基于Lukasiewicz計(jì)算模型的六值命題邏輯公理體系構(gòu)建*

林加華，姜 華

(楚雄師范學(xué)院信息學(xué)院，云南 楚雄 675000)

基于Lukasiewicz計(jì)算模型的六值命題邏輯公理體系構(gòu)建*

雖然經(jīng)典命題邏輯在理論上已經(jīng)趨于成熟，它既是可靠的又是完備的，但在現(xiàn)實(shí)世界中并不是每個(gè)命題均可直接用真與假來(lái)判斷。很顯然，對(duì)未來(lái)事件進(jìn)行判斷的命題既不真也不假。為了改進(jìn)經(jīng)典命題邏輯的這種不足，本文在深入研究經(jīng)典命題邏輯的基礎(chǔ)上，以Lukasiewicz計(jì)算模型為基礎(chǔ)，通過擴(kuò)展經(jīng)典命題邏輯的邏輯真值集，并采用擴(kuò)展后的邏輯真值構(gòu)成的賦值格對(duì)命題進(jìn)行賦值。由此本文提出六值命題邏輯系統(tǒng)，記為￡s。系統(tǒng)中否定了經(jīng)典命題邏輯中的排中律，增加了對(duì)命題判斷的多樣性，增強(qiáng)了它對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)能力。

經(jīng)典命題邏輯；Lukasiewicz計(jì)算模型；六值命題邏輯

1.引言

由于人們對(duì)一個(gè)命題“非真即假，非假即真”判定的懷疑，這種懷疑是多值邏輯出現(xiàn)的內(nèi)因。有著多值邏輯學(xué)之父稱號(hào)的著名邏輯學(xué)家Lukasiewicz提出除了邏輯真與邏輯假之外，還應(yīng)該存在第三個(gè)邏輯真值I，I表示不確定的中間狀態(tài)。[1]事實(shí)上，這里中間狀態(tài)所表達(dá)的內(nèi)涵是對(duì)未來(lái)事件發(fā)生與否的概率判斷。時(shí)間稍晚一些又有前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Bochvar為了處理語(yǔ)義悖論提出了他自己的三值邏輯系統(tǒng)B3、由邏輯學(xué)家Kleene提出的三值邏輯系統(tǒng)K3、Godel提出的三值邏輯系統(tǒng)G3、由另外一個(gè)多值邏輯創(chuàng)始人Post提出的三值邏輯P3等等。他們大多數(shù)都在自己的三值邏輯的基礎(chǔ)上完成了更多值乃至n值邏輯系統(tǒng)的理論研究，取得了數(shù)理邏輯學(xué)領(lǐng)域的輝煌成就。

目前，對(duì)多值邏輯體系構(gòu)建的研究主要存在兩條路徑。其一，以二值邏輯為基礎(chǔ)，擴(kuò)展其邏輯真值集，借用某多值邏輯系統(tǒng)的計(jì)算推理模型，并提出自己的語(yǔ)義賦值及語(yǔ)義解釋，最后完成可靠性和完備性證明；其二，把研究重點(diǎn)放在計(jì)算模型的設(shè)計(jì)上，特別是對(duì)蘊(yùn)涵算子的設(shè)計(jì)，等計(jì)算模型設(shè)計(jì)完成后，再尋找其語(yǔ)義賦值和語(yǔ)義解釋。[2]前者所構(gòu)建的系統(tǒng)一般都能對(duì)可靠性和完備性進(jìn)行證明并存在合理的語(yǔ)義賦值與語(yǔ)義解釋，但形式推理過程對(duì)原系統(tǒng)有依賴。后者，可謂全新開發(fā)，其突出的問題是難以進(jìn)行語(yǔ)義賦值和語(yǔ)義解釋且完備性證明困難，甚至不存在完備性。本文的研究思路采用前者。

2.六值命題邏輯￡s的語(yǔ)法構(gòu)成

2.1命題符號(hào)與聯(lián)結(jié)詞

2.1.1 ￡s的組成符號(hào)

第一類包括可數(shù)無(wú)窮多個(gè)命題符號(hào)：A，B，C，…Z；a，b，c，…z以及由字母組合而成的有意義的字符串。第二類包括四個(gè)聯(lián)結(jié)詞：┐，∧，∨，→ 。第三類包括兩個(gè)技術(shù)性標(biāo)點(diǎn)符號(hào)：( ， )。它們依次被稱為左括號(hào)和右括號(hào)。由第一類符號(hào)、第二類符號(hào)和第三類符號(hào)組成的有窮序列稱之為邏輯符號(hào)，簡(jiǎn)稱符號(hào)。由全體符號(hào)形成的集合稱為表達(dá)式，記為：Exp(￡s)。

2.1.2 ￡s的聯(lián)結(jié)詞

邏輯聯(lián)結(jié)詞是構(gòu)建任何邏輯系統(tǒng)的基石，同時(shí)也是不同邏輯系統(tǒng)之間的區(qū)別之一。本系統(tǒng)￡s的邏輯聯(lián)結(jié)詞定義如下：

定義2.1(聯(lián)結(jié)詞)：

(1) 否定聯(lián)結(jié)詞┐：┐A=1-A；

(2) 蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞→：A→B=(1-A+B)∧1。

由(┐，→)可引出以下邏輯聯(lián)結(jié)詞的定義：

(3) 析取聯(lián)結(jié)詞∨：A∨B=(A→B)→B；

(4) 合取聯(lián)結(jié)詞∧：A∧B=┐(┐A∨┐B)。

很容易看出，￡s的聯(lián)結(jié)詞的定義與經(jīng)典命題邏輯的聯(lián)結(jié)詞定義已經(jīng)有了很大的不同。正如上文所描述，它與盧氏多值邏輯系統(tǒng)中對(duì)聯(lián)結(jié)詞的定義相同[3]。本系統(tǒng)只是引用了它的定義形式，即盧氏多值邏輯的計(jì)算模型。但在真正的語(yǔ)義計(jì)算時(shí)，￡s要遵循六值命題邏輯系統(tǒng)中關(guān)于語(yǔ)義的約束，所以不是簡(jiǎn)單地去借用其計(jì)算模型，而是一種對(duì)它改進(jìn)了的，在賦值格序圖偏序集上的應(yīng)用。

2.2 六值命題邏輯￡s的公式

2.2.1 ￡s公式的生成規(guī)則

六值命題邏輯￡s的原子公式集和公式集分別記作Atom(￡s)和Form(￡s)。*表示三個(gè)聯(lián)結(jié)符號(hào)∧，∨和→中的任意一個(gè)。

定義2.2(Atom(￡s))六值命題邏輯￡s的一個(gè)表達(dá)式是Atom(￡s)一個(gè)元，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)單獨(dú)命題符號(hào)，即第一類符號(hào)。

定義2.3Form(￡s) 設(shè)pForm(￡s)，當(dāng)且僅當(dāng)它能有限次使用以下的(1)～(3)規(guī)則生成：

(1)Atom(￡s)Form(￡s)；

(2) 若pForm(￡s)，則┐pForm(￡s)；

(3) 若p，qForm(￡s)，則(p*q)Form(￡s)。

定義2.3中的(1)、(2)和(3)是六值命題邏輯￡s公式的形成規(guī)則。在公式的形成過程中特別強(qiáng)調(diào)是有限次地使用這三個(gè)規(guī)則，如果不能在有限次使用規(guī)則內(nèi)形成則不是六值命題邏輯￡s的公式。

2.2.2公式集相關(guān)說明

假設(shè)p，q是六值命題邏輯系統(tǒng)中的公式，則

(1)p中的聯(lián)結(jié)詞┐，∧，∨，→出現(xiàn)的總次數(shù)稱為公式p的復(fù)雜度。

(2)如果p作為q的一個(gè)部分出現(xiàn)，則稱p是q的子公式；如果p是q的子公式且p不等于q，則稱p是q的真子公式。

(3) 稱只出現(xiàn)在p中而不出現(xiàn)在p的任何真子公式中的那個(gè)聯(lián)結(jié)詞為p的主聯(lián)結(jié)詞；稱主聯(lián)結(jié)詞是否定聯(lián)結(jié)詞┐的公式為否定式；主聯(lián)結(jié)詞是合取聯(lián)結(jié)詞∧的公式為合取式；主聯(lián)結(jié)詞是析取聯(lián)結(jié)詞∨的公式為析取式；主聯(lián)結(jié)詞是蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞→的公式為蘊(yùn)涵式。

3.六值命題邏輯￡s形式推演

3.1￡s形式可推演性

定義3.1 (∑├A) ∑├A(A是由可形式推演或形式可證明的)，當(dāng)且僅當(dāng)存在序列

A1，A2，…An，使得An=A，并且每一個(gè)Ak(1≤k≤n) 滿足以下條件之一:

(1)Ak是六值邏輯的公理，

(2)Ak∑，

(3)有i，j

如果存在一個(gè)由∑到A的推演，則稱A在￡s系統(tǒng)中是由∑形式可推演的[4]，記為∑├￡sA，簡(jiǎn)記為∑├A。否則，稱A在￡s系統(tǒng)中不是由∑形式可推演的，記為∑├/ ￡sA，簡(jiǎn)記為∑├/A。

3.2 六值命題邏輯￡s形式推演規(guī)則

￡s的形式推演規(guī)則與經(jīng)典命題邏輯的形式推演規(guī)則在結(jié)構(gòu)上相似，但卻也存在很多不同之處。主要區(qū)別在于：第一，經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)支持排中律。第二，本系統(tǒng)擴(kuò)展了邏輯真值集且采用了盧氏計(jì)算模型，所以，實(shí)際的形式推演過程與經(jīng)典邏輯截然不同[5]。具體的推演規(guī)則如下：

設(shè)∑={A1,A2…Am}，m為正整數(shù)，Am為￡s的公式，有時(shí)為了推理方便也可以把∑寫成A1，A2，A3…的形式。另外，元素之間的次序關(guān)系是不重要的，且規(guī)定∑，A=∑A。

①自反規(guī)則(Ref) ②增加前提(+)

A├A如果∑├A，則∑，∑＇├A。

③蘊(yùn)涵消去規(guī)則(→-)(該規(guī)則也稱之為三段論，HS規(guī)則)

如果∑├A→B，∑├A，則∑├B。

④蘊(yùn)涵引入規(guī)則(→+)(也稱為演繹規(guī)則)

如果∑，A├B，則∑├A→B。

⑤包含律(∈)

(i)如果A∑，那么∑├A。 (ii) 如果A∑并且∑Δ，那么Δ├A。

⑥分配律

(i)如果∑├A∧B，則(∑├A)∧(∑├B)。

(ii)如果∑├A∨B，則(∑├A)∨(∑├B)。

⑦結(jié)合律

(i)如果(∑├A)∧(∑├B)，則∑├A∧B。

(ii)如果(∑├A)∨(∑├B)，則∑├A∨B。

⑧雙重否定規(guī)則

A=┐┐A。

⑨德摩爾根定律

(i)(A∧B)=(A∨B)。 (ii)┐(A∨B)=(┐A∧┐B)。

3.3 六值命題邏輯￡s的定理

若∑={A1，A2…Am}并∑├A可記為A1，A2…Am├A；若{∑∪A}├B可記為∑，A├B；若∑為空集，∑├A可記為├A。滿足以上三種情形之一時(shí)，稱A是可由六值邏輯系統(tǒng)推出的一個(gè)定理，簡(jiǎn)稱A是￡s定理。

上面的定理定義可描述為，凡是可從已知的前提公式或推理規(guī)則本身出發(fā)，通過有限次地應(yīng)用推理規(guī)則而得到的結(jié)論都是￡s定理, 一個(gè)形式可證明的公式是￡s系統(tǒng)中的一個(gè)定理。

定理3.1(代入定理) 在永真式中，用一個(gè)或幾個(gè)命題形式代入到它的相應(yīng)命題變?cè)?，并遵循?/p>

(1)同名的命題形式只能代入同名的命題變?cè)?/p>

(2)這種代入必須處處進(jìn)行，即一個(gè)代入命題形式必須取代所有同名的命題變?cè)猍6]。

那么代入結(jié)果仍然是命題形式，稱為永真式的代入示例，簡(jiǎn)稱代入示例。如：A→(B→A)，是六值命題邏輯的一條公理，它是永真式?，F(xiàn)在用“C→A”代入到所有變?cè)癆”處，得(C→A)→(B→(C→A))也是永真式。代入定理可以成為形式推演的輔助性工具，但有一點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào)：代入定理一定是從永真式開始進(jìn)行代入的，否則不能保證代入結(jié)果的可靠性?！阺形式推演出的方法可表述為：從作為起始狀態(tài)的已知前提公式集出發(fā)，根據(jù)推理規(guī)則在公理代入定理的輔助下向目標(biāo)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過程。

4.六值命題邏輯￡s的真值體系

4.1 ￡s系統(tǒng)的賦值格

本文提出的￡s有6個(gè)邏輯真值，即是“真”，“可能真”，“不可能假”，“不可能真”，“可能假”，“假”。分別對(duì)應(yīng)的字母表示形式是“t”，“tp”，“┐fp”，“┐tp”，“fp”，“f”。規(guī)定“tp”和“fp”的邏輯值大于0.5，而“tp”和“fp”的邏輯值小于0.5。為了使表達(dá)更為嚴(yán)謹(jǐn)且使后文表述更為方便，現(xiàn)在集合的形式來(lái)規(guī)范它們。設(shè)集合D={“t”，“tp”，“┐fp”，“┐tp”，“fp”，“f”}，Dt={“t”，“tp”，“┐fp”}，Df={“┐tp”，“fp”，“f”}，顯然集合Dt和Df都是集合D的子集，即Dt?D，Df?D。稱集合D為六值命題邏輯的邏輯真值集，稱子集Dt為六值命題邏輯的邏輯真值集的“近真子集”，稱子集Df為六值命題邏輯的邏輯真值的“近假子集”。為了直觀地描述其在邏輯上的大小關(guān)系，現(xiàn)為￡s定義其賦值格序圖，見圖4.1。圖4.1 賦值格序圖

不難發(fā)現(xiàn)，在格序圖中有兩對(duì)不可比較的值。它們分別是tp和┐fp，fp和┐tp。因?yàn)椴豢杀容^，所以就不能直接參與運(yùn)算。需要進(jìn)行特殊的處理，規(guī)定如下：

(1)tp∧┐fp∈Dt，fp∧┐tp∈Df

(2)tp∨┐fp∈Dt，fp∨┐tp∈Df

(3)tp→┐fp∈Dt，fp→┐tp∈Df

需要要說明的是，tp，┐fp，fp和┐tp都不是公式，只是用來(lái)表示對(duì)公式的賦值。事實(shí)上，這所謂的特殊規(guī)定也完全符合人們的思維方式的。比如：

A:明天會(huì)下雨，可能是真的，即Aυ=tp。

B:明天會(huì)下雨，不可能是假的,即Bυ=┐fp。

A∧B表達(dá)的含義是相信A命題與B命題中可能性更小的那個(gè)。雖然A與B不可比較，但不管相信哪個(gè)，“明天會(huì)下雨”這件事基本上就是真的了。所以說A與B合取后就“近真”了。A∨B所表達(dá)的含義是相信A命題與B命題中可能性更大的那個(gè)。雖然A與B不可比較，但不管相信哪個(gè)，“明天要下雨”這件事基本上就是真的了，所以說也就“近真”了。fp和┐tp在∧與∨情形下同理。

4.2六值命題邏輯￡s的語(yǔ)義約束

本系統(tǒng)是從經(jīng)典命題邏輯擴(kuò)展過來(lái)的，擴(kuò)展的邏輯真值有：tp，┐fp， ┐tp，fp共4個(gè)，要想使已經(jīng)擴(kuò)展了的邏輯真值也有合理的語(yǔ)義解釋，就必須對(duì)它們做出合理的語(yǔ)義約束。在其它多值邏輯系統(tǒng)中也稱之為語(yǔ)義約束公理。然后證明它們?cè)谶壿嬒到y(tǒng)中語(yǔ)義解釋是無(wú)矛盾的，即任何一個(gè)表達(dá)式不會(huì)因?yàn)椴捎昧瞬煌募訙p變換及等量替換而到不同的結(jié)果。下面就對(duì)本系統(tǒng)中所作的語(yǔ)義約束進(jìn)行詳細(xì)的討論。

(1)互補(bǔ)約束

t-tp=┐tpt-┐tp=tptp+┐tp=t

t-┐fp=fpt-fp=┐fp┐fp+fp=t

t-f=tt-t=ft+f=t

這是一組最基本性質(zhì)，是由否定聯(lián)結(jié)詞和邏輯真值格序圖共同決定的，其中“t”也可以解釋為語(yǔ)義中的“1”，即本系統(tǒng)中的“真”。如果有一個(gè)命題的語(yǔ)義賦值是“t”的話，那么對(duì)它的語(yǔ)義解釋就是真，是不容置疑的。例如：命題p:明天會(huì)下雨，當(dāng)pυ=t時(shí)，那么就是說：明天是絕對(duì)會(huì)下雨的，雖然這個(gè)命題可能并不能與客觀實(shí)際相符(可能在客觀實(shí)際中沒有一種技術(shù)可以預(yù)報(bào)明天會(huì)絕對(duì)下雨)，但是，一旦如果對(duì)它進(jìn)行了賦值“真”，也就是“t”的話，那么在本系統(tǒng)推理中它就被認(rèn)為是真的，是不容置疑的。換句說，如果懷疑已經(jīng)被語(yǔ)義賦值為“真”的命題的真假，這本身就犯了邏輯錯(cuò)誤。從另一個(gè)方面說，實(shí)際上，邏輯推理是考察命題與命題之間是否有邏輯關(guān)系，即前提命題與結(jié)論命題之間的關(guān)系，而不涉及命題本身所代表的含義。如：

p：牛會(huì)飛。

q：如果牛會(huì)飛，那么馬就不會(huì)吃草。

如果現(xiàn)在對(duì)p，q的語(yǔ)義賦值是pυ=t，qυ=t的話，那么就經(jīng)過簡(jiǎn)單的推理得出“馬不會(huì)吃草”。這個(gè)推理看似不合理，但實(shí)際上確有它的邏輯上的道理所在。這也正是數(shù)理邏輯推理中所謂的只考察命題與命題之間的邏輯關(guān)系，而不考察命題本身所代表的內(nèi)容。

(2)同值加約束

tp+tp=tp

┐tp+┐tp=┐tp

fp+fp=fp

┐fp+┐fp=┐fp

這一組語(yǔ)義約束公理可能會(huì)有些費(fèi)解，問題就在于在前文中所描述的語(yǔ)義推理是采用盧氏的計(jì)算模型，而盧氏的計(jì)算模型是在[0,1]上的精確的小數(shù)計(jì)算。例如：A→B=(1-A+B)∧1，如果對(duì)Aυ=0.7，Bυ=0.6，那么(A→B)υ=0.9。很顯然，它是數(shù)值的精確計(jì)算。本文提出的六值命題系統(tǒng)，從經(jīng)典命題邏輯擴(kuò)展而來(lái)，因此具有經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中的部分推理性質(zhì)。這一組語(yǔ)義約束公理所要表達(dá)的內(nèi)涵是：“可能真”加上“可能真”還是“可能真”，而“可能假”加上“可能假”還是“可能假”。舉例：張三說明天可能會(huì)下雨，李四也說明天可能會(huì)下雨，在旁邊聽了這兩個(gè)人的斷言的人，只能得到明天可能會(huì)下雨的信息，而不會(huì)是因?yàn)閮蓚€(gè)人所說的“可能真”就累加起來(lái)變成明天一定會(huì)下雨。在一次推理中，一個(gè)可能真與兩個(gè)可能真，甚至成百上千個(gè)可能真累加，其結(jié)果在邏輯上是一樣的。

(3)*'+*'' =*'∨*'' ，其中 *'，*'' {“tp”,“┐fp”,“┐tp”,“fp” }

注：∨表示在二者之中取大值。

這是一條很強(qiáng)的語(yǔ)義約束公理。實(shí)際上，它包含語(yǔ)義約束公理(2)。不僅如此，它包含的具體語(yǔ)義約束是比較多的，這里不一一列出了。但應(yīng)特別注意的是*'和*''都不能是邏輯真值t。正如前文已經(jīng)給出的，本系統(tǒng)的邏輯真值格序圖中存在兩對(duì)不可比較的邏輯真值。所以現(xiàn)在把它分成兩類情況來(lái)討論：

第一類：可比較加約束 第二類： 不可比較加約束

tp+┐tp=tp∨┐tp=tptp+┐fp=tp∨┐fp

tp+fp=tp∨fp=tp┐tp+fp=┐tp∨fp

┐fp+fp=┐fp∨fp=┐fp

┐fp+┐tp=┐fp∨┐tp=┐fp

第一類可比較的情形沒有完全列舉，如若需要知道其它沒有列舉出來(lái)的情況，只需按與第一類相同規(guī)則計(jì)算一下便知。在引入6個(gè)邏輯真值的時(shí)候已經(jīng)規(guī)定了tp>0.5, ┐tp<0.5，所以tp與┐tp就是可比較的了，這一點(diǎn)在格序圖中也有所反應(yīng)。所以可知，對(duì)tp與┐tp取大運(yùn)算時(shí)得tp。正如：“tp+┐tp=tp∨┐tp=tp”。

第二類情形是對(duì)不可比較的兩對(duì)邏輯真值進(jìn)行加運(yùn)算的語(yǔ)義約束，是本系統(tǒng)中語(yǔ)義約束的精華之一。成功地解決了不可比較的邏輯真值之間運(yùn)算的表達(dá)問題。關(guān)于它們之間相減的情況在下一個(gè)語(yǔ)義約束公理中給出。

(4) 不可比較減約束

*'- *''=*'∧*'' ，其中 *'，* '' {“┐tp”，“fp” }

注：∧表示在二者之中取小值，* '與*''不取相同值。

由(4)直接展開的語(yǔ)義約束有：

┐tp-fp=┐tp∧fp

fp-┐tp=┐tp∧fp

關(guān)于另外一對(duì)不可比較的邏輯真值tp與┐fp之間的相減可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：

tp-┐fp=tp-┐fp+1- 1=(1-┐fp)-(1-tp)=fp-┐tp=┐tp∧fp

┐fp-tp=┐fp-tp+1- 1=(1-tp) -(1-┐fp)=┐tp-fp=┐tp∧fp

(5)可比較減約束

tp-┐tp=tp

tp-fp=tp∧┐fp

┐fp-fp=┐fp

┐fp-┐tp=tp∧┐fp

語(yǔ)義約束公理(4)，(5)似乎已經(jīng)失去邏輯直觀主義者所說的“邏輯直觀”了，特別是語(yǔ)義約束公理(5)，實(shí)際上它是可以通過上面的具有“邏輯直觀”的語(yǔ)義約束公理推導(dǎo)所得的。

例如：tp-┐tp=tp(演算過程如下)

tp→┐tp=(1-tp+┐tp)∧1

=(┐tp+┐tp)∧1

=┐tp∧1 (由于┐tp+┐tp=┐tp)

=┐tp

(6)取最短表達(dá)式約束

在涉及到不可比較的邏輯真值的蘊(yùn)涵推理時(shí)，如果采用不同的運(yùn)算方式得到多種長(zhǎng)短不一的結(jié)果表達(dá)式取其最短的作為最終運(yùn)算結(jié)果，例如：采用不同的運(yùn)算方式得到了┐tp與┐tp∨fp，最終結(jié)果取┐tp。

4.3六值命題邏輯￡s系統(tǒng)的語(yǔ)義解釋

上面已經(jīng)給出了￡s語(yǔ)法的形式表述，然而作為一種形式語(yǔ)言，就必須要給予它在特定邏輯真值集下的全方位解釋。包括其中的各類符號(hào)涵義，以及由這些符號(hào)所構(gòu)成的各種公式所表示的事物的涵義。下面先作直觀的說明：

否定符號(hào)“┐”表示某事物發(fā)生的可能性的反面。析取符號(hào)“∨”表示取極大。即兩者運(yùn)算取其大者。合取符號(hào)“∧”表示取極小，即兩者運(yùn)算取其小者。這里“取其大者”與“取其小者”均是指在本系統(tǒng)提出的語(yǔ)義約束公理范疇下的“取其大值”與“取其小值”。在￡s中已經(jīng)沒有傳統(tǒng)意義上的“與”，“或”運(yùn)算，取而代之的是“取大”，“取小”運(yùn)算[7]。這也是多值邏輯與經(jīng)典命題邏輯的區(qū)別之一。蘊(yùn)涵符號(hào)“→”表示的是一種與盧氏三角模運(yùn)算相伴隨的正則蘊(yùn)涵算子，具體的運(yùn)算法則是：A→B=(1-A+B)∧1。

對(duì)公式的語(yǔ)義解釋則根據(jù)￡s系統(tǒng)對(duì)聯(lián)結(jié)詞定義和形式推規(guī)則進(jìn)行的，另外關(guān)于6個(gè)邏輯真值的取值只要滿足格序圖即可，其本質(zhì)是數(shù)值計(jì)算，這就為形式推演在計(jì)算機(jī)中通過編程的方式現(xiàn)實(shí)奠定了基礎(chǔ)。也是眾多數(shù)理邏輯研究人員選擇依據(jù)盧氏計(jì)算模型進(jìn)行構(gòu)建多值邏輯系統(tǒng)或以改造盧氏計(jì)算模型作為研究切入點(diǎn)的普遍原因。最后需要對(duì)一個(gè)普遍性原則進(jìn)行說明：一般來(lái)說，在眾多不同的多值邏輯系統(tǒng)中，它們的“否定”，“合取”，“析取”，“等值”的含義是相同的，而唯一不同的是“蘊(yùn)涵算子”。本文提出￡s系統(tǒng)的構(gòu)建也采用了該原則。

5.小結(jié)

本文是在經(jīng)典命題邏輯的基礎(chǔ)上對(duì)其邏輯真值集進(jìn)行了擴(kuò)展，從原來(lái)只有真、假二值擴(kuò)展到了擁有6個(gè)邏輯真值的多值邏輯，豐富了系統(tǒng)的表達(dá)能力。與其它多值邏輯系統(tǒng)有明顯不同的在于蘊(yùn)涵式，其形式表達(dá)為A→B=(1-A+B)∧1。該式引用自盧氏正則蘊(yùn)涵算子，本文重點(diǎn)研究對(duì)該蘊(yùn)涵式進(jìn)行的語(yǔ)義約束。原盧氏系統(tǒng)是在[0，1]區(qū)間上的無(wú)窮值邏輯系統(tǒng)，而本系統(tǒng)把無(wú)限邏輯值轉(zhuǎn)變成6個(gè)小區(qū)間，是對(duì)原盧氏系統(tǒng)的一種改進(jìn)。誠(chéng)然，本系統(tǒng)尚存在許多不足之處需要在后續(xù)工作將它不斷地完善，未來(lái)進(jìn)一步的工作主要是要把多值邏輯與模糊邏輯相結(jié)合，在六值命題邏輯中加入模糊推理規(guī)則并在計(jì)算機(jī)中編程實(shí)現(xiàn)機(jī)器推理。

[1]羅玉忠.多值邏輯的形成探析[J].中山大學(xué)研究生學(xué)刊,1999,20(1):19—23.

[2]梁彪.羅薩和圖爾克特對(duì)盧卡西維茨多值邏輯系統(tǒng)的改進(jìn)[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢(社會(huì)科學(xué)版),2000,20(2):128—132.

[3]陸鐘萬(wàn).面向計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)理邏輯(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2002.25—26.

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(責(zé)任編輯 劉洪基)

On the System Construction of the Multi-Value Logic Axiom in Lukasiewicz-based Computation Model

LIN Jiahua & JIANG Hua

(MathematicsDepartment,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

Although the classical propositional logic in theory has become mature, it is not only reliable and complete, but in the real world, not every proposition can be directly used to judge true and false. Obviously, the judgment of future events is neither true nor false proposition. In order to improve the shortcomings of classical propositional logic, based on the in-depth study of classical propositional logic, based on the Lukasiewicz model, through the extension of classical propositional logic logic truth value set, and uses the extended logic truth value assignment of proposition in lattice structure assignment. This paper puts forward six valued propositional logic system ￡s,systemofnegationinclassicalpropositionallogiclawofexcludedmiddle,increasethediversityofthepropositionofjudgment,itenhancestheabilityofexpressingtherealworld.

multi valued logic; formal proof; semantic constraints

楚雄師范學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目：基于Lukasiewicz計(jì)算模型的六值命題邏輯公理體系研究。

2015 - 02 - 27

林加華(1983—)，男，講師，主要研究方向：數(shù)理邏輯和信息安全。

林加華，姜 華

(楚雄師范學(xué)院信息學(xué)院，云南 楚雄 675000)

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1671 - 7406(2015)06 - 0032 - 06