求解復(fù)合型Tschebycheff方程一類邊值問題的相似構(gòu)造法

夏文文， 李順初， 桂東冬

(1.西華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 四川 成都 610039；2.北京東潤科石油技術(shù)股份有限公司， 北京 100029)

求解復(fù)合型Tschebycheff方程一類邊值問題的相似構(gòu)造法

夏文文1， 李順初1， 桂東冬2

(1.西華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 四川 成都 610039；2.北京東潤科石油技術(shù)股份有限公司， 北京 100029)

針對復(fù)合型Tschebyscheff方程的一類邊值問題，研究了其解的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)該邊值問題解的表達式可以通過Tschebyscheff方程的兩個線性無關(guān)解(Tschebyscheff多項式和第二類Tschebyscheff函數(shù))和邊值條件、交界面條件的系數(shù)組裝得到，并提出求解該類邊值問題的一個新解法——相似構(gòu)造法。

復(fù)合型Tschebyscheff方程組； 邊值問題； 相似結(jié)構(gòu)； 相似核函數(shù)； 相似構(gòu)造法

近年來，學(xué)者對一些微分方程具有某類邊值問題的解進行了廣泛的研究[1-4]，發(fā)現(xiàn)其解具有相似的表達式，并給出了構(gòu)造這種相似結(jié)構(gòu)式的具體步驟，提出了構(gòu)造這種相似解式的方法——相似構(gòu)造法。文獻[4]討論了一般型Tschebyscheff方程邊值問題解的相似結(jié)構(gòu)，本文對復(fù)合型Tschebyscheff方程的一類邊值問題的解進行了研究，通過對復(fù)合型邊值問題解的表達式進行整合，獲得了其解的相似結(jié)構(gòu)。

本文研究如下邊值問題：

(1)

其中：D，E，F(xiàn)，G，H，a，b，n1，n2為已知實常數(shù)，且D≠0，G2+H2≠0，0

在本文中，首先將給出兩個引理，其次將會論證基本定理并得到4個推論，最后總結(jié)出相似構(gòu)造法的具體步驟。

1 主要定理及其證明

yi=AiTni(x)+BiUni(x),

(2)

其中，Ai，Bi為任意常數(shù)，Tni(x)是Tschebyscheff多項式，Uni(x)是第二類Tschebyscheff函數(shù)。

引理2 對于二元函數(shù)

(3)

有：

(4)

(5)

(6)

其中i=1代表左區(qū)(a

證明 根據(jù)Tschebyscheff多項式和第二類Tschebyscheff函數(shù)的遞推公式[5]：

即可證得(4)式。同理可證(5)、(6)式。

定理 若邊值問題(1)有唯一解，則其左區(qū)(a

(7)

右區(qū)(c

(8)

其中Φ*(x)稱為右(區(qū))相似核函數(shù):

(9)

Φ(x)稱為左(區(qū))相似核函數(shù):

(10)

(11)

A1Tn1(c)+B1Un1(c)-A2αTn2(c)-B2αUn2(c)=0,

(12)

A1n1[Tn1-1(c)-cTn1(c)]+B1n1[Un1(c)-cUn1(c)]-

A2n2β[Tn2-1(c)-cTn2(c)]-B2n2β[Un2(c)-cUn2(c)]=0,

(13)

(14)

聯(lián)立(11)—(14)式，得到以A1，A2，B1，B2為待定系數(shù)的方程組，由邊值問題(1)有唯一解知該方程組系數(shù)行列式Δ≠0，且

(15)

求解線性方程組(11)—(14)，得

(16)

(17)

(18)

(19)

將(16)—(19)式代入(2)式，并利用相似核函數(shù)(9)、(10)的表達式，便可得到邊值問題(1)的左、右區(qū)解的表達式(7)、(8)式。

推論1 對于邊值問題(1)，若右邊界條件中G≠0，H=0(即y2(b)=0)，則(9)式簡化為：

推論3 邊值問題(1)的解式(7)和其導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系式：

推論4 邊值問題(1)的左邊界條件中，令E=0，D=1，則其左區(qū)間解為左區(qū)相似核函數(shù)：

2 相似構(gòu)造法步驟

3 小 結(jié)

求解復(fù)合型Tschebyscheff方程的邊值問題，可以通過Tschebyscheff方程的兩個線性無關(guān)解構(gòu)造引解函數(shù)，再由引解函數(shù)和邊界條件及交界面條件的系數(shù)按照上述步驟，就可較容易地求解此類邊值問題，這種方法極大地簡化了求解過程，提高了求解效率。

[1] 嚴娟，李順初，邢承林.二階歐拉方程的一類邊值問題的相似結(jié)構(gòu)[J].西華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，28(6)：86-88.

[2] 王芙蓉，李順初，許東旭.Airy方程的一類邊值問題的解的相似構(gòu)造法[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，33(1)：79-85.

[3] 黃榮軍，李順初，許東旭.求解第一種Weber方程邊值問題的相似構(gòu)造法[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報，2012，31(11)：1-5.

[4] 唐乙斌，李順初，嚴娟，等.Tschebyscheff方程組邊值問題解的相似結(jié)構(gòu)[J].四川兵工學(xué)報，2011，32(1)：155-156.

[5] 劉式適，劉式達.特殊函數(shù)[M].北京：氣象出版社，2002.

[6] 陳珊麗，方金財，吳康.關(guān)于第一類切比雪夫型不等式的研究[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報，2013，34(6)：16-18.

[7] 鄭鵬社，李順初，冷禮輝，等.一類非線性復(fù)合變型Bessel方程組邊值問題的相似構(gòu)造解法[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，27(4)：490-492.

[8] 李順初，王俊超，許麗.復(fù)合油藏球向滲流問題的解的相似結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2014，44(3)：122-127.

[9] 白麗霞，李順初，桂東冬.復(fù)合型第二種Weber方程邊值問題的新解法[J].中北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，35(6)：633-637.

[責(zé)任編輯：謝 平]

Similar structured method of solution to boundary value of the composite Tschebyscheff system

XIA Wen-wen1， LI Shun-chu1， GUI Dong-dong2

(1.Institute of Applied Mathematics, Xihua University, Chengdu 610039, China；2.Beijing Dongrunke Petroleum Technology Co.,Ltd., Beijing 100029, China)

Based on the question of boundary value problem of composite Tschebyscheff system, this paper studies the structure of the solution, and it discoversthat the expression of solution of the boundary problem is acquired by structuring two linearly independence solutions of Tschebyscheff equation(Tschebyscheff polynomial and the second category Tschebyscheff function)and the coefficients of right boundary condition, left boundary condition and interface condition. The paper puts forward a new method of solving this class boundary value problem： the similar constructive method.

composite Tschebyscheff system； boundary value problem； similar structure； similarity kernel function； similar structured metho

1673-2944(2015)02-0069-04

2014-12-31

四川省教育廳自然科學(xué)重點項目(12ZA164)

夏文文(1988—)，男，陜西省石泉縣人，西華大學(xué)碩士研究生，主要研究方向為微分方程及其應(yīng)用；[通信作者]李順初(1963—)，男，湖北省浠水縣人，西華大學(xué)教授，主要研究方向為微分方程和滲流力學(xué)及其應(yīng)用。

O175.8

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