一類三維混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究

秦 進(jìn)

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

一類三維混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究

秦 進(jìn)

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

基于李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性理論，研究了一類三維混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、全局指數(shù)吸引集等問題.并且給出了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)模擬，其結(jié)果與理論計(jì)算相吻合，從而驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性與可行性.

混沌系統(tǒng)；李雅普諾夫穩(wěn)定性；平衡點(diǎn)；有界性

0 引言

混沌系統(tǒng)有著對系統(tǒng)初值和參數(shù)的敏感依賴性.Lorenz混沌系統(tǒng)作為第一個(gè)混沌系統(tǒng)深刻地揭示了混沌現(xiàn)象.Lorenz混沌系統(tǒng)、R?ssler混沌系統(tǒng)、Chua’s電路混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)、超混沌Lorenz系統(tǒng)、Lü混沌系統(tǒng)和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)等是研究混沌系統(tǒng)的重要模型.混沌系統(tǒng)在非線性電路、混沌保密通信、圖像加密、控制科學(xué)和信息科學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用［1－4］.

混沌系統(tǒng)的最終有界性是研究混沌系統(tǒng)的一個(gè)重要方向，它在混沌系統(tǒng)的控制、同步、混沌吸引子的Hausdorff維數(shù)、混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)等方面有著非常重要的應(yīng)用.［5－6］從技術(shù)上講，求解一個(gè)混沌系統(tǒng)的最終界是一個(gè)非常困難的工作.由于Lorenz混沌系統(tǒng)有著重要的科學(xué)和工程應(yīng)用背景，Leonov等人最先研究了Lorenz混沌系統(tǒng)的最終有界性.［7］隨后，H.Nijmeijer等人研究了Lorenz混沌系統(tǒng)的有界性，得到了一系列比較深入的結(jié)果.［8］郁培等人進(jìn)一步研究了Lorenz系統(tǒng)的全局吸引集，不僅給出了Lorenz系統(tǒng)正半軌線的最終界表達(dá)式，而且給出了正半軌線進(jìn)入吸引集的速率表達(dá)式.［9］張付臣等人推廣了廖曉昕等人的研究結(jié)果，進(jìn)一步研究了一類金融混沌系統(tǒng)和一類三維混沌系統(tǒng)正半軌線的最終界.［10－12］呂金虎等人研究了一類高維混沌系統(tǒng)的最終有界性.［13］由于Lü混沌系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)的特殊性，張付臣等人研究了經(jīng)典Lü系統(tǒng)的最終有界性［14］，進(jìn)一步研究了復(fù)Lorenz混沌系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)不拓?fù)渫叩囊粋€(gè)新三維混沌系統(tǒng)的最終有界性和全局吸引集［15－16］.

基于以上工作的啟發(fā)，本文將研究一類三維混沌系統(tǒng)（1）的全局吸引集，本文的創(chuàng)新之處在于研究了?a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，系統(tǒng)（1）的全局吸引集，將不同參數(shù)時(shí)系統(tǒng)（1）的全局吸引集表達(dá)式統(tǒng)一到一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式之中，并且利用交集的思想得到了系統(tǒng)正半軌線最終界的一個(gè)較小估計(jì).

1 動力學(xué)模型

一類新的三維混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為［17］：

2 主要動力學(xué)特性分析

2.1不變集

z軸為系統(tǒng)（1）的一個(gè)正向不變集，并且當(dāng)把系統(tǒng)（1）限制在z上可以得到方程˙z＝－bz，由于這個(gè)方程的解為z（t）＝z（t0）e－b（t－t0），從而從z軸上任何點(diǎn)出發(fā)的軌線當(dāng)t→＋∞時(shí)都趨于點(diǎn)（0，0，0）.

2.2耗散性和吸引子的存在性

2.3平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

對于混沌系統(tǒng)（1），點(diǎn)S0＝（0，0，0）始終是系統(tǒng)（1）的一個(gè)平衡點(diǎn).由于（1）的其他平衡點(diǎn)總是可以通過坐標(biāo)平移，將此平衡點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0，0）.因此，我們只考慮系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)S0＝（0，0，0）的穩(wěn)定性.系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)S0＝（0，0，0）的雅克比矩陣為

從而系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)S0＝（0，0，0）的特征方程為

其中

根據(jù)Routh－Hurwitz準(zhǔn)則，當(dāng)m＞0，mh－s＞0，s＞0時(shí)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)S0＝（0，0，0）是漸近穩(wěn)定的.系統(tǒng)（1）的其他平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性可以類似地考慮.

2.4全局吸引集

考慮一類自治動力系統(tǒng)

定理1 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，令

則當(dāng)V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時(shí)，對于系統(tǒng)（1）的正半軌線有估計(jì)式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

當(dāng)V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時(shí)，計(jì)算V（x，y，z）對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

注1 （1）取參數(shù)a＝35；由定理1知系統(tǒng)（1）的正半軌線包含內(nèi)，如圖2所示.從圖2中可以看出系統(tǒng)的正半軌線最終進(jìn)入Ω與定理1的理論結(jié)果相吻合，表明了計(jì)算結(jié)果的正確性.

兩組干預(yù)前SF-36各項(xiàng)評分無明顯差異，干預(yù)后，均為觀察組高于對照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P<0.05）。見表2。

（3）根據(jù)定理可以得到從吸引集Ωλ外的軌線進(jìn)入吸引集的速率為指數(shù)速率.

定理2 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，令

則當(dāng)V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時(shí)，對于系統(tǒng)（1）的軌線有指數(shù)估計(jì)式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

計(jì)算函數(shù)V2（x，y，z）對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，我們有

當(dāng)V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時(shí)，

注2 取參數(shù)a＝35，b＝；由定理2系統(tǒng)（1）的正半軌線包含在下列所定義的集合.如圖3所示.從圖3中可以看出系統(tǒng)的正半軌線最終進(jìn)入Ω1與定理2的理論結(jié)果相吻合，表明了計(jì)算結(jié)果的正確性.

3 結(jié)論

利用動力系統(tǒng)的基本理論研究了一類混沌系統(tǒng)的一些基本的動力學(xué)行為，并且給出了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)模擬，其結(jié)果證明了研究結(jié)果的正確性與有效性.

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Dynamical analysis of a class of chaotic systems

QIN Jin

（School of Mathematics and Computational Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China）

Equilibrium points and its stability，positively invariant sets，and global attractive sets are all important problems in dynamical systems.Based on Lyapunov functions theory，we have investigated the equilibrium points，global attractive sets of the new 3－D chaotic system.Base on the global attractive sets obtained in this paper，we can get the boundedness of all variables of the system.Finally，we give the simulations about our results in the paper.Numerical simulations is consistent with our computation.

chaotic system；Lyapunov stability；equilibrium point；boundedness solutions

O 241.84；O 29；O 242.1 ［學(xué)科代碼］ 110·61 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0048－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.010

2014－07－18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71461027）；貴州省科技廳·遵義市科技局·遵義師范學(xué)院聯(lián)合基金資助項(xiàng)目（201209）.［作者簡介］ 秦進(jìn)（1975—），男，碩士研究生，副教授，主要從事混沌系統(tǒng)的有界性及其數(shù)學(xué)應(yīng)用研究.