一類具有毒素和狀態(tài)依賴時(shí)滯的離散種群模型的持久性

林雪如

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350116)

在文獻(xiàn)[1]中，Chen 等研究了如下具有毒素和狀態(tài)依賴時(shí)滯的種群模型

其中r(t)，k(t)，a(t)，c(t)，bj(t)，dj(t)，j= 1，2，．．．，m 都是非負(fù)連續(xù)的實(shí)值周期函數(shù)，而且具有周期ω ＞0 ; r(t)，k(t)，a(t)，c(t) ＞0 ;τj，ηj也為ω 周期函數(shù)。利用重合度理論，他們得到了系統(tǒng)(1)存在正周期解。關(guān)于系統(tǒng)(1) 的更多生態(tài)背景可以參見文獻(xiàn)[1-4]以及它們所引用的文獻(xiàn)。

然而，許多學(xué)者[5-11]提出: 當(dāng)種群世代不重疊的時(shí)候，由差分方程描述的離散模型比連續(xù)模型更合適。而且，離散時(shí)間的模型可以為連續(xù)模型的數(shù)值模擬提供有效的計(jì)算模型，因此有必要研究用差分方程描述的離散時(shí)間模型。

眾所周知，持久性是研究種群動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)最重要的研究課題之一。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)關(guān)注的最有趣的而且最有意義的問題是:生態(tài)種群模型中各個(gè)種群的生存性問題。從生物學(xué)的角度來看，一個(gè)系統(tǒng)中相互作用的物種在一個(gè)合適的環(huán)境條件之下是持久的，這意味著所有的種群將在長時(shí)間內(nèi)永久持續(xù)生存下去。因此，很有必要研究一個(gè)生態(tài)種群系統(tǒng)在什么條件之下可以永久持續(xù)生存下去的問題。

基于上述問題的考慮，本文將研究系統(tǒng)(1) 對應(yīng)的如下離散種群模型

不像文獻(xiàn)[1]中關(guān)于參數(shù)都是周期函數(shù)的假設(shè)，我們將考慮更一般的情形，即考慮系統(tǒng)是一般的非自治系統(tǒng)。因此，我們假設(shè)系統(tǒng)(2) 的系數(shù)滿足如下條件:

r(n)，k(n)，a(n)，c(n)，bj(n)，dj(n)，τj(n)，ηj(n) ，j = 1，2，…，m 都是有界非負(fù)的序列。

我們很容易可以得到，系統(tǒng)(2) 滿足初始條件(3)的解u(n) ＞0，n ∈Z。

下面我們引入如下的記號:

對任意的有界序列 {a(n) }，

2 永久持續(xù)生存

定義1 如果存在正常數(shù)m 和M，使得系統(tǒng)(2)的每個(gè)正解u(n) 滿足

則系統(tǒng)(2)是永久持續(xù)生存的。

在這一節(jié)，我們將證明系統(tǒng)(2) 是永久持續(xù)生存的，在證明過程中需要用到一些引理。首先給出其中一個(gè)引理[12]。

引理1([12]) 令

如果y(k0) ≤u(k0)，那么y(k) ≤u(k) 對所有的k ≥k0成立。

接著，我們先來研究一下如下的單種群離散模型:

其中 {a(k) }和 {b(k) }都是嚴(yán)格正的有界實(shí)值序列，而且滿足0 ＜al≤au，0 ＜bl≤bu． 類似于文獻(xiàn)[6]中命題1 和命題3 的證明方法，我們很容易可以得到如下的引理:

引理2 對于系統(tǒng)(4) 滿足初始條件N(0) ＞0 的任意解滿足

其中

最后，我們給出證明系統(tǒng)(2) 是永久持續(xù)生存所需的第三個(gè)引理。

引理3([13]) 令x(n) 和b(n) 都是非負(fù)序列，c ≥0 是一個(gè)常數(shù)。如果

那么

下面，我們將證明系統(tǒng)(2) 是永久持續(xù)生存的，首先給出如下的一個(gè)命題。

命題1 令u(n) 是系統(tǒng)(2)的任意一個(gè)正解，那么

其中

證明 令u(n) 是系統(tǒng)(2) 的任意一個(gè)正解，由系統(tǒng)(2)可以得到

令u(n) = exp {x(n) }，那么

其中

運(yùn)用引理3，我們可以得到

因此

有了命題1，我們將給出系統(tǒng)(2) 是永久持續(xù)生存的結(jié)論。

定理1 假設(shè)

那么系統(tǒng)(2)是永久持續(xù)生存的。

證明 為了證明定理1，由命題1 可以知道，我們只需再證明在滿足條件(9) 的前提之下，有，其中

由命題1 可得，對任意的ε ＞0 ，存在正整數(shù)N1，當(dāng)n ＞N1時(shí)，有

由系統(tǒng)(2)和(10)，我們可以得到

對任意的n ＞N1+ τ 成立。

由條件(9) 可知引理1 和引理2 可以應(yīng)用到(11)，我們很容易可以得到

在(12)中令ε →0 ，可得

從而定理1 成立。

3 舉例子

為了驗(yàn)證定理1 中條件的可行性，我們將舉一個(gè)例子給予說明。

我們?nèi)(n) = 0．5，k(n) = 2，a(n) = 1．2，c(n) = 0．001，m = 2 ，即考慮如下具有毒素和狀態(tài)依賴時(shí)滯的種群模型:

其中

我們很容易驗(yàn)證定理1 中的條件滿足，因此，由定理1 可以得到:系統(tǒng)(13)是永久持續(xù)生存的。

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