局部熱力學(xué)平衡狀態(tài)下的等離子體電導(dǎo)率計(jì)算

王竹勤， 蘭 生

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院， 福州 350108)

局部熱力學(xué)平衡狀態(tài)下的等離子體電導(dǎo)率計(jì)算

王竹勤， 蘭 生

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院， 福州 350108)

在Zollweg & Liebermann模型(Z&L模型)的基礎(chǔ)上，結(jié)合高溫條件下的量子機(jī)理作用，考慮了電子與中性粒子的碰撞關(guān)系，最終得出修正后的電導(dǎo)率模型，并對(duì)局部熱力學(xué)平衡狀態(tài)下的水中放電等離子體的粒子數(shù)密度及電導(dǎo)率進(jìn)行了模擬計(jì)算.計(jì)算結(jié)果表明壓力為定值的情況下，水中放電等離子體的總粒子數(shù)密度隨溫度變化呈下降趨勢(shì)，溫度達(dá)到15000 K時(shí)，一次電離達(dá)最大值.電導(dǎo)率隨溫度增加總體呈上升趨勢(shì)，溫度低于12000 K時(shí)，電子與中性粒子的碰撞起主導(dǎo)作用，而溫度高于25000 K時(shí)，電子與離子的碰撞起主導(dǎo)作用.

水中等離子體； 電導(dǎo)率； 模擬計(jì)算

1 引 言

電導(dǎo)率是等離子體輸運(yùn)性質(zhì)計(jì)算中一個(gè)重要的特性參數(shù).為了計(jì)算電導(dǎo)率這一參量，Spitzer[1]最早提出了最簡(jiǎn)單實(shí)用的理想等離子體電導(dǎo)率公式，該公式在非理想條件下計(jì)算得到的電導(dǎo)率趨于無窮大，因而它僅適用于理想條件下的電導(dǎo)率計(jì)算.大量文獻(xiàn)通過對(duì)非理想條件下的電導(dǎo)率進(jìn)行修正，來研究適用于非理想條件下的電導(dǎo)率模型.較有代表性的兩種等離子體電導(dǎo)率模型為Z&L模型和Mohanti & Gilligan模型(M&G模型).Z&L模型[2]修正了庫侖對(duì)數(shù)，采用屏蔽半徑模型，從而將Spitzer公式擴(kuò)展到非理想?yún)^(qū)域.M&G模型[3]將短程力的作用考慮進(jìn)去，采用更精確的非德拜屏蔽半徑，并對(duì)電子態(tài)密度進(jìn)行修正，得到了更為精確的等離子體的電導(dǎo)率模型.近年來，成劍等人[4]對(duì)比分析了Spitzer模型、Z&L模型和M&G模型這三種典型的電導(dǎo)率模型得到的聚乙烯電弧等離子體電導(dǎo)率，并將電子與中性粒子的碰撞考慮進(jìn)去，所得計(jì)算模型能夠較真實(shí)的反應(yīng)弱非理想?yún)^(qū)域中等離子體電導(dǎo)率的變化；寧燁等人[5]基于Spitzer公式,初步分析了分波法計(jì)算得到的等離子體電導(dǎo)率與盧瑟福公式計(jì)算得到的電導(dǎo)率之間的區(qū)別.Aubreton等人[6]計(jì)算了不同壓力情況下，水中等離子體電導(dǎo)率對(duì)溫度的依賴性，計(jì)算結(jié)果顯示電導(dǎo)率隨溫度變大且呈非線性增長(zhǎng)趨勢(shì).Chung等人[7]研究了水中等離子體的熱力學(xué)性質(zhì)，模擬計(jì)算了質(zhì)量密度范圍為10-7至10-2，溫度范圍為103至105時(shí)，水中等離子體的熱力學(xué)性質(zhì)及電導(dǎo)率的變化規(guī)律.

與電弧等離子體和核聚變等離子體相比較，水中放電等離子體具有低電離度、低溫、高密度、高壓力，作用時(shí)間短等特點(diǎn)[8]，因而其電導(dǎo)率也具有不同的特點(diǎn).在水中放電等離子體的粒子成分中，電子，H原子、O原子，H+離子、O+離子占總粒子數(shù)量的97%以上[9]，因而在電導(dǎo)率計(jì)算中可以忽略O(shè)原子二次以上的電離.本文對(duì)Z&L模型進(jìn)行修正，考慮高溫條件下的量子機(jī)理作用，同時(shí)結(jié)合電子與中性原子的碰撞因素，得到一個(gè)較簡(jiǎn)單適用的電導(dǎo)率計(jì)算公式.

2 電導(dǎo)率理論模型

水中放電等離子體的電導(dǎo)率由電子與周圍介質(zhì)的碰撞過程決定.理想條件下，等離子體完全電離，電子運(yùn)動(dòng)取決于電子與離子的庫侖相互作用.最簡(jiǎn)單適用于理想狀態(tài)下的等離子體電導(dǎo)率模型是Spitzer公式[1]：

(1)

式中，γ為電子間碰撞對(duì)電導(dǎo)率的修正系數(shù)，T為溫度，Z為離子的平均電荷數(shù)，∧為庫侖對(duì)數(shù)，采用下式表示：

(2)

在非理想條件下，電子與離子、電子與中性粒子的碰撞都會(huì)影響電子運(yùn)動(dòng).Spitzer公式不適用于非理想條件下的電導(dǎo)率計(jì)算.因此，Z&L模型在Spitzer公式的基礎(chǔ)上，對(duì)庫侖對(duì)數(shù)進(jìn)行修正，并采用較為合適的德拜屏蔽半徑，得到適用于非理想條件下的電導(dǎo)率公式:

(3)

式中，∧m為修正后的庫侖對(duì)數(shù)，采用下式表示：

(4)

如上所示，Z&L模型將Spitzer公式擴(kuò)展到非理想?yún)^(qū)域，且計(jì)算形式較簡(jiǎn)單，可在不計(jì)算等離子體非理想系數(shù)的情況下得到電導(dǎo)率.但Z&L模型僅考慮了電子與離子的碰撞，而忽略了電子與中性粒子的碰撞.然而，實(shí)際應(yīng)用中的水中放電等離子體，電離度較低，等離子體粒子成分中仍然有H、O等中性粒子，且電子和H、O等中性粒子之間的彈性碰撞過程對(duì)于電子的能量和動(dòng)量運(yùn)輸也起著重要作用.因此本文通過計(jì)算考慮電子與離子碰撞作用的電導(dǎo)率，并考慮電子與中性粒子的碰撞作用下的電導(dǎo)率，從而得到較為簡(jiǎn)單的電導(dǎo)率計(jì)算公式.

高溫情況下，電子波的因素不容忽略.當(dāng)電子通過圓孔時(shí)，將發(fā)生小角衍射，若該衍射角超過了經(jīng)典散射角，將會(huì)增加散射導(dǎo)致的遠(yuǎn)距離碰撞.因而將Z&L模型與量子機(jī)理作用相結(jié)合，得到的考慮電子與離子碰撞作用的電導(dǎo)率如下：

(5)

其中，α為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)1/137，c為光速.

考慮電子與中性粒子的碰撞作用下的電導(dǎo)率如下：

(6)

綜合(5)式和(6)式，非理想?yún)^(qū)域的電導(dǎo)率可通過下式表示：

(7)

3 模擬計(jì)算及分析

對(duì)電導(dǎo)率進(jìn)行模擬計(jì)算前先做如下假設(shè)：

(1)水中等離子體處于局部熱力學(xué)平衡狀態(tài)；

(2)由于水分子、氧分子、氫分子、臭氧和多種自由基等粒子的含量較少，因而在計(jì)算中忽略以上粒子的作用;

(3)水的電離度較低，因此可忽略氧原子二次以上的電離.

3.1 粒子數(shù)密度

由電導(dǎo)率計(jì)算模型可知，為了模擬計(jì)算等離子體電導(dǎo)率隨溫度變化的過程，還需要知道各粒子密度和壓力的數(shù)值.由假設(shè)可知水中等離子體處于局部熱力學(xué)平衡狀態(tài)，滿足理想氣體狀態(tài)方程P=nκT.同時(shí)，等離子體的粒子分布滿足薩哈方程：

(8)

式中，ni、Zi、Wi分別為粒子數(shù)密度、配分函數(shù)、電離勢(shì)能.

忽略氧原子二次以上的電離，可利用薩哈方程導(dǎo)出各粒子數(shù)密度的方程.式(9)為通過薩哈方程導(dǎo)出的電子數(shù)密度公式：

(9)

當(dāng)P、T的值已知，等離子體中各類粒子數(shù)密度可通過式(8)求得.本文取壓力P為定值100Mpa，離子的平均電荷數(shù)Z取1，模擬計(jì)算得到等離子體粒子數(shù)密度隨溫度的變化規(guī)律如圖1所示.

圖1 壓力P=100 MPa時(shí)，粒子數(shù)密度隨溫度的變化規(guī)律Fig. 1 The particle number density changing with the temperature for pressure of 100 Mpa

從圖1可得給定壓力為100Mpa的情況下，隨著溫度的升高，電離度增加，電離運(yùn)動(dòng)加劇，中性原子密度不斷減少，電子和離子密度快速增長(zhǎng)，在溫度T達(dá)到15000K左右，ne、nH+、nO+出現(xiàn)最大值，此時(shí)一次電離達(dá)到峰值.隨著溫度的持續(xù)升高，ne、nH+、nO+開始出現(xiàn)下降趨勢(shì)，原因在于等離子體中電離和復(fù)合運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在，溫度高于某一值后，復(fù)合運(yùn)動(dòng)大于分解運(yùn)動(dòng).由于O離子存在二次電離，因而nO+下降速度大于nH+.圖1中的n為粒子總密度，n隨著溫度的升高總體呈下降趨勢(shì).通過理想氣體狀態(tài)方程可知，壓力為定值的情況下，隨著溫度的升高，粒子總密度應(yīng)減小，且由于二次電離的關(guān)系，電子密度應(yīng)比離子密度大，圖1表示的結(jié)果均符合以上結(jié)論.

3.2 等離子體電導(dǎo)率

將通過薩哈方程求得的粒子數(shù)密度代入電導(dǎo)率公式，可求取相應(yīng)的電導(dǎo)率數(shù)值.水中放電等離子體的粒子成分主要為電子，H原子、O原子，H+離子、O+離子.電子與H、O原子的碰撞截面近似取10-19m2.圖2給出了考慮電子與中性粒子碰撞的電導(dǎo)率σen、考慮電子與離子碰撞的電導(dǎo)率σei及總電導(dǎo)率σ隨溫度的變化趨勢(shì)。

圖2 壓力P=100 MPa時(shí)，σen、σei及σ隨溫度的變化規(guī)律Fig. 2 σen, σei and σ changing with the temperature for pressure of 100 Mpa

如圖2 所示，總電導(dǎo)率σ隨著溫度T的升高而變大.考慮電子與中性粒子碰撞作用的電導(dǎo)率σen，在較低的溫度范圍內(nèi)隨著溫度的升高而變大.當(dāng)溫度接近10000K時(shí)，σen的增長(zhǎng)速度突然變快.考慮電子與離子碰撞作用的電導(dǎo)率σei，在一定范圍內(nèi)隨溫度的升高而變大，且數(shù)值增大趨勢(shì)漸緩.當(dāng)溫度高于25000K時(shí)，總電導(dǎo)率σ?guī)缀跖cσei重合.分析圖2可得，溫度較低時(shí)，電離度較低，電子與中性粒子的碰撞起主導(dǎo)作用，σen不可忽略，隨著溫度的升高，電離度增大，中性粒子數(shù)量減少，從而電子與中性粒子的碰撞作用減弱，直至溫度接近12000K時(shí)，電子與離子的碰撞作用逐漸增強(qiáng).當(dāng)溫度高于25000K時(shí)，總電導(dǎo)率僅由考慮電子與離子碰撞作用的電導(dǎo)率σei決定.

Aubreton的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果[6]和Chung的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果[7]如圖3所示.對(duì)比圖2和圖3可知，本文所得電導(dǎo)率隨溫度的變化趨勢(shì)與Aubreton的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果和Chung的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果大致相符合，基本反映了水中放電等離子體電導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律，從而驗(yàn)證了本文模型的正確性.與Chung的模型相比，本文修正了高溫條件下電子波的影響，得到的電導(dǎo)率隨溫度變化曲線更平緩.

圖3(a) Aubreton的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果

圖3(b) Chung的電導(dǎo)率模擬計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 論

本文將Z&L模型與量子機(jī)理作用相結(jié)合，考慮電子與中性原子的碰撞作用，得出修正后的水中放電等離子體電導(dǎo)率模型，并對(duì)得到的電導(dǎo)率模型進(jìn)行模擬計(jì)算.計(jì)算結(jié)果表明，電導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律總體呈上升趨勢(shì)，與其他文獻(xiàn)所得結(jié)果符合度較高，驗(yàn)證了模型的正確性.溫度較低時(shí)，電子與中性粒子的碰撞對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn)起主導(dǎo)作用，隨著溫度的升高，電子與離子的碰撞作用越來越明顯.

本文求得的電導(dǎo)率模型簡(jiǎn)單又不失適用性，可以在不計(jì)算非理想?yún)?shù)的情況下得到電導(dǎo)率，為水中放電等離子體提供更為精確的電導(dǎo)率數(shù)據(jù)，為開展水中放電等離子體的綜合數(shù)值模擬提供參考.

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Electrical conductivity simulation of plasma based on local thermodynamic equilibrium

WANG Zhu-Qin, LAN Sheng

(College of Electrical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China)

Based on the Zollweg & Liebermann model (Z & L model), combining with quantum mechanics which is under high temperature conditions, and considering the collisions between electron and neutral particles, the modified electrical conductivity model is accomplished, and the particle number density and electrical conductivity of water plasma are calculated under the assumption of local thermodynamic equilibrium. The results show that under certain pressure, the total particle number density of water plasma decreases when increasing temperature, and primary ionization reaches a maximum when the temperature is 15000 K. The electrical conductivity of water plasma rises when increasing temperature. When the temperature is below 12000 K, the collision of electrons and neutral particles play the leading role, while when the temperature is higher than 25000 K, the collision of electrons and ions play the leading role.

Water plasma; Electrical conductivity; Simulation

103969/j.issn.1000-0364.2015.02.014

2014-08-14

福建省自然基金(2011J01296)

王竹勤(1989-), 女,龍巖市永定縣, 碩士研究生, 主要研究領(lǐng)域?yàn)樗蟹烹姷入x子體.

蘭生，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)榉烹姷入x子體.E-mail: lansheng71@163.com

O539

A

1000-0364(2015)02-0259-05