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    平凡擴(kuò)張代數(shù)上的ξ-Lie導(dǎo)子

    2015-03-29 04:29:21
    關(guān)鍵詞:中令導(dǎo)子天水

    王 力 梅

    (天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741000)

    平凡擴(kuò)張代數(shù)上的ξ-Lie導(dǎo)子

    王 力 梅

    (天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741000)

    ξ-Lie導(dǎo)子是導(dǎo)子以及Lie導(dǎo)子的推廣,設(shè)f為平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的一個(gè)ξ-Lie導(dǎo)子,利用平凡擴(kuò)張代數(shù)上的運(yùn)算性質(zhì),給出了f為平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的ξ-Lie導(dǎo)子的充分必要條件。

    平凡擴(kuò)張代數(shù);ξ-Lie導(dǎo)子;導(dǎo)子

    0 引 言

    設(shè)R是有單位元的交換環(huán),A是定義在R上的有單位元的代數(shù),M是代數(shù)A的雙邊模,Z(A)表示雙邊模的中心,f是代數(shù)A到M的線性映射,如果對(duì)于任意的a,b∈A,有f(ab)=f(a)b+af(b),則稱f是導(dǎo)子;如果對(duì)于任意的a,b∈A,有f([a,b]ξ)=[f(a),b]ξ+[a,f(b)]ξ,則稱f是ξ -Lie導(dǎo)子,其中[a,b]ξ=ab-ξba為a與b的ξ -Lie積.顯然,當(dāng)ξ=0,1時(shí),ξ -Lie導(dǎo)子分別是導(dǎo)子和lie-導(dǎo)子。

    近年來(lái),許多學(xué)者對(duì)環(huán)及各類代數(shù)上的導(dǎo)子、Lie-導(dǎo)子及ξ-Lie導(dǎo)子等作了大量的研究,已取得了豐碩的研究成果。例如文獻(xiàn)[1]、[2]對(duì)環(huán)上的導(dǎo)子進(jìn)行了刻畫(huà);文獻(xiàn)[3-7]對(duì)三角環(huán)及三角代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[8]、[9]給出了巴拿赫代數(shù)上的導(dǎo)子、Jordan導(dǎo)子、線性Lie-導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。有關(guān)平凡擴(kuò)張代數(shù)的結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)可參看文獻(xiàn)[10-12]。尤其文獻(xiàn)[12]對(duì)平凡擴(kuò)張代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子作了刻畫(huà),受上述工作的啟發(fā),本文對(duì)平凡擴(kuò)張代數(shù)上ξ-Lie導(dǎo)子進(jìn)行新的刻畫(huà)。

    關(guān)于平凡擴(kuò)張代數(shù)的一些基本概念如下:

    (A⊕B)={(a,m):a∈A,m∈M}表示由代數(shù)A和雙邊模M構(gòu)成的平凡擴(kuò)張代數(shù),其中加法和乘法運(yùn)算定義如下:

    (a,m)+(b,n)=(a+b,m+n),(a,m)(b,n)=(ab,an+mb),?(a,m),(b,n)∈(A⊕B)

    本文將平凡擴(kuò)張代數(shù)上線性映射寫(xiě)成如下形式,f(a,m)=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),其中f11∶A→A,f12∶A→M,f21∶M→A,f22∶M→M,即f11是代數(shù)A上的線性映射,f12是代數(shù)A到雙邊模M上的線性映射,f21是雙邊模M到代數(shù)A上的線性映射,f22是雙邊模M上的線性映射。

    1 主要定理

    設(shè)f是平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的一個(gè)線性映射,則f是(A⊕B)上的ξ-Lie導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的a∈A和m,n∈M,有

    (i)f11和f12是ξ-Lie導(dǎo)子

    (ii)f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξf21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

    (iii)[f21(m),n)ξ+[m,f21(n)]ξ=0,

    (iv)f22(ma-ξam)=[f22(m),a]ξ+[m,f11(a)]ξ

    f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

    證明 若f是平凡擴(kuò)張代數(shù)的ξ-Lie導(dǎo)子,則對(duì)于?(a,m),(b,n)∈(A⊕B),

    f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

    [f(a,m),(b,n)]ξ=[(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),(b,n)]ξ

    = (f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

    = ([f11(a)+f21(m),b]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

    [(a,m),f(b,n)]ξ

    = (a,m)(f11)(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

    = ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

    故f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

    = ([f11(a)+f21(m),b)]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

    + ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

    = ([f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ,

    [f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ)記x=[f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ

    y=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ

    又由于

    f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))

    =f((ab-ξba),(an+mb)-ξ(bm+na))

    = (f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))

    (1)

    由(a,m)和(b,n)的任意性,令m=n=0并代入(1)有

    f11((ab-ξba))=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ

    f12(ab-ξba)=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ

    因此,f11,f12是ξ-Lie導(dǎo)子

    將上述結(jié)果代入(1)有

    f21(an-ξna+mb-ξbm)=[f21(m),b]ξ+[a,f21(n)]ξ

    (2)

    f22(an-ξna+mb-ξbm)=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ

    +[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f22(n)]ξ

    (3)

    在(2)中令n=0,b=a有f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξ

    (4)

    在(2)中令m=0有f21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

    在(3)中令n=0有f22(mb-ξbm)=[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ

    在(3)中令m=0有f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

    在(3)中令a=0有f22(mb-ξbm)=[f21(m),n]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ

    (5)

    由(4)和(5)[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

    下證充分性

    f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m)=(f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))由已知條件知,上式=([f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ,

    [f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ)

    現(xiàn)設(shè)

    x1=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ

    y1=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ

    由于[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

    令y2=y1+[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ

    則f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))=(x1,y1)=(x1,y2)

    =(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

    +(a,m)(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

    =[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ。

    [1]Bresar M.A note on derivations[J].Math J Okayama Univ,1990,(32):83-88.

    [2]Lee T K,Lin J S.A result on derivations[J].Proc Amer Math Soc,1996,(124):1687-1691.

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    [12]Hughes D,Waschb J.Trival extensions of tilted algebras[J].Proc London Math Soc,1983,88(03):347-364.

    [責(zé)任編輯:鄭秀亮 英文編輯:劉彥哲]

    ξ-LieDerivation on Ordinary Extension Algebras

    WANG Li-mei

    (College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu 741000,China)

    ξ-Liederivation is the extension of derivation andLie-derivation.Letfbe a linear mapping on the ordinary extension algebra(A⊕B),a sufficient and necessary condition which isξ-Liederivation is given in this paper.

    ordinary extension algebra;ξ-Liederivation;derivation

    王力梅(1980-),女,甘肅蘭州人,講師,主要研究方向?yàn)榄h(huán)上的導(dǎo)子。

    O 153.3

    A

    10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.002

    來(lái)稿日期:2015-05-22

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