再入飛行器俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的分叉理論與計(jì)算分析

袁先旭，陳 琦，＊，何 琨，謝昱飛，張涵信

（1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽 621000；2.國家CFD實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

（1），易得：

再入飛行器俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的分叉理論與計(jì)算分析

袁先旭1，陳 琦1，＊，何 琨1，謝昱飛1，張涵信2

（1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽 621000；2.國家CFD實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

采用非線性自治動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論，耦合求解非定常Navier-Stokes方程和俯仰運(yùn)動(dòng)方程，研究了再入飛行器單自由度俯仰運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)問題。研究表明，航天飛行器再入時(shí)，如果僅有一個(gè)配平攻角，隨馬赫數(shù)降低，其配平攻角處的俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)一般對應(yīng)于Hopf分叉，并存在亞臨界Hopf分叉和超臨界Hopf分叉兩種失穩(wěn)形態(tài)。作為驗(yàn)證實(shí)例，數(shù)值模擬了飛船返回艙外形和平頭有翼雙錐外形的俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。結(jié)果表明，返回艙再入時(shí)，隨馬赫數(shù)降低將發(fā)生超臨界Hopf分叉，俯仰運(yùn)動(dòng)由點(diǎn)吸引子演化為周期吸引子，臨界Hopf分叉點(diǎn)發(fā)生在馬赫數(shù)2.2處；而平頭再入體隨馬赫數(shù)降低，發(fā)生亞臨界Hopf分叉，俯仰運(yùn)動(dòng)則是由周期吸引子演化為點(diǎn)吸引子，馬赫數(shù)6.8為臨界Hopf分叉點(diǎn)。

Hopf分叉；動(dòng)態(tài)失穩(wěn)；再入飛行器；非定常數(shù)值模擬

0 引 言

航天再入飛行器出于防熱的需求，通常設(shè)計(jì)成鈍頭體構(gòu)型。這類飛行器再入時(shí)，由于要經(jīng)歷高超聲速、超聲速至亞跨聲速的全流域飛行，特別是在中-低超聲速階段，俯仰運(yùn)動(dòng)將會(huì)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象［1］，表現(xiàn)為俯仰振動(dòng)的振幅逐漸增加，最終形成極限環(huán)振蕩。對再入飛行器動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象的研究始于20世紀(jì)50年代［2-3］，如今六十多年過去了，動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的物理機(jī)制以及動(dòng)態(tài)特性的準(zhǔn)確預(yù)測仍然困擾著研究人員［4］。美國“阿波羅號”載人飛船在研制過程中，雖然采用9套模型分別在14座風(fēng)洞中進(jìn)行了亞、跨、超和高超聲速風(fēng)洞試驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)間累計(jì)高達(dá)700多小時(shí)，但其動(dòng)態(tài)特性問題仍沒有完全解決。最近基于“阿波羅號”飛船研制的“獵戶座”CEV，在投放試驗(yàn)中由于多次出現(xiàn)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象而失效，經(jīng)過Langley的深入研究才得以解決，并于2014年12月5日飛行試驗(yàn)成功。

已有的研究表明，小升阻比的載人飛船返回艙外形以球冠倒錐形為最優(yōu)［5-7］。該類外形的飛船返回艙以較大的配平攻角再入，后體有大尺度的分離和再附，流場中存在復(fù)雜的波系結(jié)構(gòu)（圖1）。鈍體氣流分離效應(yīng)、后體氣流再附效應(yīng)、船尾近尾渦流效應(yīng)和動(dòng)態(tài)遲滯效應(yīng)等對飛船返回艙的靜、動(dòng)穩(wěn)定性都有影響。

圖1 返回艙再入時(shí)典型波系Fig.1 Flow characteristics of reentry capsule

因此，有研究者試圖通過有限度的改變返回艙后體外形，以改變后體分離拓?fù)湫螒B(tài)，從而改善返回艙的穩(wěn)定性，如“聯(lián)盟號”和“神舟號”載人飛船返回艙在光體倒錐上增加穩(wěn)定翼［8］。當(dāng)前已有的大量試驗(yàn)與計(jì)算研究，一般只能給出動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象的唯象描述，缺乏理論分析［9-11］。本文采用非線性自治動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論，耦合求解非定常Navier-Stokes方程和俯仰運(yùn)動(dòng)方程，研究了球冠倒錐飛船返回艙外形和平頭有翼雙錐外形的單自由度俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)問題，給出了Hopf分叉理論描述和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，分析了兩種外形發(fā)生不同Hopf分叉的機(jī)制［8］。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 平面自治動(dòng)力系統(tǒng)

這里只研究軸對稱飛行器繞重心作單自由度俯仰振蕩的運(yùn)動(dòng)情況，其坐標(biāo)系見圖2。

圖2 單自由度俯仰運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate system of pitching

設(shè)ξ-η-ζ是與飛行器相固連的正交坐標(biāo)系，ξ軸與飛行器的體軸重合，η、ζ兩軸構(gòu)成俯仰對稱平面。x-y-z是慣性靜止坐標(biāo)系，x軸與來流方向一致。設(shè)αt為平衡攻角，θ（t）是由平衡攻角起算的俯仰振蕩角，則瞬態(tài)攻角為α（t）＝αt＋θ（t）。此時(shí)，描述飛船返回艙俯仰振蕩運(yùn)動(dòng)和非定常動(dòng)態(tài)繞流以及所受俯仰力矩的無量綱化的耦合方程組為［3］：

式（1）為描述飛行器單自由度俯仰運(yùn)動(dòng)方程，I表示無量綱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，右端項(xiàng)包括氣動(dòng)俯仰力矩系數(shù)Cm和機(jī)械阻尼力矩系數(shù)Cμ。在自由飛行中Cμ為 0，在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中應(yīng)當(dāng)計(jì)及它的貢獻(xiàn)。分別表示俯仰角θ對時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)。式（2）為非定常Navier-Stokes方程，空間離散采用原始變量NND格式，時(shí)間離散采用雙時(shí)間步方法。式（3）為俯仰力矩系數(shù)的積分關(guān)系式。非定常計(jì)算方法的詳細(xì)描述及方程中各符號的含義見文獻(xiàn)［8］。

對任意非定常運(yùn)動(dòng)，Etkin認(rèn)為［9］非定常氣動(dòng)力和力矩是狀態(tài)變量的泛函。據(jù)此可給出動(dòng)態(tài)俯仰力矩系數(shù)表達(dá)式：

在多數(shù)情況下，可只保留到一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，但在某些情況下，為了保證足夠的精確度，必須保留到二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。已經(jīng)證明，這一假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中的適用范圍極為廣泛。將式（4）保留至二階導(dǎo)數(shù)，并將無量綱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I吸收到Cm和Cμ中，且吸收后的力矩系數(shù)和機(jī)械阻尼系數(shù)仍用Cm和Cμ表示，代入式

（1），易得：

這里，下標(biāo)0表示在平衡攻角處的定態(tài)俯仰力矩，故有（Cm）0＝0。非線性項(xiàng)是關(guān)于θ、的高階項(xiàng)，假定當(dāng)時(shí)，非線性項(xiàng)更高階地趨于0，即非線性項(xiàng)滿足Perron定理［12］。將式（6）代入式（5），即得：

1.2 Hopf分叉分析

假設(shè)上述非線性系統(tǒng)式（8）的非線性項(xiàng)滿足Perron定理，根據(jù)動(dòng)力學(xué)方法［8，12］，可以用非線性系統(tǒng)的一次近似系統(tǒng)式（9）來分析其平衡解的穩(wěn)定性。

則一次近似系統(tǒng)式（9）的Jacobian矩陣的特征值為：。根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的有關(guān)定理，可知在p-q平面上各類平衡點(diǎn)（也稱奇點(diǎn)或臨界點(diǎn)）的區(qū)域如圖3。

圖3p-q平面上各類平衡點(diǎn)的區(qū)域圖Fig.3 Distribution of critical point inp-qplane

（1）若λ＜0，Δ＜0，易得到：p＞0，q＞0，則在（x，y）相平面上，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)，也稱焦點(diǎn)。在平衡點(diǎn)（0，0）附近，非線性動(dòng)力系統(tǒng)式（8）的軌線為穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)形態(tài)（圖4（a））。俯仰振蕩角的時(shí)間歷程曲線是收斂的，即隨時(shí)間t增加，θ是減小的，最后趨于0（圖4（b））。因此，λ＜0和Δ＜0可作為平衡點(diǎn)的動(dòng)穩(wěn)定性的判據(jù)。

圖4 平衡點(diǎn)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性示意圖（λ＜0）Fig.4 Sketch of dynamic stabilization at balance angle of attack（λ＜0）

（2）若λ＞0，Δ＜0，可得到：p＜0，q＞0，則在（x，y）相平面上，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)，在平衡點(diǎn)（0，0）附近，非線性動(dòng)力系統(tǒng)式（8）的軌線為不穩(wěn)定的螺旋點(diǎn)形態(tài)（圖5（a））。俯仰振蕩角的時(shí)間歷程曲線是發(fā)散的，即隨時(shí)間t增加，θ是增大的（圖5（b））。

圖5 平衡點(diǎn)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性示意圖（λ＞0）Fig.5 Sketch of dynamic stabilization at balance angle of attack（λ＞0）

（3）若λ＝0，Δ＜0，可以得到：p＝0，q＞0，非線性動(dòng)力系統(tǒng)式（8）的一次近似系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值，在λ＝λcr＝0時(shí)，滿足：

于是，在λ＝λcr＝0時(shí)，系統(tǒng)的特征值滿足Hopf分叉的三個(gè)條件［12］，其中第三個(gè)條件稱為Hopf分叉的橫截條件（transversality condition）。即當(dāng)λ由λ＜0經(jīng)過λ＝0變化至λ＞0時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)式（8）將發(fā)生Hopf分叉，在（x，y）相平面上平衡點(diǎn)（0，0）失穩(wěn)，出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)（圖6（a））。俯仰振蕩角的時(shí)間歷程曲線在達(dá)到穩(wěn)定后既不收斂也不發(fā)散，即隨時(shí)間t增加θ出現(xiàn)周期振蕩（圖6（b））。

圖6 平衡點(diǎn)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性示意圖（λ＝0）Fig.6 Sketch of dynamic stabilization at balance angle of attack（λ＝0）

這樣，理論上就獲得了單自由度俯仰運(yùn)動(dòng)發(fā)生動(dòng)態(tài)Hopf分叉失穩(wěn)，出現(xiàn)極限環(huán)振蕩的臨界條件，即：

飛行器自由飛行時(shí)，Cμ＝0，一般情況下，二階動(dòng)導(dǎo)數(shù)的量值遠(yuǎn)小于1，于是有：

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

針對飛船返回艙外形和平頭雙錐外形，對上述Hopf分叉理論進(jìn)行驗(yàn)證。對于每個(gè)外形，需要求解三類流場：首先，計(jì)算定態(tài)繞流流場，以獲取平衡攻角，并為后續(xù)的非定常計(jì)算提供初場；然后，數(shù)值模擬強(qiáng)迫俯仰振蕩過程，通過參數(shù)辨識，獲取平衡攻角處的靜、動(dòng)導(dǎo)數(shù)［13-20］；最后，計(jì)算自激俯仰振蕩過程，驗(yàn)證Hopf分叉理論。

2.1 飛船返回艙數(shù)值模擬

日本的軌道再入實(shí)驗(yàn)飛船OREX是一個(gè)球冠加倒錐外形的旋成體，計(jì)算網(wǎng)格和外形見圖7。質(zhì)心在體軸上，再入時(shí)只存在一個(gè)大頭朝前的平衡攻角αt＝0°。

圖7 返回艙外形和計(jì)算網(wǎng)格Fig.7 Configuration of the capsule and computational grid

風(fēng)洞試驗(yàn)和飛行試驗(yàn)均表明，該返回艙在再入經(jīng)過跨、超聲速階段時(shí)，會(huì)發(fā)生俯仰方向的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象，出現(xiàn)繞平衡攻角的準(zhǔn)極限環(huán)振蕩。這里選取的馬赫數(shù)Ma變化范圍為1.5～6.0，雷諾數(shù)均取Re＝1.0 ×105，以單獨(dú)考察俯仰動(dòng)態(tài)特性隨馬赫數(shù)的演化規(guī)律。強(qiáng)迫俯仰運(yùn)動(dòng)給定為簡諧振動(dòng)，即：

這里，平衡攻角αt＝0°，振幅Am＝1°，無量綱的減縮頻率k＝0.2。圖8給出了不同馬赫數(shù)時(shí)俯仰運(yùn)動(dòng)繞平衡攻角的遲滯環(huán)?？梢钥吹?，隨著馬赫數(shù)降低，遲滯環(huán)由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)演化至逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，包圍的面積先減小后增大，轉(zhuǎn)化的臨界馬赫數(shù)約為2.2。

基于上述遲滯環(huán)，采用最小二乘法即可辨識出平衡攻角處的靜導(dǎo)數(shù)、動(dòng)導(dǎo)數(shù)和二階動(dòng)導(dǎo)數(shù)，辨識結(jié)果隨馬赫數(shù)的變化曲線見圖9。在所有馬赫數(shù)下，靜導(dǎo)數(shù)都小于0，即靜穩(wěn)定。隨馬赫數(shù)降低，動(dòng)導(dǎo)數(shù)由小于0演化大于0，發(fā)生變號的臨界馬赫數(shù)約為2.2。二階動(dòng)導(dǎo)數(shù)量值很小，基本可忽略不計(jì)。

圖8 不同馬赫數(shù)時(shí)的俯仰運(yùn)動(dòng)遲滯圈Fig.8 Hysteresis loop of pitching at different Mach numbers

圖9 俯仰靜、動(dòng)導(dǎo)數(shù)隨馬赫數(shù)降低的演化情況Fig.9 Static and dynamic derivatives vs.Mach number

圖10 分叉參數(shù)λ隨馬赫數(shù)變化曲線Fig.10 Bifurcation parameterλvs.Mach number

圖11 平衡攻角在p-q平面上的性態(tài)變化示意圖Fig.11 Dynamic stabilization at balance angle of attack inp-qplane

由靜導(dǎo)數(shù)、動(dòng)導(dǎo)數(shù)和二階動(dòng)導(dǎo)數(shù)可計(jì)算出相平面上的特征參數(shù)p、q和Δ，進(jìn)而得到分叉參數(shù)λ（Ma）隨馬赫數(shù)的變化曲線，其結(jié)果見圖10。圖11還給出了隨馬赫數(shù)降低，平衡攻角附近的俯仰動(dòng)態(tài)特性在p-q平面上的性態(tài)變化示意圖。

圖12 自激俯仰振蕩的時(shí)間歷程曲線Fig.12 Time history of pitch-angle of self-induced pitching at different Mach numbers

圖13 自激俯仰振蕩的俯仰角速度-俯仰角相圖Fig.13 Pitch velocity vs.pitch angle of self-induced pitching at different Mach numbers

根據(jù)第二節(jié)的Hopf分叉理論分析，可以預(yù)測，隨著馬赫數(shù)降低，該飛船返回艙的俯仰運(yùn)動(dòng)將發(fā)生臨界Hopf分叉失穩(wěn)，平衡攻角將由穩(wěn)定的點(diǎn)吸引子演化為極限環(huán)周期吸引子，分叉的臨界馬赫數(shù)約為2.2。這個(gè)結(jié)論正確與否即可驗(yàn)證第二節(jié)的Hopf分叉理論，下面通過數(shù)值模擬自激俯仰振蕩的過程來進(jìn)行驗(yàn)證。

自激振蕩的起始攻角為3°或5°，計(jì)算馬赫數(shù)為2.5、2.2和2.0，通過耦合求解方程（1）～（3），數(shù)值模擬自激俯仰振蕩的時(shí)間歷程。圖12給出了不同馬赫數(shù)時(shí)俯仰角的時(shí)間歷程曲線。圖13給出了不同馬赫數(shù)時(shí)俯仰角速度-俯仰角相圖?？梢钥吹?，馬赫數(shù)2.5時(shí)，返回艙從3°攻角釋放后，振幅逐漸減?。获R赫數(shù)2.2時(shí)，從3°和5°攻角釋放后，振幅均不增加也不減?。欢R赫數(shù)2.0時(shí)，俯仰振動(dòng)的振幅不斷增大，最后發(fā)展為極限環(huán)振蕩。也即，隨著馬赫數(shù)降低，平衡攻角由穩(wěn)定的點(diǎn)吸引子狀態(tài)演化為極限環(huán)周期吸引子狀態(tài)，從而驗(yàn)證了本文動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的Hopf分叉理論。

2.2 平頭雙錐外形的數(shù)值模擬

飛船返回艙是典型的大鈍體再入飛行器，另一類再入飛行器為細(xì)長體，這里選用一種平頭雙錐細(xì)長體外形，圖14為外形示意圖。外形呈軸對稱，重心在體軸上，因此，在不同馬赫數(shù)下，均有0°平衡攻角。計(jì)算馬赫數(shù)分別為7.5、7.0、6.0、5.0、4.0，計(jì)算方法、過程與上節(jié)相同，這里不再重復(fù)，只給典型的計(jì)算結(jié)果。

圖14 平頭雙錐外形示意圖Fig.14 Sketch of the flat-nose winged double-cone body

圖15 不同馬赫數(shù)時(shí)動(dòng)導(dǎo)數(shù)隨攻角的變化曲線Fig.15 Dynamic derivatives with respect to angles of attack at different Mach numbers

圖15給出了動(dòng)導(dǎo)數(shù)隨馬赫數(shù)和俯仰角的變化曲線。圖16給出了Hopf分叉參數(shù)隨馬赫數(shù)降低的變化規(guī)律，變號的臨界馬赫數(shù)約為6.8。圖17給出平衡攻角隨馬赫數(shù)降低在p-q平面上的性態(tài)變化示意圖。同理根據(jù)第2節(jié)的Hopf分叉理論分析，隨馬赫數(shù)降低，該平頭雙錐細(xì)長體外形的俯仰運(yùn)動(dòng)將發(fā)生臨界Hopf分叉失穩(wěn)，平衡攻角將由極限環(huán)周期吸引子演化為穩(wěn)定的點(diǎn)吸引子，分叉的臨界馬赫數(shù)為Ma＝6.8。

同樣對平頭雙錐外形，其俯仰運(yùn)動(dòng)隨馬赫數(shù)降低將發(fā)生臨界Hopf分叉失穩(wěn)的理論預(yù)測，也可用數(shù)值模擬自激俯仰振蕩來驗(yàn)證。初始姿態(tài)角為1°和4°，俯仰角速度為1°/s。圖18為馬赫數(shù)為6.0和7.0的時(shí)間歷程曲線，當(dāng)Ma＞6.8時(shí)，俯仰姿態(tài)角是發(fā)散的；當(dāng)M＜6.8時(shí)，俯仰姿態(tài)角是收斂的，進(jìn)一步驗(yàn)證了關(guān)于飛行器再入時(shí)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的臨界Hopf分叉理論。

圖16 分叉參數(shù)λ隨馬赫數(shù)變化曲線Fig.16λwith respect to Mach number

圖17 平衡攻角在p-q平面上的性態(tài)變化示意圖Fig.17 Dynamic stabilization at balance angle of attack inp-qplane

圖18 自激俯仰振蕩的時(shí)間歷程曲線Fig.18 Time history of pitch-angle at different Mach numbers

3 結(jié) 論

針對航天飛行器再入時(shí)的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)問題，基于Etkin假設(shè)，建立了描述單自由度俯仰運(yùn)動(dòng)的平面自治動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，引入Hopf分叉理論，分析俯仰運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性隨馬赫數(shù)變化的演化規(guī)律，并進(jìn)行了非定常數(shù)值模擬驗(yàn)證。主要結(jié)論如下：

（1）發(fā)展了再入飛行器動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的Hopf分叉理論分析方法，結(jié)合靜、動(dòng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算，即可預(yù)測動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象、臨界參數(shù)和失穩(wěn)后的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)形態(tài)。

（2）航天飛行器再入俯仰動(dòng)態(tài)Hopf分叉失穩(wěn)現(xiàn)象，存在亞臨界和超臨界Hopf分叉兩種形態(tài)。對于亞臨界Hopf分叉，再入時(shí)隨Ma降低，由點(diǎn)吸引子演化至周期吸引子，對飛行安全有影響；對于超臨界Hopf分叉，再入時(shí)隨Ma降低由周期吸引子演化至點(diǎn)吸引子，一般不影響飛行安全。

（3）針對鈍體和細(xì)長體兩類典型再入飛行器，通過數(shù)值模擬自激俯仰振蕩的演化歷程，分別對應(yīng)于亞臨界和超臨界Hopf分叉失穩(wěn)。驗(yàn)證了所發(fā)展的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)Hopf分叉理論分析方法。

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Dynamic destabilization analysis of the reentry vehicles using bifurcation theory and unsteady numerical simulation

Yuan Xianxu1，Chen Qi1，He Kun1，Xie Yufei1，Zhang Hanxin2
（1.Computational Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China；2.National Laboratory for CFD，Beijing 100191，China）

To study the problem about dynamic destabilization of the reentry vehicles，the bifurcation theory of nonlinear autonomous dynamic system is used together with the unsteady Navier-Stokes equations simulating the pitching process.The investigations shown that，the astronautic vehicles reentering into the atmosphere would generally occur a dynamic destabilization of pitching motion as their flight Mach number decreased，and the phenomenon of dynamic destabilization befallens at the point of the Hopf bifurcation，furthermore，there are two types of Hopf bifurcation named subcritical Hopf bifurcation and supercritical Hopf bifurcation.To validate the theory of the Hopf bifurcation，two reentry configurations are numerically studied.One is the Japanese capsule OREX，composed of a spherical cap facing forward and a reversed cone facing backward.With Mach number decreases in the reentry process for the capsule，the pitching motion would evolve from a point attractor to a periodic attractor，and the critical Mach number is about 2.2when the subcritical Hopf bifurcation occurs，the theory analysis and simulation result is in good agreement with the experiment and flight test results.The other configuration is a flat-nose winged double-cone body，with the decrease of Mach number，its pitching motion would evolve from a periodic attractor to a point attractor，and the critical Mach number at which the supercritical Hopf bifurcation occurs is about 6.8.

hopf bifurcation；dynamic destabilization；reentry vehicle；unsteady numerical simulation

V211.3

：Adoi：10.7638/kqdlxxb-2015.0022

0258-1825（2015）02-0162-08

2015-01-10；

：2015-03-24

國家自然科學(xué)基金（11372341，912162001，11172315）

袁先旭（1974-），男，研究員，研究方向：非定?？諝鈩?dòng)力學(xué)、飛行器動(dòng)態(tài)特性.E-mail：yuanxianxu＠m(xù)ail.cardc.cn

陳琦＊，男，助理研究員，研究方向：計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué).E-mail：chenqi＠m(xù)ail.ustc.edu.cn

袁先旭，陳琦，何琨，等.再入飛行器俯仰動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的分叉理論與計(jì)算分析［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33（2）：162-169.

10.7638/kqdlxxb-2015.0022 Yuan X X，Chen Q，He K，et al.Dynamic destabilization analysis of the reentry vehicles using bifurcation theory and unsteady numerical simulation［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33（2）：162-169.