分類討論的產(chǎn)生、對策及規(guī)避

福建省安溪第八中學 唐繼承

笛卡爾說：“把我所考察的每一個難題，都盡可能地化為細小的部分，直化到可以圓滿解決的程度為止?！?/p>

解答數(shù)學題時，由于許多題目不僅涉及的知識范圍上帶有較強的綜合性，而且就問題本身來說也是受到多種條件的交叉制約，形成錯綜復雜的局面，有時很難在整體上加以解決，這時就從分割入手，把整體劃分為若干個局部，轉(zhuǎn)而去解決局部問題，最后達到整體上的解決。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以數(shù)學中占有重要的位置。

歷年高考題中都有分類討論思想的運用，求解。其思想方法是高中數(shù)學的重點，由于這類題目綜合性強，邏輯性嚴密，探索性開放，因而也是學習的難點。

一、分類的原則

分類的對象是確定的，標準是同一的，不遺漏、不重復、分層次、不越級討論。即要證明一個命題對于集合P成立，可以將集合P分成若干個子集pi(1≤i≤n)且 滿 足P＝P1∪P2∪…∪Pn（其 中Pi∩Pj=φi≠j, 1≤i,j≤n），然 后分別證明命題P1、P2，……，Pn都成立，則命題P成立。

二、分類討論的一般步驟

一是明確討論對象，確定對象的范圍；二是確定分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；三是逐類討論，一一解決，獲得階段性結(jié)果；四是歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

三、分類討論的類型和方法

1.概念型

涉及的數(shù)學概念是以分類形式定義的，如絕對值、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、不等式、兩直線的位置關系等。有些概念本身有一定限制。如斜率、曲線中二次曲線的分類等。接這類題時，以所定義的概念為依據(jù)來進行分類討論。

例：對x∈R,不等式|x+ 2 |- |x- 1|＞a恒成立，求a的取值范圍，通過零點分區(qū)間討論可得f(x)=|x+ 2 |- |x-1|，最小值為－3，所以a＜-3

2.性質(zhì)型

運用的數(shù)學定理公式或運算性質(zhì)法則是分類給出的。如分母不為零、開偶次方被開方數(shù)非負、對數(shù)的真數(shù)為正、對數(shù)及指數(shù)由于底數(shù)的取值范圍不確定而導致的增減性不確定、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)由a的正負而導致開口方向不確定、由a、b的不確定而導致對稱軸的不確定等。

例：已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x適合等 式f(5-x) =f(x-3)且x∈ [m,n](m≠n)時 ，f(x)的取值范圍為[3m，3n]，求m，n 。

解：由f(5-x) =f(x-3)得圖象對稱軸為x=1，從而，以再從區(qū)間與對稱軸的位置關系進行討論。

3.含參數(shù)型

含有參數(shù)的數(shù)學問題中，參變量的不同取值會導致不同的結(jié)果，因此有必要對參數(shù)進行討論。

例：設0＜x＜1，a＞0且a≠1試比較A＝|loga(1-x)|與B＝|loga(1+x)|的大小。

分析：解題時為了達到比較A與B的大小，必須考慮去絕對值，從而必須為a＞1及0＜a＜1進行分類討論，從而得出A＞B。

比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關，所以對底數(shù)a分兩類情況進行討論。

解∵0＜x＜1

∴ 0＜1－x＜1,1＋x＞1①當0＜a＜1時，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，所以

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x)＞0;

②當a＞1時，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，所以

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x) －loga(1＋x)＝－loga(1－x)＞0；

由①②可知，|l o ga(1－x)|＞|loga(1＋x)|。

4.當研究的對象不完全屬于一個確定的范疇時引起的討論、由實際問題引起討論等

例：已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：①.C ?A∪B且C中含有3個元素；②.C∩A≠φ

分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。

解：C112·C28＋C212·C18＋C312·C08＝1084

那么，在具體的教育教學活動中，如何貫徹學好分類討論的數(shù)學思想方法呢？

一是對所學知識內(nèi)容進行全面復習的基礎上，要注意突出數(shù)學思維的形式，要重視課本，尤其是重視對每一個基本公式性質(zhì)的適用條件適用范圍對每一種運算的實施條件，要準確理解并把握住。重視對重要概念公式法則的形成過程和例題的典型作用。

二是做好復習工作，是對數(shù)學基礎知識和基本方法的不斷深化，要從本質(zhì)上認識和理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系，從而加以分類歸納綜合，形成一個知識的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。在思考問題時，要學會用辨證的思想，力爭通觀全局，切忌極端和片面。

三是在分類討論的全過程中，要堅持同一個分類標準，并始終遵循不重不漏的原則。在分類對象確定后，還有一個如何分類與討論的問題，選擇最佳的分類方法。不僅可以防止重復和遺漏，還可以簡化運算，避免解題中的錯誤。

四是數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更感高層次上的抽象和概括，它蘊涵于數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展和應用的過程中，對數(shù)學思想方法，首先要領悟到蘊涵在數(shù)學概念定義定理公式法則中的數(shù)學思想方法，它體現(xiàn)了數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程。其次對數(shù)學思想方法還要理解知識的深化，以問題的發(fā)現(xiàn)與解決為途徑，提高學生解決問題的能力，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。

四、分類討論的避免

有些分類討論是不可避免的，但有些問題如能變換角度，充分挖掘問題潛在的本質(zhì)特征，或運用變換命題，將問題轉(zhuǎn)化為另一個較簡單，熟悉的數(shù)學問題，則可收到意想不到的效果，從而避免分類討論。

一是從參數(shù)入手，巧避討論。二是掘隱含條件，力避分類討論。三是整體化思想。四是數(shù)形結(jié)合。五是正難則反。六是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化化歸。

總之，只有領悟了蘊涵在問題中的提出完善和深化的全過程，掌握了貫穿在分析問題，解決問題時的數(shù)學思維方法，才能達到數(shù)學知識和方法的融會貫通，提高綜合運用數(shù)學知識和方法及解決問題的能力。