楊輝數(shù)學(xué)及其教育思想研究

北京市力邁外國語學(xué)校 孫艷秋

一、楊輝的數(shù)學(xué)成就和發(fā)展

（一）楊輝的數(shù)學(xué)成就

1.《詳解九章算法》的主要數(shù)學(xué)成就

從楊輝的《詳解九章算法》自序中，可知楊輝認(rèn)為《九章算術(shù)》雖然是一經(jīng)典著作，但并不方便初學(xué)者學(xué)習(xí)，所以才對《九章算法》進行詳細解釋、注釋。

2.《日用算法》的主要數(shù)學(xué)成就

據(jù)其他文獻記載可知，它的主要內(nèi)容有度量衡換算、丈量土地、倉窖容積、建筑工程等與日常生產(chǎn)和生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。楊輝編撰此書是為初學(xué)者而學(xué)的啟蒙之書，多講解日常所用的乘除算法，有插圖并且有詳細的解題過程。

3.《楊輝算法》的主要數(shù)學(xué)成就

《楊輝算法》的主要特點就是適用于數(shù)學(xué)普及和數(shù)學(xué)教育，《楊輝算法》是南宋時期流傳至今使用算術(shù)的杰出著作。

（二）楊輝的創(chuàng)新和發(fā)展

1.對乘除捷法的創(chuàng)新

中國古代數(shù)學(xué)是隨著算籌的發(fā)明而形成的。與筆算一樣，籌算的基礎(chǔ)也是加、減、乘、除四則運算。楊輝繼承并發(fā)展了唐、宋數(shù)學(xué)家以加減代乘除的思想方法，對乘除算法加以創(chuàng)新，提出了很多乘除運算的簡捷算法。

2.縱橫圖的構(gòu)成規(guī)律以及組合數(shù)學(xué)的發(fā)展

“縱橫圖”這個詞是從楊輝才開始的。所謂縱橫圖，“即在各種幾何形狀的表上排列數(shù)字，使得這些數(shù)進行簡單的邏輯運算時，不論采取哪一條路線，得到的和或積都能完全相同?！睏钶x被譽為中國數(shù)學(xué)史上研究縱橫圖即組合數(shù)學(xué)的開拓者。

二、楊輝數(shù)學(xué)教育思想主要特點和對現(xiàn)代教育發(fā)展指導(dǎo)意義

（一）“須責(zé)實有”的教育主張

所謂“須責(zé)實有”就是數(shù)學(xué)教育的教材內(nèi)容，必須和社會生產(chǎn)、生活實踐相結(jié)合，所提出的問題必須來自于生產(chǎn)和生活實際。楊輝編入書中的題目，無一不是來自于他工作和生活的實際，這也在很大程度上體現(xiàn)了來源于生活應(yīng)用與生活的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育思想。

（二）“先算再理”的教學(xué)方法

在教學(xué)方法上，楊輝主張循序漸進，精講多練。先熟練習(xí)題的運算，之后再總結(jié)算理、算法。“習(xí)算綱目”通篇都體現(xiàn)了楊輝由易到難、由淺入深、循序漸進的教學(xué)思想以及先熟練運算再明算理的教學(xué)主張。

（三）“明法設(shè)題”的習(xí)題訓(xùn)練

在楊輝看來，教師編書或講課時，應(yīng)“法將題驗”，并且應(yīng)“欲明一法，必設(shè)一題”。也就是說，用算法統(tǒng)帥習(xí)題。要說明一種算法，都要先設(shè)置一種數(shù)學(xué)問題。每種算法都要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目來驗證和練習(xí)。在要求學(xué)生要進行大量的習(xí)題訓(xùn)練的同時，楊輝還強調(diào)要精選例題，并且在講清楚算法的來龍去脈之后，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)會舉一反三，并提高學(xué)習(xí)上的自覺性和主動性。

（四）楊輝數(shù)學(xué)教育思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的指導(dǎo)意義

1.善于利用社會生活中的課程資源，注重學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)

楊輝書中所選取的例題大都是日常所用的問題，如日用度量衡、土地丈量、修建和商品交換等問題，這些利用社會生活中的資源來建設(shè)課程的做法給我們現(xiàn)代教育很多啟發(fā)。中國學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能很好，但是創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力卻很低，這是我們要注意的。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育課應(yīng)充分利用社會生活中的課程資源，給學(xué)生展示豐富多彩的數(shù)學(xué)知識，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念和應(yīng)用能力、動手能力，提高我國中小學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2.教材編寫應(yīng)充分考慮到學(xué)習(xí)者的現(xiàn)有發(fā)展水平

當(dāng)前，我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材存在很多不合理的地方，例如，忽視數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯性、有些內(nèi)容缺乏對學(xué)生的身心發(fā)展水平的考慮。楊輝在著書時就充分考慮到了學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)需要和發(fā)展水平以及知識的連貫性與完整性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教材內(nèi)容設(shè)計要有一定的彈性，重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想宜螺旋上升，關(guān)注各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合等。所以教材的編寫要充分考慮學(xué)習(xí)者的需要，否則教材將不適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展，起不到應(yīng)有的效果。在這方面，我們的教育研究者可借鑒楊輝的有關(guān)思想來改善我國的小學(xué)教材的編寫。

3.重視學(xué)習(xí)者對知識的練習(xí)和溫習(xí)

楊輝十分強調(diào)學(xué)習(xí)者對所學(xué)知識的演算，無論是學(xué)習(xí)乘除，還是學(xué)習(xí)加減，楊輝都提出習(xí)題的演算并規(guī)定了具體的練習(xí)強度，如功課一日、功課五日等。在楊輝的《習(xí)算綱目》中，幾乎每學(xué)一項內(nèi)容楊輝都會指出及時溫習(xí)。但楊輝指導(dǎo)學(xué)習(xí)者練習(xí)和溫習(xí)不是無節(jié)制地練習(xí)題目和溫習(xí)知識，不浪費學(xué)習(xí)者的寶貴時間。教育家楊輝是根據(jù)知識的難易和重要程度來安排練習(xí)和溫習(xí)的強度的，所以不會造成今天我國小學(xué)中普遍存在的“題?！爆F(xiàn)象。教育研究者應(yīng)仔細研究我國基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)內(nèi)容，像數(shù)學(xué)家楊輝那樣，給學(xué)習(xí)者指引明路，列出一個提綱指導(dǎo)學(xué)生如何練習(xí)，改變現(xiàn)在小學(xué)中作業(yè)過多的現(xiàn)狀。

4.注重數(shù)學(xué)知識體系的連貫性和完整性

在楊輝看來，數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系是緊密的且都是環(huán)環(huán)相扣的，學(xué)生學(xué)習(xí)必須知道知識和用法的來源，才能更好地掌握知識，而不能把知識和用法看成是孤立的。在給初學(xué)者制定學(xué)習(xí)計劃時，楊輝也是非常注重知識的連貫性和數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯性。例如，先學(xué)九九合數(shù)，次學(xué)乘除，然后學(xué)加減、求一、九歸等法。其次學(xué)分?jǐn)?shù)運算，最后學(xué)開方。整個體系是銜接的、完整的、層層深入的。如今，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教育就存在了許多肢解數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)象并且數(shù)學(xué)知識體系不完整，數(shù)學(xué)知識不是孤立的，學(xué)生應(yīng)在教師的指導(dǎo)安排下系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。