非線性指數(shù)理論在SRLV動力學建模上的應用

程超，穆榮軍，韋常駐，黃盤興

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，黑龍江哈爾濱150001)

亞軌道可重復使用運載器(suborbital reusable launch vehicle，SRLV)是指可以重復使用的，能夠自由地往返于太空與地球之間的多用途航天器。由于SRLV的再入返回過程具有飛行包線大，飛行馬赫數(shù)變化范圍大(Ma=1.0～7.0)，機動性強(存在空中大調(diào)姿轉彎)，飛行約束強(法向過載、再入攻角和俯仰角及控制量限制)，操縱機構復雜(氣動舵面和反作用控制系統(tǒng)等多種操縱機構)，氣動特性復雜(飛行高度和速度的過大變化使得氣動參數(shù)變化劇烈)，不確定性強等特點，使得動力學建模、氣動計算和飛行控制等問題成為SRLV領域內(nèi)的研究熱點和難點。其中SRLV動力學模型的建立和分析是重要分系統(tǒng)之一，也是SRLV能夠安全可靠地飛行并完成既定任務的重要保證［1］。

線性理論一直是SRLV動力學建模和分析的首要選擇，然而這種把非線性系統(tǒng)模型近似化的線性方法，需要一定的假設條件，并受到特定的約束和限制。在 SRLV再入返回過程中，由于SRLV具有強動力學耦合、氣動耦合、慣性耦合和超機動等特性，一些假設和限制條件不一定成立，SRLV的動力學模型不能簡單的近似為一個線性模型，只能作為非線性系統(tǒng)進行設計與分析［2］。但是相對于線性系統(tǒng)來說，基于非線性系統(tǒng)的動力學建模和控制系統(tǒng)設計具有很多的局限性，例如需要模型足夠精確。已經(jīng)有很多成熟的方法可以解決飛行器的非線性動力學建模與分析問題［3］。在應用這些方法之前，就需要考慮非線性系統(tǒng)設計帶來的困難與線性處理帶來的誤差之間的協(xié)調(diào)關系，這就引入了一個重要的問題—“飛行器動力學系統(tǒng)的非線性程度有多少”。如果一個系統(tǒng)的非線性程度很弱的話，可以采用近似線性化的方法進行動力學的建模與分析，但當一個系統(tǒng)具有強非線性和耦合性時，就需要更加復雜的非線性理論進行模型的建立和分析了。在國外，Junkins等［4］首先提出了非線性指數(shù)理論，并應用于判斷不同軌道坐標的選取引起的非線性。Orman等［5］以F-16為模型，研究了非線性指數(shù)理論在飛行器動力學模型分析上的應用。

本文首先詳細分析了非線性指數(shù)基本原理和方法，然后將其拓展應用到飛行器動力學模型，最后結合SRLV再入過程的特性，以靜態(tài)和動態(tài)非線性指數(shù)分析了SRLV再入返回過程的非線性程度。

1 非線性指數(shù)原理

定義一個非線性模型為

式中:f(x)是可微的向量函數(shù)，x∈Rn，y∈Rm。

由Δxmax限定的區(qū)域是以為中心，Δxmax為半徑的一個區(qū)間。此區(qū)域通過式(1)映射成不同形狀，形成變量y的取值范圍，如圖1所示。這個映射過程，可能是線性變化的，也可能是非線性的，變量y的線性近似表達式為［5］

圖1 二維非線性映射Fig.1 Two-dimensional nonlinear mapping

在鄰域‖Δx‖≤Δxmax的范圍內(nèi)，非線性模型的線性近似程度，可以通過A的偏差量來計算:

式中:‖·‖為弗羅貝尼烏斯范數(shù)。

非線性指數(shù)NI是無量綱量。當非線性指數(shù)NI＜10－2時，即小于“1%”的系統(tǒng)非線性，意味著在鄰域范圍內(nèi)，x到y(tǒng)的映射過程中，式(2)的非線性不明顯;當NI≥1時，代表系統(tǒng)已經(jīng)“100%”偏離了線性化估計。

將非線性模型擴展為一個狀態(tài)空間模型為

式中:x∈Rn為狀態(tài)矢量，u∈Rr為輸入矢量，y∈Rm為輸出矢量，為系統(tǒng)矩陣，為輸入矩陣，為輸出矩陣，為直接傳遞矩陣。

對式(5)進行線性化，得

4個動態(tài)非線性指數(shù)為

靜態(tài)和動態(tài)非線性指數(shù)不僅能夠系統(tǒng)量化狀態(tài)空間模型的非線性程度，還表明了狀態(tài)空間模型非線性的來源，即初始狀態(tài)引起的非線性。

2 SRLV動力學模型

亞軌道可重復使用運載器是垂直發(fā)射，與上面級分離后，通過翻轉進行姿態(tài)調(diào)整，將速度和姿態(tài)角等因素調(diào)整到合適的再入條件，返回原發(fā)射場。

SRLV再入段，對縱向運動可以進行調(diào)整的執(zhí)行機構有:1)阻力板，參與俯仰控制，再入過程中一般為定值;2)體襟翼，機身尾段凸出部分，可作為升降舵使用，參與俯仰控制［1］。

本文僅研究可重復使用運載器再入段的縱向運動，為了簡化分析，假定側向無運動，側向運動參數(shù)為零，縱向非線性運動方程為

式中:V為飛行器的飛行速度，ωz為本體坐標系相對于發(fā)射坐標系的轉動角速度在本體系z軸上的分量，α為攻角，?為俯仰角，Iz為轉動慣量，δz為操縱機構，q為動壓，S為特征面積，l為特征長度，g為重力加速度，cx為阻力系數(shù)，mz(ωz)為滾轉阻力力矩系數(shù)，在工程計算中可以認為是一個常值，cy(α)和cy(δz)分別為攻角和舵偏引起的升力系數(shù)，mz(α)和mz(δz)分別為攻角和舵偏引起的俯仰力矩系數(shù)［7］。

3 SRLV非線性度分析

3.1 氣動特性

從式(10)可以看出，SRLV縱向運動模型的非線性強弱主要取決于氣動參數(shù)的變化。文獻［8］給出了X-34的氣動參數(shù)變化，采用神經(jīng)網(wǎng)絡來擬合氣動力和氣動力矩系數(shù)。在工程上，一般通過風洞試驗，測得不同攻角和馬赫數(shù)下的氣動數(shù)據(jù)［9］。SRLV在距離地面35 km開始再入飛行，α的取值范圍為[ －10°，35°]，Ma的取值范圍為［1.0，7.0］，δz的取值范圍為 [ －30，30]。隨著攻角和馬赫數(shù)的變化，阻力系數(shù)cx、升力系數(shù)cy(α)和δz=－20升力系數(shù)cy(δz)的變化曲線如圖2～4所示。

圖2 阻力系數(shù)變化曲線Fig.2 Resistance coefficient curve

圖3 升力系數(shù)變化曲線Fig.3 Lift coefficient curve

圖4 δz=－20升力系數(shù)變化曲線Fig.4 Lift coefficient curve at δz=－20

從圖中可以看出，當Ma＜3時，阻力系數(shù)、升力系數(shù)呈現(xiàn)不規(guī)則變化，非線性較強。這種情況符合工程實際，在低馬赫數(shù)時，空氣是不可壓縮的介質(zhì)，隨著馬赫數(shù)的增加，壓縮性的影響就逐漸顯著起來，氣動系數(shù)的變化逐漸趨于平緩。

3.2 SRLV非線性度分析

經(jīng)過雅克比線性化后，可以將式(10)的線性模型為

其中:

矩陣A和B中的微分量可表示為

在特征點 j的一定范圍內(nèi)，有 xi=xj+Δx，‖Δx‖≤Δxmax，4個測量系統(tǒng)(12)非線性程度的非線性指數(shù)表達式為

圖5 靜態(tài)非線性指數(shù)Fig.5 Static nolinearity index

圖6 靜態(tài)非線性指數(shù)Fig.6 Static nonlinearity index

選取參考變量λ=[Ma，α]，將α和Ma組成的飛行包線分解成網(wǎng)格點集j=1，2，3，…，在每個點j處，模型(11)的狀態(tài)矩陣為Aj，輸入矩陣為Bj。圍繞點j，定義α和Ma總變化范圍20%的子區(qū)域。在子區(qū)域內(nèi)，確定一個點集i=1，2，3，…，并產(chǎn)生相應的線性系統(tǒng) { Ai，Bi}，直接應用式(12)計算線性模型(11)的非線性強度變化曲面，如圖5～8所示。

圖7 動態(tài)非線性指數(shù)Fig.7 Dynamic nonlinearity index

圖8 動態(tài)非線性指數(shù)Fig.8 Dynamic nonlinearity index

動態(tài)非線性指數(shù)不僅是參考向量的函數(shù)，還與時間有關。時間t=0.1 s，動態(tài)非線性指數(shù)如圖7、8所示。在動態(tài)非線性指數(shù)曲線的左側區(qū)域有跳變，這說明模型在該區(qū)域內(nèi)不穩(wěn)定。靜態(tài)非線性指數(shù)與動態(tài)非線性指數(shù)較為相近。這說明t取值較小時，動態(tài)非線性指數(shù)趨向于靜態(tài)非線性指數(shù)。

4 結論

針對亞軌道可重復使用運載器再入返回過程，考慮到其飛行包線廣和氣動參數(shù)變化大等不利因素，本文運用非線性指數(shù)理論和方法拓展應用于飛行器動力學分析上，推導并提出了用于測量全飛行包線內(nèi)動力學模型非線性程度的非線性指數(shù)表達式。結合SRLV再入過程的氣動特性，對SRLV動力學模型的非線性程度進行了仿真驗證和分析，仿真結果可以看出大攻角和仿真時間的增加對非線性指數(shù)有很大影響，使SRLV動力學系統(tǒng)表達出強非線性特性。本文所得的結論可為強非線性程度的飛行器控制系統(tǒng)的設計提供更多參考。

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