電磁場作用下中鋁合金熔體流動(dòng)的混沌特征的仿真與分析

劉 政，張嘉藝，余昭福

(1. 江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，贛州 341000；2. 江西理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，贛州 341000)

在合金的凝固過程中，熔體流動(dòng)所起的作用已有不少研究[1-6]，凝固前沿的熔體流動(dòng)通過影響固液界面處的熱質(zhì)分布和結(jié)晶動(dòng)力學(xué)，從而對(duì)凝固組織的形態(tài)、成分和晶體缺陷產(chǎn)生影響。而且合金熔體的流動(dòng)是凝固過程中一種不可避免的現(xiàn)象，也是影響其綜合性能的重要因素之一。為了利用熔體流動(dòng)對(duì)凝固顯微組織進(jìn)行有效預(yù)測和調(diào)控，人們在合金凝固的研究和生產(chǎn)中使用了各種外場，其中電磁場技術(shù)是在合金凝固前或凝固過程中對(duì)合金熔體施加電磁場，利用合金和電磁場的相互作用，改善其凝固組織[7]。

電磁場作用下的金屬凝固是一個(gè)非平衡過程，傳統(tǒng)的金屬凝固理論可能不完全適應(yīng)，還須不斷探索新的理論及研究方法進(jìn)行完善。鋁合金中的添加元素或細(xì)化劑(如AlTiB、RE、Zr、Na)等是否能夠?qū)崿F(xiàn)強(qiáng)化、凈化、細(xì)化等功效，與它們在合金熔體中的分布不無關(guān)系。以往的研究表明[8-9]，在熔體中，特別是固液共存狀態(tài)下，溶質(zhì)元素的擴(kuò)散遷移將受到熔體流動(dòng)特性的影響，繼而影響到合金的凝固組織[10]。因此，控制溶質(zhì)在熔體中的傳輸、擴(kuò)散與分布對(duì)合金制品的最終性能極為重要。

目前，由于凝固理論的不完善與研究手段的欠缺，人們對(duì)于合金處于固液共存、高黏性狀態(tài)下的流動(dòng)規(guī)律及其溶質(zhì)傳輸?shù)恼J(rèn)識(shí)與控制，還受到一些限制。20世紀(jì)80年代初期，AREF[11]提出了混沌對(duì)流的概念，并用來強(qiáng)化粘稠流體中的混合、傳質(zhì)與傳熱。后來混沌對(duì)流的理論與技術(shù)在化學(xué)工程中率先獲得應(yīng)用[12-13]，有實(shí)驗(yàn)研究表明，混沌混合可以有效改變攪拌器內(nèi)流體混合效果[14-15]。因此，引入混沌理論探索合金熔體流場中溶質(zhì)擴(kuò)散、分布規(guī)律，達(dá)到控制合金凝固組織具有十分重要的意義。

在混沌理論中，表征系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)混沌特性的3個(gè)特征量：維數(shù)、Lyapunov指數(shù)、Kolmogorov熵。為今后進(jìn)一步探究鋁合金熔體在電磁場作用下流動(dòng)的特性，更好地調(diào)控熔體流動(dòng)對(duì)合金中溶質(zhì)傳輸、擴(kuò)散與分布的影響，繼而對(duì)合金凝固組織的影響，本文作者先用 CFD-Fluent流體力學(xué)軟件模擬電磁場中鋁熔液微粒運(yùn)動(dòng)軌跡，再在Matlab平臺(tái)上分析計(jì)算運(yùn)動(dòng)軌跡的Lyapunov指數(shù)以及Kolmogorov熵值，并對(duì)其變化規(guī)律進(jìn)行混沌判斷描述及分析，揭示半固態(tài)合金熔體在電磁場作用下流體的混沌特征，并對(duì)今后從非線性科學(xué)的角度表明合金熔體流動(dòng)對(duì)凝固組織影響的演變打下基礎(chǔ)。

表1 A、B和C的起始坐標(biāo)Table 1 Starting coordinate positions of A, B and C

1 Fluent模擬

將盛鋁熔液的容器(坩堝)簡畫成圓柱體(半徑 3 cm，高12 cm)，所研究的電磁場內(nèi)的流體為A356鋁熔液，其液態(tài)密度為2630 kg/m3，動(dòng)力黏度為1.2×10-5Pa·s，熱導(dǎo)系數(shù)為161 W/m，比熱為880 J/kg；而該合金的液相線溫度與固相線溫度分別為 615.6 ℃(888.6 K)和576.1 ℃(849.1 K)。電磁場為交變場，其電磁場頻率分別設(shè)置為5、15和30 Hz。攪拌時(shí)間均為5 s。熔體澆注初始溫度參數(shù)設(shè)置為923 K(即650 ℃)。選用標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型。磁場強(qiáng)度通過加載MHD磁場模塊導(dǎo)入，已知磁場強(qiáng)度公式為H=NL/Le，N為線圈匝數(shù)(實(shí)驗(yàn)所用為3個(gè)對(duì)極的電磁攪拌器，匝數(shù)為9)；L為電流強(qiáng)度；Le為樣品有效磁路長度(橫截面直徑為6 cm)，可知磁場頻率不同，勵(lì)磁電流也不同，在頻率為5 Hz時(shí)，電流強(qiáng)度L=0.425 A，磁場強(qiáng)度H=63.75 A/m；在頻率為15 Hz時(shí)，磁場強(qiáng)度H=191.25 A/m；頻率為30 Hz時(shí)，磁場強(qiáng)度H=382.8 A/m?？芍S著磁場頻率增加，磁場強(qiáng)度也隨著增加。眾所周知，金屬熔體在坩堝內(nèi)會(huì)產(chǎn)生很大的溫度梯度，甚至接近坩堝壁會(huì)形成樹枝晶，所產(chǎn)生的溫度場分布及不同頻率引起的溫度場變化是不同的，但不影響其合金熔體微粒的運(yùn)動(dòng)且模擬攪拌時(shí)間僅為 5 s，合金熔體降溫較小，還可以保持液態(tài)而進(jìn)行充分的流動(dòng)，并不會(huì)影響設(shè)置的邊界條件。所以壁面采用黏性流動(dòng)壁面 Wall界面來模擬其滑移壁面，其動(dòng)量方程、湍動(dòng)能方程和湍動(dòng)能耗散率均采用二階迎風(fēng)差分格式，采用SIMPLEC算法。實(shí)驗(yàn)采用3組對(duì)比模擬實(shí)驗(yàn)，以其不同的頻率作為比較對(duì)象，每組隨機(jī)模擬2個(gè)相近微粒坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別標(biāo)記為A(A1，A2)、B(B1，B2)、C(C1，C2)，如表1所列。

將其運(yùn)動(dòng)軌跡導(dǎo)入 Matlab中更加直觀地顯示(如圖 1～3 所示)。

從圖1中可以明顯看出，在頻率為5 Hz時(shí)，熔體內(nèi)微粒A、B和C在凝固系統(tǒng)中受施加的電磁場均發(fā)生不規(guī)則三維流動(dòng)。隨著頻率的增大其他條件不變的情況下，在頻率為15 Hz下，熔體內(nèi)微粒A、B和C做較圖1更復(fù)雜的湍流運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。隨著電磁頻率進(jìn)一步地增大，意味著電磁場對(duì)合金熔體的擾動(dòng)加劇，熔體流速加快，湍動(dòng)越明顯，其中的微粒運(yùn)動(dòng)軌跡越復(fù)雜多變，如圖3中A、B和C微粒軌跡所示。

圖1 A、B和C在頻率為5 Hz時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig. 1 Trajectories of A, B and C at frequency of 5 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

圖2 A、B和C在頻率為15 Hz時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig. 2 Trajectories of A, B and C at frequency of 15 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

圖3 A、B和C在頻率為30 Hz時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig. 3 Trajectories of A, B and C at frequency of 30 Hz: (a)A(A1, A2); (b) B(B1, B2); (c) C(C1, C2)

2 Lyapunov指數(shù)及計(jì)算分析

2.1 Lyapunov指數(shù)

首先，Lyapunov指數(shù)是針對(duì)系統(tǒng)的軌道而言的?；煦邕\(yùn)動(dòng)基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件極其敏感，兩個(gè)極為靠近的初始坐標(biāo)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)軌跡，隨著時(shí)間的演變而分離，Lyapunov就是表征這個(gè)現(xiàn)象的特征量。Lyapunov指數(shù)是檢驗(yàn)系統(tǒng)的有序或混沌狀態(tài)的重要依據(jù)，而正的 Lyapunov指數(shù)是刻畫混沌系統(tǒng)的主要特征。從最大Lyapunov指數(shù)[16-17]大于0可以判斷出：無論初始兩條軌跡線多接近，隨著時(shí)間的演變會(huì)成指數(shù)增長而無法預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。在一個(gè)n維的動(dòng)力系統(tǒng)中，以x0為中心的一個(gè)很小n維球體，隨著時(shí)間演變，球體將變?yōu)橐粋€(gè)近似橢圓球體，該球面成為n維橢球面。在球的直徑x0趨向于0的情況，映像與橢球相同的時(shí)間趨于無窮大。在迭代橢球的軸長增加倍數(shù)的長期平均值，其對(duì)數(shù)成為 Lyapunov指數(shù)。那么相對(duì)應(yīng)Lyapunov指數(shù)λ0一般按Lyapunov指數(shù)大小排列，即λ1≥λ2≥…≥λn。一般對(duì)單變量的時(shí)間序列進(jìn)行空間重構(gòu)，然后用分析法和軌道跟蹤法來提取系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。

Lyapunov指數(shù)對(duì)混沌初始條件敏感，其吸引子的特征有：1) 任何吸引子，都至少有一個(gè)負(fù)的Lyapunov指數(shù)；2) 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)或者周期運(yùn)動(dòng)都不可能有正的Lyapunov指數(shù)；3) 對(duì)于任何混沌運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，都至少有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)。

WOLF等[18]提出基于相平面和相體積演化來計(jì)算Lyapunov指數(shù)，此方法成為Wolf法，此法計(jì)算結(jié)果不易受拓?fù)鋸?fù)雜性(如 Lorenz吸引子)影響，所以Wolf法在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)來判斷分析混沌特性運(yùn)用廣泛。

設(shè)混沌時(shí)間序列{x1，x2，x3，…，xn}，嵌入維數(shù)m，時(shí)間τ，重構(gòu)相空間為

式中：ti為發(fā)生混沌時(shí)間；n為自然數(shù)。當(dāng)重構(gòu)相空間后，根據(jù)混沌吸引子分離特性，即用Wolf法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

取相空間初始點(diǎn)Y(t0)，設(shè)初始點(diǎn)近鄰點(diǎn)Y0(t0)，它們之間間距為L(t0)，從初始時(shí)刻追蹤兩點(diǎn)的時(shí)間演化，直至t1點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)距離超過規(guī)定值ε，有

式中：L′(t1)為 Y(t1)和 Y0(t1)之間的間距；Y(t1)為 t1時(shí)的相空間點(diǎn)，Y0(t1)為Y(t1)的近鄰點(diǎn)。再在Y(t1)臨近處找隨意點(diǎn)Y1(t1)，保證Y(t1)和Y1(t1)兩點(diǎn)間距小于規(guī)定值ε，有

為了使L′(t1)與L(t1)夾角θ盡量小，反復(fù)重復(fù)式(2)和(3)過程，直到Y(jié)(t)到達(dá)時(shí)間序列終點(diǎn)；W為總迭代次數(shù)；t0為初始迭代所用時(shí)間；tW為迭代次數(shù)W所用時(shí)間，所以最大Lyapunov指數(shù)λmax為

2.2 最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算與分析

對(duì)測單變量的時(shí)間序列計(jì)算系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)，有Wolf算法和Jacobian算法。Wolf算法對(duì)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)簡單。利用所編程的Wolf算法對(duì)其最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。對(duì)于 A、B和 C坐標(biāo)微粒軌跡不同頻率下的最大Lyapunov指數(shù)，如表2所列。

從表2可以看出：在相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間下，A，B和C在不同頻率下得到的最大 Lyapunov指數(shù)不同，并有一個(gè)共同特點(diǎn)都大于0，且最大指數(shù)值均在2～3之間。從Wolf算法中最大Lyapunov指數(shù)判斷，得知在頻率5、15和30 Hz下，每組對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)軌跡都有混沌解，即每組微粒在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生了混沌流動(dòng)，有混沌特性。從圖 4可以看出，A、B和 C在不同頻率下，最大Lyapunov指數(shù)的變化趨勢。所選B組，不同頻率對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)都較其他兩組大；C組在不同頻率下對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)也比A組值大。無論在所選的頻率范圍內(nèi)，最大 Lyapunov指數(shù)分布由大到小依次為：B、C、A。但從目前研究情況來看，僅能從最大 Lyapunov指數(shù)判斷其是否有混沌特性，并不能單從最大 Lyapunov指數(shù)的大小來判斷混沌程度大小，可從K熵來判斷。

表2 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大Lyapunov指數(shù)Table 2 The max Lyapunov exponents of A,B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

圖4 A，B和C在不同頻率、相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間下對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)變化趨勢圖Fig. 4 Maximum Lyapunov exponents trend chart of A, B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

3 Kolmogorov熵及計(jì)算分析

3.1 Kolmogorov熵

熵是物質(zhì)系統(tǒng)的狀態(tài)的豐富程度，或稱為復(fù)雜程度。熱力學(xué)定義的熵是在能量空間分布均勻性的特征量，分布越均勻，無序度越大，熵值越大；相反地，分布越不均勻，有序度越高，熵值越小。所以一般認(rèn)為熵是狀態(tài)的度量標(biāo)尺。每一個(gè)正 Lyapunov指數(shù)就代表該方向信息的損失，那么有多個(gè)正 Lyapunov指數(shù)時(shí)，涉及了另外一個(gè) Lyapunov指數(shù)相關(guān)的量，即Kolmogorov熵(K熵)[19-21]，它是刻畫混沌的另一個(gè)重要的特征，它可以用來區(qū)分規(guī)則運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。在不同的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵?cái)?shù)值是不同的。在規(guī)則周期運(yùn)動(dòng)中，K熵為 0；在混沌運(yùn)動(dòng)中，K熵大于0，且K熵越大，系統(tǒng)混沌程度越大，信息損失量越大；在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中，K熵趨于無窮。在混沌運(yùn)動(dòng)中：K熵大于0，K熵越大意味著信息量的損失越大；對(duì)于規(guī)則運(yùn)動(dòng)：K熵等于 0；在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中：系統(tǒng)不可預(yù)測，故 K→∞，K熵實(shí)際上代表總的信息流率。GAO等[22]采用CFD模擬計(jì)算了偏心攪拌的流場行為變化，發(fā)現(xiàn)偏心結(jié)構(gòu)的攪拌槽能夠破壞系統(tǒng)的周期性和對(duì)稱性，從而誘發(fā)混沌；BRIONGOS等[23]通過分析三維流化床的表面自由波動(dòng)維數(shù)和K熵，并通過計(jì)算分析K熵對(duì)流化床流型的敏感性。楊世錫等[24]將K熵引入故障診斷中來辨別故障類別及嚴(yán)重程度。楊春振等[25]在運(yùn)用K熵研究雙支腿流化床顆粒交換時(shí)，得到顆粒團(tuán)簇交換方式促使系統(tǒng)更加混沌。盡管K熵研究比較廣泛，但在電磁攪拌器內(nèi)研究熔體混沌流動(dòng)應(yīng)用還是比較少。

考慮一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，假設(shè)狀態(tài)空間分為一個(gè)個(gè)邊長為l的n維正方體盒子，對(duì)空間一個(gè)吸引子和一條落在吸引域中的軌道x(t)，若D(i1，i2，i3，…，im)是 x(τ)落在盒 i1中，x(2π)落在盒 i2中，…，x(mτ)落在盒imτ中的聯(lián)合概率，即Kolmogorov熵定義為

從時(shí)間序列來計(jì)算K熵一般有兩種方法：最大似然算法[26]和關(guān)聯(lián)積分算法。其中最大似然算法相對(duì)簡單，計(jì)算結(jié)果沒有二義性。已知對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(k)為

式中：(b1，b2，…，bm)為樣本；M是抽取樣本獨(dú)立的點(diǎn)。求解其最大值就是有要得到樣本概率最大k值。得到L(k)值，必須使

從式(7)可得到K熵的最大似然值

3.2 K熵計(jì)算與分析

運(yùn)用最大似然算法進(jìn)行Matlab編程，求其A，B和C的K熵值，如表3所列。為了方便直觀研究其規(guī)律，作出K熵趨勢圖，如圖5所示。

表3 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間下的K熵值Table 3 Kolmogorov entropies of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

圖5 A、B和C微粒軌跡在不同頻率、相同運(yùn)動(dòng)時(shí)間下的K熵值變化趨勢圖Fig. 5 Kolmogorov entropy trend chart of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

從表3可以看出，無論在5、15還是30 Hz下的軌跡K熵都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0，可見在運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中發(fā)生了混沌現(xiàn)象且混沌程度較大。從圖5可看出，3條曲線隨著頻率的變大，K熵迅速增。加在5 Hz時(shí)，3條軌跡對(duì)應(yīng)的K熵都大于500小于1000，由大到小的順序?yàn)椋篊的K熵、B的K熵、A的K熵，由此可見在此頻率下，C的微粒軌跡K熵最大，混沌程度更大。在15 Hz時(shí)，3組微粒軌跡K熵比在5 Hz的時(shí)，大了一個(gè)數(shù)量級(jí)。在30 Hz時(shí)，K熵比在15 Hz時(shí)大了幾個(gè)倍數(shù)，可見頻率增大，直接影響運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的混沌程度。在電磁場旋轉(zhuǎn)時(shí)，熔體每一處產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，感應(yīng)電動(dòng)勢使熔體產(chǎn)生電流，感應(yīng)電流和和旋轉(zhuǎn)電磁場相互作用使熔體受到Lorenz力，所以使熔體內(nèi)每個(gè)微粒產(chǎn)生復(fù)雜的三維混沌流動(dòng)。在低頻率情況下，電磁攪拌功率小，且攪拌速度也低，故使凝固系統(tǒng)中混沌程度不高，隨著頻率的增加，攪拌速度和功率也增大，使得熔體微粒流動(dòng)加快，使系統(tǒng)混沌特性更加明顯。K熵也是關(guān)聯(lián)Lyapunov指數(shù)的一個(gè)量，為正Lyapunov指數(shù)之和[27]。Lyapunov指數(shù)正比于信息量的損失，而每一個(gè)正 Lyapunov指數(shù)意味著該方向的信息損失。所以可以看出，K熵越大，說明信息損失越大，系統(tǒng)更加混沌。從表3及圖5可以明顯看出，K熵最大的對(duì)應(yīng)的是30 Hz時(shí)的B微粒軌跡，而K熵最小的是5 Hz時(shí)的A微粒軌跡，由于每個(gè)熔體內(nèi)微粒的位置不同，合金凝固時(shí)所受Lorenz力的徑向與切向力也不同，故使熔體內(nèi)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡不同，對(duì)應(yīng)的K熵也不同?？梢娀煦绮粌H受單一變量的影響，且對(duì)初始條件位置也敏感。

綜上所述，在本實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，不僅從 Lyapunov指數(shù)還是 Kolmogorov熵的計(jì)算中都可以得知在施加電磁攪拌下的鋁熔液內(nèi)部存在混沌對(duì)流，而且直接體現(xiàn)混沌對(duì)流所產(chǎn)生的影響還需從合金凝固組織的觀察分析中獲?。菏欠窕煦绯潭葹橐欢ㄖ禃r(shí)，其凝固組織形貌達(dá)到最佳，其晶粒越細(xì)小圓整；或是否混沌程度越大，其凝固組織形貌而越優(yōu)；或是相反，這都直接影響混沌特征量和凝固形貌之間的關(guān)聯(lián)。受電磁攪拌的合金熔體中的微粒運(yùn)動(dòng)看似無規(guī)則，實(shí)則其混沌特征量的值暗含著其內(nèi)部的規(guī)律性。然而用CFD-Fluent流體力學(xué)軟件及混沌特征量來研究電磁場作用下的合金凝固組織形貌在國內(nèi)外來說是極少的，所以今后還需大量開展實(shí)驗(yàn)工作來分析和驗(yàn)證此研究。

4 結(jié)論

1) 在相同時(shí)間不同頻率下，A、B和C 3組運(yùn)動(dòng)軌跡的最大Lyapunov指數(shù)都大于0，值均分布在2～3之間，證明有混沌解，發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。B組軌跡在不同頻率對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)都較其他兩組的大，在3個(gè)不同頻率下，最大Lyapunov指數(shù)由大到小依次為B、C、A。

2) 在頻率5、15和30 Hz下，其運(yùn)動(dòng)軌跡的K熵都遠(yuǎn)大于0。且隨著頻率增大，K熵迅速倍增。在5 Hz時(shí)，A組微粒軌跡K熵最小；在30 Hz時(shí)，C組微粒軌跡K熵達(dá)到最大，說明其混沌程度最大，混沌不僅受頻率影響，而且對(duì)初始條件坐標(biāo)也敏感。

3) 本研究表明，在一定頻率電磁場的擾動(dòng)下，鋁合金熔體中可以產(chǎn)生混沌流動(dòng)。K熵可用于表征電磁攪拌內(nèi)熔體混沌流動(dòng)的特征，可為混沌理論調(diào)控流場結(jié)構(gòu)提供新的方法。

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