數(shù)形結合思想的應用與實踐

山西省大同市南郊區(qū)水泊寺聯(lián)校 麻麗芳

小學階段的數(shù)學基本思想包括三大類：數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模。在眾多的數(shù)學思想中，數(shù)形結合思想幾乎貫穿整個小學階段。無論是整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)還是負數(shù)，都是一條數(shù)軸連貫始終，就連研究加、減、乘、除這些運算或學習幾何概念時，也離不開實物或圖像支撐。正因如此，教科書上多次出現(xiàn)圖文結合的情景，從分與合、平均分到一圖兩式、一圖四式再到借助線段圖、示意圖、列表來解決問題，而在認識圖形、周長、面積、體積時，則采用從實物到圖形再到概念，一步步幫助學生建立表象明確含義，我們不斷看到“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”的范例。這是數(shù)形結合思想將形象思維與抽象思維緊密結合的成果，它將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易、化繁為簡。下面我想將自己對數(shù)形結合的一些應用和實踐進行整理。

一、在數(shù)的認識方面

數(shù)的認識主要集中在低中段,按由低到高的次序分段學習,但不管是哪一類數(shù),在學習時是有一定共性的。如認識自然數(shù)、小數(shù)、負數(shù)時，都涉及計數(shù)單位以及十進位值制，所以我們都可以借助數(shù)軸來進行認讀，通過在數(shù)軸上的位置來進行比大小。尤其在自然數(shù)和小數(shù)的讀寫方面更可以借助數(shù)位順序表來進行。拐彎處的難點可用計數(shù)器結合立體圖突破。而對于分數(shù)來說，單位“1”，分數(shù)單位等概念的建立就離不開大量的實物分配，學生在動手操作后建立起分數(shù)的表象，才將形的變化抽象為數(shù)學符號，更容易理解其含義。由于分、小數(shù)的對應關系,也可結合數(shù)軸、線段圖、方格圖來進行較學，可引導學生從數(shù)、形兩個角度出發(fā)，幫助學生喚起舊知，以形助數(shù)，以舊帶新，以點帶面。還可利用其探究倍數(shù)因數(shù)關系以及直線、射線、線段、角、平行與相交等概念性強且不易理解的東西。

二、在數(shù)的計算方面

最初的加、減、乘、除都是借助一圖四式來進行。而連加、連減、連乘、連除的教學也都與圖示密切結合，豎式計算也用小棒操作對應計算過程，方程教學中天平的輔助等都是在以形助數(shù)。雖然課本上在混合運算方面只是借助情境圖讓學生理解題意并列綜合算式，但是我在后面的練習時常常借助畫樹狀圖幫助學生理解運算順序，樹狀圖的使用有效提高了算式的正確率。另外，我在教學乘法分配律時首先借助和倍問題的兩種解法引入主題，進而以此為突破口結合線段圖幫助學生理解乘法分配律的算理，通過比較兩種不同的算法得出乘法分配律的結論，降低了理解難度。接著在后面的練習中我用到了長方形的周長、有相同長或寬的兩個長方體的面積等一系列 配有圖片的內(nèi)容幫助學生內(nèi)化知識，形成認識。最后在應用乘法分配律進行簡算時我通過讓學生結合畫圖操作敘述15×12的口算過程幫助他們理解15×12＝15×10+15×2＝150+30＝180這一計算過程其實就是利用乘法分配律進行簡算，讓學生在畫圖中自然理解這樣做是最優(yōu)化的選擇，也是簡算應用運算律的合理之處。思想滲透水到渠成。

三、在幾何圖形的教學方面

幾何圖形由一維的點、線到二維的平面再到三維的物體，是一個循序漸進的過程。我們在教學時也應從整體出發(fā)，讓學生觀察體驗物體的形，進而明了點、線在面上，面在體上，讓學生通過觀察比較邊、角的數(shù)目來體會其獨有的特點。在教學長、正方體的表面積時，更可由頂點、棱、面出發(fā)使之與數(shù)發(fā)生聯(lián)系，讓模糊的概念具體化，并通過表格比較數(shù)據(jù)的形式，使內(nèi)容得到量化，使知識結構網(wǎng)絡化。我們也可運用幾何直觀的方法來探究周長、面積、體積公式，進而內(nèi)化建構、鞏固應用。另外在教學平移、旋轉、軸對稱時使用的方格圖，在認識方向、認識路線使用的直角坐標系，確定位置時使用的數(shù)對，都體現(xiàn)了數(shù)形結合思想。在教學類似內(nèi)容后可適當進行方法的總結，通過知識框架對學生所學知識進行梳理，使學生明一題通一路。我在教學三角形三邊關系時通過多媒體給定兩條邊要學生猜測第三邊可能是哪些數(shù)進而驗證，驗證的過程中學生明白第三邊的范圍在兩邊的和與差之間，真正理解三角形兩邊之和大于第三邊的含義。

四、在解決問題方面

解決問題是數(shù)學學習的一個重要領域，隨著學生年級的增加，學習的難度也有所增加。用于支撐學生思維的形體也有所改變。教材對實物圖向線段圖的過渡大致分為四個階段：一是實物圖；二是趨于線段化的排列圖（包括實物和幾何圖形）；三是長方條圖形；四是線段圖。這樣逐步過渡坡度小，易為學生接受。教學時，教師應認真鉆研教材，把握教材的系統(tǒng)性，掌握好過渡的時機，做好從實物圖向線段圖的自然過渡和銜接。尤其是線段圖它是在學生已有利用實物對應和象形圖排列解決問題的經(jīng)驗基礎上展開的，對后面數(shù)量關系的分析有很重要的作用，是以形助數(shù)的應用。蘇教版教材的一大特色是從三年級起專門設立獨立的解決問題的策略單元,我們應以這些版塊為契機，對學生進行有意識的強化，在日常解決問題中指導學生用畫圖策略幫助理解解決問題，逐步養(yǎng)成畫圖的習慣，使之成為解題時常用的輔助方法。

五、在統(tǒng)計方面

統(tǒng)計是根據(jù)問題需要，對數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述、分析，并對此作出合理的推斷和預測的過程。將數(shù)據(jù)整理成統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖的過程就是以形助數(shù)。當統(tǒng)計圖生成后，由形及數(shù)，分析信息。更可結合圖表提出問題，預測結果。條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖均是如此。平均數(shù)的教學中以多補少的操作使學生更容易得到結果。

“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離?！边@是我國著名數(shù)學家華羅庚對數(shù)形結合的評價。不管是利用數(shù)的計算來解決平面圖形中的問題，還是用形的直觀來分析數(shù)據(jù)中的關系,這些都體現(xiàn)了數(shù)形結合思想方法的優(yōu)點,我們應深入挖掘教材中蘊含的數(shù)學思想，在適當?shù)钠鯔C以適當?shù)男问竭M行滲透，本著連續(xù)性、系統(tǒng)性、綜合性的宗旨，讓學生在日常的點滴生活中在日常的行為習慣中得到領悟。無論對學生是短期的知識理解還是長期的思維發(fā)展都會大有益處的。