齒的齒數(shù)；zr-滾柱端齒的齒數(shù)

圖 2 行星滾柱絲杠副機(jī)構(gòu)簡圖

2 變位系數(shù)的選擇原則

從避免失效的角度來確定變位系數(shù)的選擇原則。行星滾柱絲杠作為高速重載的傳動(dòng)部件，其內(nèi)齒圈和滾柱端齒輪在工作中可能會(huì)出現(xiàn)齒面點(diǎn)蝕、齒面膠合、磨損等多種失效形式。綜合分析，其變位系數(shù)的選擇有以下三個(gè)原則：

1) 為了盡可能提高滾柱端齒輪和內(nèi)齒圈的接觸強(qiáng)度，避免齒面點(diǎn)蝕等失效形式，應(yīng)使嚙合點(diǎn)齒廓綜合曲率半徑增大，即相嚙合齒的變位系數(shù)之和應(yīng)盡量大；

2)為了盡可能提高滾柱端齒輪和內(nèi)齒圈的彎曲強(qiáng)度，避免輪齒折斷等失效形式，應(yīng)使相嚙合齒輪的彎曲強(qiáng)度趨于平衡，并盡量減小齒形系數(shù)，相應(yīng)地限制了變位系數(shù)；

3)為了盡可能提高齒面抗膠合和耐磨性能，應(yīng)使嚙合齒在嚙合過程中滑動(dòng)系數(shù)盡量相等，相應(yīng)地限制了變位系數(shù)。

3 目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)行星滾柱絲杠副滾柱端齒和內(nèi)齒圈變位系數(shù)的選擇原則，可以確定變位系數(shù)優(yōu)化過程的目標(biāo)函數(shù)[3]。

考慮到嚙合齒的接觸強(qiáng)度，應(yīng)使變位系數(shù)之和盡量大，由無側(cè)隙嚙合方程可導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)

(1)

式中：α為分度圓壓力角，取20°；α′為嚙合角；z1為內(nèi)齒圈齒數(shù)；z2為滾柱端齒齒數(shù)。

考慮到齒輪彎曲強(qiáng)度，應(yīng)使嚙合齒彎曲強(qiáng)度趨于平衡，可得目標(biāo)函數(shù)為

minf2(x)=σF1-σF2

(2)

考慮到提高齒面抗膠合和耐磨性能，應(yīng)使嚙合齒在嚙合過程中滑動(dòng)系數(shù)盡量相等，滑動(dòng)系數(shù)是滑動(dòng)弧與齒廓所走過的弧長比。目標(biāo)函數(shù)為

minf3(x)=η1-η2

(3)

在該優(yōu)化問題中，內(nèi)齒圈的變位系數(shù)x1和滾柱端齒的變位系數(shù)x2是相關(guān)的，故可取x1為設(shè)計(jì)變量，其他參數(shù)為x1的函數(shù)，則總目標(biāo)函數(shù)為

minf(x1)=

-w1(x1+x2)|w2(σF1-σF2)|w3(η1-η2)

(4)

式中，wi(i=1,2,3)為加權(quán)因子，表示分目標(biāo)函數(shù)的重要程度。

為了求解方便，將此多目標(biāo)規(guī)劃問題化為單目標(biāo)規(guī)劃問題，過程如下。

1)采用函數(shù)y=x/2π-sinx(0≤x≤2π)，將分目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為規(guī)格化目標(biāo)函數(shù)。

式中qi、pi分別為設(shè)計(jì)指標(biāo)的上下限。

2)利用容限法求解加權(quán)因子。目標(biāo)容限Δfi=(qi-pi)/2(i=1,2,3)，目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)因子wi=1/(Δfi)2(i=1,2,3)。所以原目標(biāo)函數(shù)式(4)可以改寫為

minf(x1)=

-w1fr1(x1)+w2fr2(x1)+w3fr3(x1)

(5)

4 約束條件的確定

為了確保滾柱絲杠副穩(wěn)定運(yùn)行，不發(fā)生干涉，并具有一定的可靠性和壽命。根據(jù)行星滾柱絲杠副的幾何結(jié)構(gòu)，可以確定優(yōu)化過程的約束條件[6-7]。

1)齒頂圓大于基圓約束

(6)

(7)

2)重合度約束

(8)

式中：αa1為內(nèi)齒圈齒頂圓的壓力角；αa2為滾柱端齒齒頂圓的壓力角。

3)齒廓干涉約束

g4(x1)=z1(δ1+invαa1)-z2(δ2+invαa2)

+(z2-z1)invα′≥0.05

(9)

4)齒頂距約束

g5(x1)=Ra2-Ra1+a′-0.1m≥0

(10)

式中：Ra1為內(nèi)齒圈齒頂圓半徑，Ra2為滾柱端齒齒頂圓半徑；a′為嚙合中心距；m為模數(shù)。

5)齒根隙約束

g6(x1)=Ra2-Rf1-a′-0.1m≥0

(11)

式中，Rf1為內(nèi)齒圈齒根圓的半徑。

5 復(fù)合形法的求解

由以上分析可得，求解x1的數(shù)學(xué)模型為

minf(x1)

gu(x1)≤0(u=1,2,…,6)

(12)

復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問題的直接方法之一，是無約束最優(yōu)化問題單純形法的推廣。由于該優(yōu)化問題只有不等式約束，所以可以用該方法求解，求解步驟如下。

2)設(shè)置初始復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)為9，在可行域內(nèi)產(chǎn)生分布均勻的偽隨機(jī)數(shù)，以確定復(fù)合形的其中一個(gè)頂點(diǎn)，檢查這個(gè)點(diǎn)是否在可行域內(nèi)，如果不在，則需要重新選點(diǎn)。用同樣的方法產(chǎn)生全部的頂點(diǎn)；

5)計(jì)算反射點(diǎn)函數(shù)值，若反射點(diǎn)在可行域內(nèi)，則與最壞點(diǎn)的函數(shù)值比較，根據(jù)結(jié)果調(diào)整反射點(diǎn)，直到滿足約束條件。

重復(fù)步驟3)-5)，直到各頂點(diǎn)的距離達(dá)到精度要求為止。

6 應(yīng)用示例

采用上述理論方法，對(duì)如表1所示國外某型號(hào)行星滾柱絲杠進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表1 國外某型號(hào)行星滾柱絲杠副基本參數(shù)

經(jīng)編程計(jì)算得到：

2.68≤f1(x1)≤5.38，0≤f2(x1)≤33.2，0≤f3(x1)≤3.08；同時(shí)可以得到w1=0.35，w2=0.01，w3=0.81；經(jīng)過優(yōu)化得到：x1=0.21，x2=-0.16。優(yōu)化后的參數(shù)在滿足約束條件的前提下，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。

7 結(jié)束語

本文采用行星滾柱絲杠副內(nèi)齒圈和滾柱端齒變位系數(shù)的優(yōu)化方法，在確保行星滾柱絲杠副穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)，最大限度提高其齒輪部分的壽命和可靠性，從而提高了行星滾柱絲杠副在高速重載條件下的工作能力，降低了設(shè)計(jì)成本，減少了設(shè)計(jì)周期，為行星滾柱絲杠的設(shè)計(jì)提供了一種較為有效的方法。

[1] 劉 更，馬尚君，佟瑞庭,等.行星滾柱絲杠副的新發(fā)展及關(guān)鍵技術(shù)[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2012，36(05):103-108.

[2] 韋振興，楊家軍，朱繼生,等.行星滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化分析[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2011，35(06):103-108.

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[4] 孟彩芳.機(jī)械原理電算分析與設(shè)計(jì)[M].天津:天津大學(xué)出版社，2000:144-159.

[5] 張春燕，唐迎春，姚文席.三環(huán)減速器內(nèi)嚙合變位系數(shù)的研究[J].北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，16(01):31-34.

[6] 余躍海.少齒差內(nèi)嚙合齒輪的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化[D].天津：天津大學(xué)，2005.

[7] 羅中華.最優(yōu)化方法及其在機(jī)械行業(yè)中的應(yīng)用[M].北京:電子工業(yè)出版社，2008:91-94.

[責(zé)任編校： 張 眾]

Optimization of Planetary Roller Screw Gear Modification Coefficient

GAO Yang1, YANG Jiajun1, LIANG Han1, DENG Bo2, ZHU Jisheng3

(1SchoolofMechanicalSci.andEngin.,HuazhongUniv.ofSci.andTech.,Wuhan430074,China;2 722ResearchInstituteofCSIC,Wuhan430079,China;3ShandongBESTPresionCO.LTD,Jining272071,China)

The modification coefficient, an important parameter for the design of planetary roller screw, The modification coefficient of internal gear ring and roller end gear was used as design variables in this paper. The objective function of optimization design was determined through analyzing the failure mode. Based on the analysis of geometric structure, a series of constraints were determined, and then an optimization mathematical model of variable coefficient was established. By using the complex method, the best modification coefficient can be determined.

planetary roller screw; gear; modification coefficient; complex method

2015-04-20

高 揚(yáng)(1991-)，男，河南濮陽人，華中科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄軝C(jī)械與數(shù)字化裝備

1003-4684(2015)04-0058-03

TH13

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