一種無衍射光莫爾條紋的計數(shù)方法

翟中生，嚴(yán)昌文，呂清花，王選擇

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北武漢430068)

無衍射光(non-diffracting beams)由于其中心光斑的大小、形狀不隨傳播距離發(fā)生變化的特性備受人們關(guān)注。無衍射光近年來已成為研究的熱點(diǎn)［1-2］，如:華中科技大學(xué)的周莉萍教授利用無衍射光實(shí)現(xiàn)了一種新型激光三角測量系統(tǒng)［3］;北京航空航天大學(xué)的王中宇教授用無衍射光代替激光作為光源，來完成表面形貌的三維測量［4］。無衍射光技術(shù)也可應(yīng)用到自由度的測量中［5］。在利用無衍射光測量多自由度運(yùn)動誤差時，確定無衍射光中心光斑的位置成為測量的關(guān)鍵。由于莫爾條紋的放大作用，可以利用無衍射光莫爾條紋技術(shù)來定位無衍射光中心光斑。華中科技大學(xué)的趙斌教授利用無衍射光莫爾條紋法進(jìn)行空間直線度的測量［6］，同時利用計算機(jī)產(chǎn)生數(shù)字的環(huán)形光柵與環(huán)形無衍射光產(chǎn)生莫爾條紋，通過改變數(shù)字環(huán)形光柵的相位來確定無衍射光的中心光斑位置［7］。在無衍射光莫爾條紋法定中心的應(yīng)用中，文獻(xiàn)［7］只運(yùn)用了一束無衍射光，而本文則利用兩束無衍射光得到莫爾條紋，通過莫爾條紋的條數(shù)，得到莫爾條紋數(shù)量與兩束無衍射光中心點(diǎn)距離的關(guān)系，由此來確定被測無衍射光的中心光斑位置。

1 無衍射光莫爾條紋的形成

目前得到無衍射光的方法有很多，而之所以采用軸錐鏡是因?yàn)槠淠芰坷寐矢吆椭谱鞒杀镜偷奶攸c(diǎn)，同時在測量方面，軸錐鏡又有著穩(wěn)定的線焦，產(chǎn)生的無衍射為零階本賽爾函數(shù)形式的同心圓環(huán)(圖1a)。這一族同心圓環(huán)中，中心圓是最亮的點(diǎn)。圖1a所示，當(dāng)平行光射入軸錐鏡時鏡后形成的不同區(qū)域，Zmax為光強(qiáng)的最大范圍。在Zmax范圍內(nèi)光強(qiáng)隨Z值的增大而增大。通過軸錐鏡得到合適的無衍射光，并將無衍射光作為測量光。

圖1 無衍射光的產(chǎn)生

從技術(shù)角度上來說，莫爾條紋是兩條或者兩個物體之間以恒定的角度和頻率發(fā)生干涉的視覺結(jié)果。

為了研究無衍射光莫爾條紋的計數(shù)法，首先通過軸錐鏡得到零階貝塞爾形狀的同心圓環(huán)(即無衍射光)，然后通過一個簡單的光路(圖2)得到兩束無衍射光的干涉，從而得到莫爾條紋。從圖2可見，He-Ne激光器發(fā)出的光經(jīng)過準(zhǔn)直擴(kuò)束后射入軸錐鏡，再由軸錐鏡射入到分光棱鏡1中，此時通過分光棱鏡1分光，得到兩束無衍射光:一束無衍射光經(jīng)過反射鏡2、分光棱鏡2后由CCD相機(jī)接收;另一束無衍射光進(jìn)過反射鏡1射入到直角棱鏡中，再由直角棱鏡反射到分光棱鏡2，最后也被CCD相機(jī)接收。這樣，CCD相機(jī)中就有兩束無衍射光，這兩束衍射光將會干涉產(chǎn)生莫爾條紋，同時產(chǎn)生的莫爾條紋圖像將被CCD相機(jī)采集。其中經(jīng)過反射鏡2、分光棱鏡2的無衍射光作為參考光束，經(jīng)過直角棱鏡、分光棱鏡2的無衍射光作為被測光束，由于直角棱鏡在豎直方向上的移動會造成兩束無衍射光中心距離的變化，因此被測光束的中心光斑的位置也將發(fā)生變化。

圖2 無衍射光莫爾條紋的產(chǎn)生

2 無衍射光莫爾條紋的數(shù)學(xué)模型

圖2中，軸錐鏡后產(chǎn)生的無衍射光束經(jīng)過分光棱鏡分成兩束無衍射光，設(shè)兩束光程分別為無衍射光的產(chǎn)生Z1和Z2，C1和C2為CCD相機(jī)上兩束無衍射光的中心點(diǎn)，在CCD面上的極半徑分別為r1和r2，可得到兩束無衍射光在CCD上的光強(qiáng)近似值

產(chǎn)生的減莫爾條紋的序列有

為了分析方便，設(shè)C1、C2在y軸上(C1x=C2x=0)，原點(diǎn)在中心線上(|C2y－C1y|=2Δ)，由式(2)、(3)和(4)可計算出莫爾條紋的暗條紋軌跡為

從上式可看出，莫爾條紋的暗條紋軌跡為橢圓族或雙曲線族。

3 莫爾條紋計數(shù)方法

兩束無衍射光形成的莫爾條紋的形狀和條紋數(shù)受中心位置影響，因此確定無衍射光莫爾條紋的數(shù)量是關(guān)鍵。

等間距的無衍射光束的明暗條紋的間距可看成光柵常數(shù)d。為了便于分析，假設(shè)測量光束的中心點(diǎn)C2在y方向上有一偏移量C2y(圖3)。中心間距用光柵常數(shù)d表示

式中N為正整數(shù)，l=1，2，3…。

圖3 兩束無衍射光產(chǎn)生的莫爾條紋原理圖

由式(5)可得

式中，β為直線族與y軸的夾角。在xy坐標(biāo)系中，莫爾條紋沿坐標(biāo)原點(diǎn)對稱分布，所以研究莫爾條紋變化規(guī)律時，取β從豎直方向上0°～180°范圍即可。

由式(7)可知，s=0時，tanβ= ∞，β =90°;s=時，tanβ=0，β=0°，因此可以得到在第一象限內(nèi)有條莫爾條紋，那么在360°范圍內(nèi)總莫爾條紋數(shù)S=。a

4 仿真及圖像處理

通過對圖2的光路進(jìn)行仿真，得到如圖4所示的無衍射光莫爾條紋圖像。由于直角棱鏡在豎直方向上的位移導(dǎo)致兩束無衍射光中心光斑距離的變化。從圖6中可明顯看出，兩束無衍射光中心距的改變會引起莫爾條紋數(shù)量的變化。

通過圖4的仿真結(jié)果可以看到，莫爾條紋的頻率要小于無衍射光的頻率，因此對圖4中仿真得到的圖進(jìn)行頻域空間的增強(qiáng)。在Matlab中首先對圖4進(jìn)行傅立葉變化得到頻域空間，然后選擇高斯低通濾波器，最后將增強(qiáng)的圖像通過傅立葉逆變換轉(zhuǎn)換回圖像空間，得到的圖像如圖5所示。

為了進(jìn)一步得到莫爾條紋數(shù)，將圖5進(jìn)行二值化處理，得到二值化圖像，定義在圖像中的一個內(nèi)乘圓，統(tǒng)計在該內(nèi)圓上，圖像灰度值變化的次數(shù)，讓計算機(jī)自動記錄圖像中由黑到白的變換次數(shù)，則變化的次數(shù)就是莫爾條紋數(shù)。圖6為二值化后的莫爾條紋圖，表1為通過程序統(tǒng)計得出的莫爾條紋數(shù)量。

圖4 兩束無衍射光產(chǎn)生的莫爾條紋仿真結(jié)果

圖5 高斯濾波后的傅立葉逆變換圖

圖6 二值化后的莫爾條紋圖

表1 莫爾條紋數(shù)結(jié)果

5 結(jié)論

本文用一種無衍射光莫爾條紋的計數(shù)方法來定位無衍射光中心光斑的位置。本方法的特點(diǎn)是通過兩束無衍射光的干涉產(chǎn)生了莫爾條紋，由莫爾條紋的數(shù)量關(guān)系得到兩束無衍射光的中心距，由此進(jìn)一步確定被測無衍射光的中心光斑位置。本文中莫爾條紋數(shù)學(xué)模型的兩束無衍射光中心點(diǎn)在y軸上保持一致，同樣如果中心點(diǎn)在x軸上也適用本文的結(jié)論。通過確定的無衍射光中心光斑位置，可以進(jìn)一步對多自由度在二維角度上的測量進(jìn)行研究，因此本文對無衍射光莫爾條紋在精密測量的應(yīng)用中有一定借鑒意義。

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