以地球?yàn)閰⒖枷迪绿栂蹈餍行沁\(yùn)動軌跡的探討

楊習(xí)志 胡 斌

(云南省昆明市第一中學(xué)，云南 昆明 650031)

以地球?yàn)閰⒖枷迪绿栂蹈餍行沁\(yùn)動軌跡的探討

楊習(xí)志 胡 斌

(云南省昆明市第一中學(xué)，云南 昆明 650031)

本文以火星為例，借助Matlab，分別從地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)軸傾角等三個(gè)方面，研究以地球?yàn)閰⒖枷迪绿栂灯渌行堑倪\(yùn)動軌跡，具體給出火星在2014年-2016年不同季節(jié)相對于地球的位置.

太陽系；地球；火星；Matlab；運(yùn)動軌跡

在中學(xué)關(guān)于參考系以及太陽系行星模型的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常問這樣的問題：若以地球?yàn)閰⒖枷?，太陽系其他行星的運(yùn)動會是什么樣？這其實(shí)是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，老師們往往很難回答.歷經(jīng)千年，以太陽為中心，行星圍繞太陽做近似圓周運(yùn)動的模型似乎已成為人們的常識.但我們實(shí)際生活在地球上，我們的觀看一定是以地球?yàn)閰⒖枷颠M(jìn)行的，故在日常生活中，我們根本不可能看到行星圍繞太陽做圓周運(yùn)動的景象.那么，如果以地球?yàn)閰⒖枷?，太陽系其他行星的運(yùn)動軌跡到底怎么樣？這是一個(gè)看似簡單卻非常復(fù)雜的問題，原因有三：第一，地球和其他行星都在圍繞太陽公轉(zhuǎn)，而且公轉(zhuǎn)速度不一樣.第二，地球本身在自轉(zhuǎn)，地球上的觀察者當(dāng)然也會跟著地球自轉(zhuǎn).第三，地球的自轉(zhuǎn)軸與太陽所在平面并不垂直，存在一個(gè)夾角，即黃赤交角.因此，要想直接想清楚各個(gè)行星的運(yùn)動情況幾乎是不可能的事，這就需要借助于計(jì)算機(jī)，因此，本文利用Matlab，研究以地球?yàn)閰⒖枷迪绿栂灯渌行堑倪\(yùn)動軌跡問題.

為簡化問題，以火星為例，并作以下假設(shè)(實(shí)際上幾乎不影響觀看結(jié)果)：第一，太陽系各行星的運(yùn)行軌道是圓；第二，各行星處于同一平面內(nèi)；第三，觀察者站在地球的赤道上；第四，以火星和地球相距最近時(shí)為起始點(diǎn).

1 只考慮地球的公轉(zhuǎn)

圖1 考慮地球公轉(zhuǎn)時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

故可用Matlab編程如下：

t=0:0.01:2;%運(yùn)行時(shí)間2年

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:2;

i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

plot(x,y,x(i),y(i),'or');

getframe;%截取每幅畫面

axis equal;%坐標(biāo)等距

axis off;%取消坐標(biāo)軸線

end

運(yùn)行結(jié)果如圖2所示：

圖2 考慮地球公轉(zhuǎn)下2年時(shí)間內(nèi)火星的運(yùn)行軌跡

由圖2可以看出，以地球?yàn)閰⒖枷迪禄鹦堑倪\(yùn)動軌跡像一個(gè)蘋果，并不是標(biāo)準(zhǔn)的圓或橢圓，而且在一個(gè)周期中會出現(xiàn)逆行現(xiàn)象，這是由于地球的公轉(zhuǎn)角速度比火星的公轉(zhuǎn)角速度大而造成的.

令t=0∶0.3∶2.1;可以確定每個(gè)季度火星相對于地球的位置，同理也可以確定各個(gè)時(shí)期的位置，以2014年04月08日火星沖日(火星與地球最近)為起點(diǎn)，則得到火星各個(gè)季度相對與地球的位置如圖3所示.

圖3 2014—2016年火星與地球的相對位置

若令t=0：0.01：50，則運(yùn)行結(jié)果如圖4所示，可以看出，以地球?yàn)閰⒖枷迪驴吹降幕鹦堑能壽E不是一個(gè)穩(wěn)定的圖形，而是在不斷變化著的.因?yàn)槊客瓿梢粋€(gè)周期后火星相對于地球的初始位置已經(jīng)發(fā)生了變化，相對初始位置在不斷的向前移動，故導(dǎo)致火星的心型軌跡在不斷的轉(zhuǎn)動.

圖4 考慮地球公轉(zhuǎn)下50年時(shí)間內(nèi)火星的運(yùn)行軌跡

令t=0：0.01：100，則運(yùn)行結(jié)果如圖5所示，可以看出：100年后火星的軌跡覆蓋了火星離地球最近和最遠(yuǎn)范圍內(nèi)的整個(gè)平面.

圖5 考慮地球公轉(zhuǎn)下100年時(shí)間內(nèi)火星的運(yùn)行軌跡

2 考慮地球的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)

圖6 考慮地球公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

故可作編程如下：

t=0：0.01：10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t)-(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t)-(4.3e-5)*sin(730*pi*t); plot(x,y,x(i),y(i),'or'); getframe; axis equal; axis off;

end

運(yùn)行結(jié)果如圖7所示.

圖7 考慮地球公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)時(shí)10年時(shí)間內(nèi)火星的運(yùn)行軌跡

由于地球的半徑相對于地球與火星的軌道半徑，以及圖像尺寸與實(shí)際觀看尺寸相比都太小，故看上去似乎與不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)是一樣的，為了看出差別，可將地球的半徑適當(dāng)放大，令R=4.3×10-2AU，代入程序中，則運(yùn)行結(jié)果如圖8所示.

圖8 考慮地球公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)時(shí)火星2年內(nèi)的運(yùn)行軌跡

由圖8可以看出由于地球的自轉(zhuǎn)，導(dǎo)致火星相對于地球的軌跡在原軌跡上發(fā)生微小的回旋，由于地球的自轉(zhuǎn)角速度遠(yuǎn)大于火星的公轉(zhuǎn)角速度，而且地球的半徑遠(yuǎn)小于火星相對于地球的距離，故地球自轉(zhuǎn)對火星的軌跡形成了圖中的微型回旋振蕩.

3 考慮地球自轉(zhuǎn)軸傾角

圖9 考慮地球自轉(zhuǎn)軸傾角時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

令α=23.5°，可作編程如下：

t=0:0.01:10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z(i)=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t); plot3(x,y,z,x(i),y(i),z(i),'or');

axis([-4,4,-4,4,-4,4]);%坐標(biāo)軸范圍

getframe;運(yùn)行結(jié)果如圖10所示.

圖10 考慮地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)以及自轉(zhuǎn)軸傾角時(shí)火星10年內(nèi)的運(yùn)行軌跡

由于圖像尺寸與實(shí)際觀看尺寸相比太小，故可改變坐標(biāo)軸范圍，將z軸尺寸進(jìn)行放大.令t=0:0.005:5，axis([-4,4,-4,4,-5e-4,5e-4])，運(yùn)行結(jié)果如圖11所示.

圖11 考慮地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)以及自轉(zhuǎn)軸傾角時(shí)火星5年內(nèi)的運(yùn)行軌跡

由圖11可以看出考慮地球的自轉(zhuǎn)軸傾角后，火星的運(yùn)行軌跡除了以上的運(yùn)動形式外還在上下振動，這是由于在地球的自轉(zhuǎn)傾角的影響下，火星相對于地球的位置時(shí)上時(shí)下的結(jié)果.

令t=0:0.005:100，axis([-5,5,-5,5,-2e-4,2e-4])

運(yùn)行結(jié)果如圖12所示.

圖12 考慮地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)以及自轉(zhuǎn)軸傾角時(shí)火星100年內(nèi)的運(yùn)行軌跡

由圖12可以看出，100年后，火星的軌跡呈現(xiàn)一柱體樣式，要注意中間并沒有被填滿，只是被擋住看不見而已.

通過以上分析可以看出，以地球?yàn)閰⒖枷等タ刺栂灯渌行堑倪\(yùn)動軌跡與我們腦海中行星的運(yùn)行軌跡是完全不一樣的.作為老師，若了解這些問題，那么不但可以回答學(xué)生的相關(guān)問題，還可以在參考系的教學(xué)當(dāng)中給學(xué)生講解一下在研究物理問題時(shí)選取參考系的重要性，比如，研究天體的運(yùn)動時(shí)，以太陽系為例，若選太陽為參考系，則會使天體的運(yùn)動變得非常的簡單，若以地球?yàn)閰⒖枷?，則會使之變得非常的復(fù)雜，這或許也是“日心說”經(jīng)歷很長時(shí)間未被發(fā)現(xiàn)的原因之一，因?yàn)樗环先藗內(nèi)粘５挠^察結(jié)果.在很多情形下，若轉(zhuǎn)化一下參考系，則會使問題研究變得非常的簡單.