寫真法、寫假法探析

崔文芊

(南開大學(xué)哲學(xué)院，天津300071)

寫真法、寫假法探析

崔文芊

(南開大學(xué)哲學(xué)院，天津300071)

寫真法和寫假法是在真值表方法的基礎(chǔ)上構(gòu)造而成的一種確定真值表所對應(yīng)的真值形式的方法。借助真值表方法對寫真法和寫假法的構(gòu)造過程的合理性、有效性及特點(diǎn)予以探析，進(jìn)而把寫真法、寫假法整合為一種新的方法——寫真寫假法。

寫真法;寫假法;等值

在現(xiàn)代邏輯中，真值表方法是判定真值形式的真值類型的一種最基本的方法，它是用真值表作為命題邏輯中確定真值形式的真值情況的一種有效的判定方法。依據(jù)這種方法，對于任一真值形式，可以根據(jù)若干特定步驟寫出它的真值表，從而判定這一真值形式的類型;反過來，由任一給定的真值表亦可以確定其對應(yīng)的真值形式，其常用的方法是:寫真法和寫假法。寫真法和寫假法作為現(xiàn)代邏輯中的一種方法是有其存在價值的，它實(shí)際上是對真值表方法的一種應(yīng)用。

一、寫真法和寫假法的構(gòu)造過程

約定:用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。寫真法的基本構(gòu)成步驟如下:

在所給真值表的最后一列里，找出所有取值為1(文中已加粗)的真值。然后，在取值為1的這些行中，對于命題變元的賦值為1的，用合取符號“∧”把它與其它命題變元聯(lián)結(jié)起來;對于命題變元的賦值為0的，用合取符號“∧”把它的否定與其它命題變元聯(lián)結(jié)起來。最后，把所得的各部分的真值形式用析取符號“∨”聯(lián)結(jié)起來，如此所得的真值形式即為該真值表所對應(yīng)的真值形式。真值表表1所對應(yīng)的真值形式為:(p∧┐q)∨(┐p∧q)。

真值表1

寫假法的基本構(gòu)成步驟如下:在所給真值表的最后一列里，找出所有取值為0(文中已加粗)的真值。然后，在取值為0的這些行中，對于命題變元的賦值為1的，用析取符號“∨”把它的否定與其它命題變元聯(lián)結(jié)起來;對于命題變元的賦值為0的，則用析取符號“∨”把它與其它命題變元聯(lián)結(jié)起來。然后，把所得的各部分的真值形式用合取符號“∧”聯(lián)結(jié)起來，如此所得的真值形式即為該真值表所對應(yīng)的真值形式。真值表表2所對應(yīng)的真值形式為:(┐p∨┐q)∧(p∨q)［1］(P57)。

真值表2

二、寫真法和寫假法構(gòu)造過程的來源及其合理性

從構(gòu)成步驟來看，寫真法和寫假法是在真值表方法的基礎(chǔ)上用三個真值聯(lián)結(jié)詞非(﹁)，合取(∧)和析取(∨)把命題變元或其否定按照一定程序聯(lián)結(jié)而成的。此種方法簡單易行，可操作性強(qiáng)，是一種很有效的方法。那么，它從何而來，其合理性何在?用此方法寫出的真值形式的真值情況與真值表的真值情況完全相同嗎?用寫真法、寫假法可以寫出任一n元真值函數(shù)的真值表所對應(yīng)的真值形式嗎?對于這一系列問題，筆者試作如下探討:

設(shè)F(P1，P2，…，Pn)是任一n元真值函數(shù)。顯然，F(xiàn)(P1，…，Pn)可用2n行(2n個賦值)的真值表來表示。

對每一1≤i≤2n，令是第i行對P1，…，Pn的賦值。

對每一1≤i≤2n，令A(yù)i形如

為了便于說明問題，此處附加一個由二元真值函數(shù)的寫真法和寫假法構(gòu)造過程的示例。

其中，f的取值為二元真值函數(shù)所有取值中的一種。C是用寫真法寫出的f的真值形式，C'是用寫假法寫出的f的真值形式。

易證:※Ai相對Si有值1，而其它的Ah(其中1≤h≤2n且h≠i)相對Si有值0。因?yàn)楹先∈紸i只有在命題變元取第i行的值時取值1，而其它的合取式Ah在命題變元取第i行的值時取值0。

由于B是析取式，①當(dāng)時，Ai是B的一個析取支，且根據(jù)※:Ai相對Si有值1，Ah相對Si有值0。由析取式性質(zhì)可知，B相對Si有值1。②當(dāng)時，Ai作為B的一個析取支，且根據(jù)※:Ai相對Si有值1，Ah相對Si有值0。由析取式性質(zhì)可知，B相對Si仍有值1。

構(gòu)造析取式B，意使B與F(P1，P2，…，Pn)取值相同，當(dāng)時，B取值1，F(xiàn)(P1，P2，…，Pn)的取值與B的取值相同;當(dāng)時，B仍取值1，F(xiàn)(P1，P2，…，Pn)的取值與B的取值相反。既然是構(gòu)造，就要為了滿足一定的目的有所取舍。這里的目的是使F(P1，P2，…，Pn)與B有相同的取值，可把行所對應(yīng)的Ai從B中舍棄，只把的所有合取式Ai析取起來，從而得到析取式(其中1≤m≤2n且m≠n)。這樣，當(dāng)F時，Ai不是析取式C的一個析取支，根據(jù)※，其它的Ah相對Si有值0，所以析取式C的每一個析取支Ah取值均為0，由析取式的性質(zhì)可得，C的取值為0，與F(P1，P2，…，Pn)的取值相同。

如此所構(gòu)造的析取式C與F(P1，P2，…，Pn)有相同的取值，而構(gòu)造C的過程實(shí)質(zhì)上就是寫真法的構(gòu)造過程。在這個過程中，把時的Ai用析取符號聯(lián)結(jié)起來，Ai是由命題變元P1，P2，…，Pn或其否定的合取。這樣構(gòu)造出的析取式C亦即用寫真法寫出的n元真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)的真值表所對應(yīng)的的真值形式。

同理，在F(P1，P2，…，Pn)的真值表中，對每一1≤i≤2n，令是第i行對P1，P2，…，Pn的賦值。

對每一1≤i≤2n，令A(yù)i'形如行，當(dāng)相對Si取值0時，定義為Pj;當(dāng)相對Si取值1時，定義為┐Pj。

易證:Ai'相對Si有值0，而其它的Ah'(其中1≤h≤2n且h≠i)相對Si有值1。因?yàn)槲鋈∈紸i只有在命題變元取第i行的值時取值0，而其它的析取式Ah在命題變元取第i行的值時取值1。

由于B'是合取式，①當(dāng)時，Ai'是B'的一個合取支，且根據(jù):Ai'相對Si有值0，Ah'相對Si有值1。由合取式的性質(zhì)可知，B'相對Si有值0。②當(dāng)時，Ai'作為B'的一個合取支，且根據(jù):A'i相對Si有值0，Ah'相對Si有值1。由合取式的性質(zhì)可知，B'相對Si仍有值0。

構(gòu)造合取式B'，意使B'與F(P1，P2，…，Pn)取值相同，當(dāng)時，B'取值0，F(xiàn)(P1，P2，…，Pn)與B'的取值相同;當(dāng)時，B'仍取值0，F(xiàn)(P1，P2，…，Pn)與B'取值相反。這里的目的是使F(P1，P2，…，Pn)與B'有相同的取值，可把行所對應(yīng)的Ai'從B'中舍棄，只須把的所有析取式Ai'合取起來，從而得到合取式(其中1≤m≤2n且m≠n)。這樣，當(dāng)時，析取式Ai'不是合取式C'的一個合取支，

如此所構(gòu)造的合取式C'與F(P1，P2，…，Pn)有相同的取值，而構(gòu)造C'的過程實(shí)質(zhì)上就是寫假法的構(gòu)造過程。在這個過程中，把時的Ai'用合取符號聯(lián)結(jié)起來，Ai'則是由命題變元P1，P2，…，Pn或其否定的析取，這樣構(gòu)造的析取式C'亦即用寫假法寫出的n元真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)的真值表所對應(yīng)的真值形式。

綜上所析，寫真法、寫假法構(gòu)造過程的合理性證明實(shí)質(zhì)上是用真值聯(lián)結(jié)詞﹁，∧，∨構(gòu)造出真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)的等值式，以此來定義任一n元真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)。

三、寫真法、寫假法的特點(diǎn)

寫真法、寫假法從其構(gòu)造過程來看，有以下幾個特點(diǎn)。

首先，用寫真法、寫假法寫出的真值形式和優(yōu)范式的形式基本上是一致的。如果不考慮排列順序的話，用寫真法、寫假法寫出的真值形式正好滿足優(yōu)范式的條件;用寫真法寫出的真值形式就是優(yōu)析取范式，用寫假法寫出的真值形式就是優(yōu)合取范式。特別是一n元真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)若為重言式，用寫真法寫出其真值表所對應(yīng)的真值形式C亦即優(yōu)析取范式中就有2n個簡單合取支;若為不可滿足式，其優(yōu)析取范式不存在。反之，一n元真值函數(shù)F(P1，P2，…，Pn)若為不可滿足式，用寫假法寫出其真值表所對應(yīng)的真值形式C'亦即優(yōu)合取范式中就有2n個簡單析取支;若為重言式，其優(yōu)合取范式不存在。因此，任一真值函數(shù)都有一個唯一的優(yōu)析取范式或者一個唯一的優(yōu)合取范式，這是優(yōu)范式的存在唯一性定理。

其次，寫真法和寫假法從不同角度寫出了同一真值表所對應(yīng)的真值形式，所寫出的這兩個真值形式必定是等值的。寫真法是對真值表中函數(shù)值為真的情況的反映，函數(shù)值為真的個數(shù)與寫出的真值形式中析取支的個數(shù)是相同的，由此可以看出在變元的哪些取值情況下，真值形式的值為真;寫假法是對真值表中函數(shù)值為假的情況的反映，函數(shù)值為假的個數(shù)與寫出的真值形式中合取支的個數(shù)是相同的，由此可以看出在變元的哪些取值情況下，真值形式的值為假。從這個意義上說，寫真法、寫假法是另一種可以達(dá)到優(yōu)范式這一標(biāo)準(zhǔn)形式的方法，而且是一種便捷可行的方法。

最后，寫真法、寫假法沒有用其它的真值聯(lián)結(jié)詞，而是用﹁，∧，∨這三個真值聯(lián)結(jié)詞來定義任一n元真值函數(shù)是有其特殊的優(yōu)越性的。由聯(lián)結(jié)詞﹁，∧，∨所寫出的真值形式在實(shí)際操作中比較便易，并且有助于進(jìn)行理論分析。從前面的特點(diǎn)可以看到，僅從寫出的真值形式的外形上就可以看出變元和函數(shù)值的真假個數(shù)及真值情況，并且使用這三個符號使∧和∨有了對稱性。

［1］李娜．現(xiàn)代邏輯的方法［M］．開封:河南大學(xué)出版社，1997．

［2］李小五．現(xiàn)代邏輯學(xué)講義數(shù)理邏輯［M］．廣州:中山大學(xué)出版社，2005．

Truth-description＆False-description

CUI Wen-qian
(Facullty of philosophy，Nankai University，Tianjin300071，China)

Truth-description and false-description are the methods to determine the truth-value form corresponding the truth table based on truth table method，this paper aims at analyzing the rationality，validity and characteristics of the process of construction，then integrating truth-description and false-description to form a new method:truth-false-description．

Truth-description;False-description;Logical equivalent

B81

A

1008—4444(2011)04—0075—03

2011－05－25

崔文芊(1987—)，男，河南周口人，南開大學(xué)哲學(xué)院邏輯學(xué)專業(yè)碩士研究生。

(責(zé)任編輯:董紅克)