基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法在工程優(yōu)化中的應(yīng)用

張春江，TAN Kay Chen，高 亮，吳 擎

(1．華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430074;2．Department of Electrical and Computer Engineering，National University of Singapore，Singapore 117583;3． 華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，湖北 武漢430070)

0 引言

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(Multi-Objective Optimization Problems，MOPs)普遍存在于工程應(yīng)用與科學(xué)研究中，這些問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)往往相互沖突，在對(duì)其優(yōu)化時(shí)，需要對(duì)各個(gè)目標(biāo)進(jìn)行折衷處理． MOPs 往往沒(méi)有唯一的全局最優(yōu)解，而有一個(gè)Pareto 最優(yōu)解集(Pareto Optimal Set，POS)． 采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解MOPs 時(shí)，如權(quán)重法、目標(biāo)規(guī)劃法等，一次運(yùn)行只能求得一個(gè)解，而多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm，MOEA)因其內(nèi)在的并行性，能一次性求得一組Pareto 最優(yōu)解．自從Schatter 和David［1］在1985 年首次提出用于多目標(biāo)優(yōu)化的向量評(píng)估遺傳算法(Vector Evaluated Genetic Algorithm)以來(lái)，MOEA 得到了學(xué)者的廣泛關(guān)注． 同時(shí)，許多學(xué)者提出了優(yōu)秀的MOEA 算 法，如Zitzler 等［2］提 出 了SAPE-II;Deb［3］提出了NSGA-II;Bader 和Zitzler［4］提出了基于評(píng)估指標(biāo)的HypE;2007 年Zhang 等［5］提出了一種全新的基于分解的MOEA 算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，MOEA/D)． 該算法結(jié)合傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法，首先將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)發(fā)為眾多單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，然后采用進(jìn)化算子同時(shí)優(yōu)化這些單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，最終獲得一組Pareto 最優(yōu)解． 與大多數(shù)MOEA 算法相比，MOEA/D 被證明有更快的求解速度，能獲得分布性及收斂性更好的解集． 在2009 年的IEEE 進(jìn)化計(jì)算大會(huì)中的多目標(biāo)優(yōu)化競(jìng)賽中，MOEA/D 榮獲了第一名［6］．近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)MOEA/D 做出了很多改進(jìn)，例如，Palmers等［7］讓MOEA/D 分解的每個(gè)子問(wèn)題記錄多個(gè)解;Qi 等［8］為MOEA/D 提出了一種自適應(yīng)權(quán)重調(diào)整方法;Li 等［9］為MOEA/D 提出了一種自適應(yīng)算子選擇方法;周愛(ài)民等［10］提出了一種基于混合高斯模型的MOEA/D． 目前，該算法也被成功應(yīng)用于天線(xiàn)設(shè)計(jì)［11］、電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)配［12］、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)［13］、無(wú)線(xiàn)傳感網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化［14］等應(yīng)用領(lǐng)域．

多目標(biāo)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題的Pareto 最優(yōu)前沿(Pareto Optimal Front，POF)的各目標(biāo)值往往在［0，1］區(qū)間，MOEA/D 在這些問(wèn)題上表現(xiàn)良好．但現(xiàn)實(shí)中的工程優(yōu)化問(wèn)題各目標(biāo)函數(shù)往往有不同的單位量度，并且其函數(shù)值常在不同的數(shù)量級(jí)上．當(dāng)直接應(yīng)用MOEA/D 求解時(shí)，會(huì)造成極差的解集分布性［12］，因此，需對(duì)各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理．Zhang 等［5］利用當(dāng)前種群的信息來(lái)歸一化，但該方法使得原目標(biāo)函數(shù)動(dòng)態(tài)變化，并在某些目標(biāo)難以?xún)?yōu)化的情況下，該方法也會(huì)失效． Zhu 等［12］采用目標(biāo)函數(shù)的最大和最小值來(lái)歸一化，在某些情況下，該方法不適合MOEA/D．

筆者旨在提供一種新的歸一化方法，以便將MOEA/D 應(yīng)用于工程優(yōu)化問(wèn)題． 另外，筆者采用一種自適應(yīng)ε 約束處理方法來(lái)處理工程優(yōu)化問(wèn)題中的約束．

1 問(wèn)題定義

不失一般性，工程優(yōu)化中的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通?？梢圆捎靡韵聰?shù)學(xué)模型加以定義:

該問(wèn)題有m 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，決策向量X =(x1，x2，…，xn)，有k 個(gè)不等式約束及l(fā) 個(gè)等式約束，最大化問(wèn)題可采用下式轉(zhuǎn)化為最小化問(wèn)題．

max fi(X)= -min(-fi(X))． (2)

1．1 Pareto 最優(yōu)解

MOPs 中的最優(yōu)解通常被稱(chēng)為Pareto 最優(yōu)解(Pareto Optimal Solution)． 對(duì)于式(1)中的MOP，其Pareto 最優(yōu)解X*定義如下:對(duì)于X*∈Ω(表示滿(mǎn)足(1)中所有約束的可行集)，如果不存在其他任何X'∈Ω 使得fj(X*)≥fj(X')(j =1，2，…，m)同時(shí)成立，且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱(chēng)X*是min f(X)的Pareto 最優(yōu)解．

1．2 Pareto 最優(yōu)解集

MOPs 的Pareto 最優(yōu)解往往不止一個(gè)，而存在一組相互制約的最優(yōu)解集，被稱(chēng)為Pareto 最優(yōu)解集，其定義如下:

Pareto 最優(yōu)解集是所有Pareto 最優(yōu)解的集合．

1．3 Pareto 最優(yōu)前沿

Pareto 最優(yōu)前沿是Pareto 最優(yōu)解集在目標(biāo)函數(shù)空間的映射，定義如式(4)所示:

2 基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)

MOEA/D 是一種全新的多目標(biāo)優(yōu)化框架，在該框架中，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化子問(wèn)題，然后利用一定數(shù)量相鄰問(wèn)題的信息，采用進(jìn)化算法對(duì)這些子問(wèn)題同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，因?yàn)槊恳粋€(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于Pareto最優(yōu)前沿上的一個(gè)解，最終能求得一組Pareto 最優(yōu)解．由于分解操作的存在，該方法在保持解的分散性方面有著很大優(yōu)勢(shì)，而通過(guò)分析相鄰問(wèn)題的信息來(lái)優(yōu)化，能避免陷入局部最優(yōu)．與NSGA-II 相比，MOEA/D 能在更快時(shí)間內(nèi)獲得分散性更好并更精確的Pareto 近優(yōu)解集［5］．

較為常用的分解策略是切比雪夫(Tchebycheff)分解法．該方法對(duì)Pareto 最優(yōu)前沿的形狀不敏感．筆者也采用該策略將MOP 問(wèn)題min f(X)轉(zhuǎn)化為min(Xλj，z*)，j=1，2，…，N，如下式所示:

式中:λj= (，…，)T，為相應(yīng)的權(quán)重向量，并滿(mǎn)足條件，0 ≤≤1，∑= 1，λj的設(shè)定算法見(jiàn)文獻(xiàn)［5］;z*=，…)T為參考點(diǎn)，=min{fi(X)}． 可以證明，每一個(gè)子問(wèn)題的最優(yōu)解都是MOP 的Pareto 最優(yōu)解，且MOP 的每一個(gè)Pareto 最優(yōu)解都對(duì)應(yīng)一個(gè)切比雪夫子問(wèn)題．

3 歸一化方法

MOEA/D 適用于求解各目標(biāo)函數(shù)的范圍和量綱一致的問(wèn)題．將MOEA/D 直接應(yīng)用于各目標(biāo)值量綱和數(shù)量級(jí)不同的工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)會(huì)向著數(shù)值較大的目標(biāo)進(jìn)化，往往只能獲得分散性較差的Pareto 近優(yōu)前沿，因而需要?dú)w一化處理．Zhu 等［12］在采用MOEA/D 優(yōu)化電力環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題時(shí)，采用以下方法進(jìn)行歸一化．

式中:ftransi表示歸一化后的第i 個(gè)目標(biāo)函數(shù);fi表示原始的第i 個(gè)目標(biāo)函數(shù)值和分別表示第i 個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值．有時(shí)某個(gè)會(huì)非常大，甚至存在并不存在的情況，這時(shí)候該歸一化方法就會(huì)失效．

對(duì)于MOEA/D，最理想的歸一化方法如下所示:

Zhang 等［5］認(rèn)為很難求解fmin和fnad，并提出了一種自適應(yīng)歸一化方法，如式(9)所示:

筆者將采用式(7)的方法來(lái)進(jìn)行歸一化． 現(xiàn)在的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為了怎樣求fmin和fnad．對(duì)于MOP存在以下定理:在一般情況下，對(duì)于有m 個(gè)目標(biāo)的MOP，它的Pareto 最優(yōu)解無(wú)論在解空間還是目標(biāo)空間都是一個(gè)分段連續(xù)的m -1 維流形． 這說(shuō)明，當(dāng)m =2(雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題)時(shí)，pareto 最優(yōu)前沿是一個(gè)分段連續(xù)的一維流形，一般情形下是一條一維曲線(xiàn)，顯然，恰好是曲線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)．

對(duì)于雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用以下方法來(lái)求解fmin和fnad． 首先，采用一種高效的約束優(yōu)化算法，即自適應(yīng)εDE［16］分別優(yōu)化f1和f2而求得和．要求解和，只需采用自適應(yīng)εDE 求解式(10)和式(11)，可證明這兩式的最優(yōu)值為和．式(11)最優(yōu)解的示意圖如圖1 所示．約束條件f1(X)實(shí)際上只能取到f1(X)=，如圖中的虛線(xiàn)所示．在這虛線(xiàn)上，f2能取到的最小值只能是當(dāng)虛線(xiàn)與Pareto 前沿相交時(shí)取到該最小值，此交點(diǎn)也是Pareto 前沿的一個(gè)端點(diǎn)．

與公式(9)相比，公式(6)和公式(7)的方法要先求解歸一化所需的fmin和fmax或fnad． 但因?yàn)閱文繕?biāo)優(yōu)化的計(jì)算復(fù)雜度要低于多目標(biāo)優(yōu)化，并且單目標(biāo)優(yōu)化所需的種群大小也一般小于多目標(biāo)優(yōu)化．另外，當(dāng)采用公式(6)和公式(9)進(jìn)行歸一化時(shí)，不需要更新z*，可節(jié)約計(jì)算時(shí)間．因而采用公式(6)和公式(9)的方法并不會(huì)增加額外的計(jì)算時(shí)間，甚至比公式(7)的方法所需時(shí)間更少．

圖1 式(11)的最優(yōu)解示意圖Fig．1 Illustration of optimal solution for formula (11)

4 自適應(yīng)ε 約束處理及自適應(yīng)ε 差分進(jìn)化算法

ε 約束處理方法最先由Takahama 等［17］提出．該方法用來(lái)比較兩個(gè)候選解的優(yōu)劣．在該方法中，存在一個(gè)ε 值，當(dāng)兩個(gè)解的約束違反量都小于ε 時(shí)，則根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的大小來(lái)比較，否則采用違反約束的程度來(lái)比較．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式如下:

其中，φ 表示約束違反量，計(jì)算方式如下:

式中:δ 為等式約束的容許誤差值．

Takahama 和Sakai 將ε 約束法與差分進(jìn)化算法相結(jié)合，贏得了2006 年與2010 年IEEE 計(jì)算智能大會(huì)上約束優(yōu)化競(jìng)賽上的第一名［18-19］．筆者采用Zhang 等改進(jìn)的自適應(yīng)ε 約束法． Zhang 等［16］利用當(dāng)前種群中的信息而采用一種自適應(yīng)方式來(lái)控制ε 值．具體控制方法如式(14)所示:

式中:t 表示迭代次數(shù);φmax表示種群中約束違反量的最大值;φ0表示種群中約束違反量為0 的個(gè)體數(shù);N 表示種群大小;Tc 表示迭代次數(shù)的閾值;Th 也是閾值;ap1和ap2是介于0 和1 之間的系數(shù)．上式表示，當(dāng)種群中φmax很大或者可行解很多時(shí)，直接讓?duì)?取0;否則，讓?duì)?取值為φmax的ap2倍．

DE 算法由Storn 和Price［20］提出．Zhang 等人將自適應(yīng)ε 約束方法與最簡(jiǎn)單的一種DE 算法(DE/rand/1/exp)結(jié)合．?dāng)?shù)值試驗(yàn)證明，該方法具有求解速度快、精度高、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)．用來(lái)求解fnad的εDE 算法的偽代碼如圖2 所示．

5 算法步驟

將MOEA/D 應(yīng)用于工程優(yōu)化問(wèn)題的具體步驟如下:

(1)參數(shù)設(shè)置． 設(shè)置自適應(yīng)εDE 算法的參數(shù)以及MOEA/D 的參數(shù)．

(2)采用自適應(yīng)εDE 算法求解fmin和fnad．

(3)初始化MOEA/D． ①初始化權(quán)重向量λ1，…，λN，具體方法見(jiàn)參考文獻(xiàn)［5］，計(jì)算這些權(quán)重向量之間的歐氏距離，為每個(gè)權(quán)重向量找出T個(gè)與其距離最近的向量，從而構(gòu)成B(i)={i1，…，iT};②采用均勻分布在定義域中生成種群大小為N 的種群X，并計(jì)算初始種群的目標(biāo)函數(shù)與約束違反量;③迭代次數(shù)初始化:Gen=0．

圖2 自適應(yīng)εDE 的偽代碼Fig．2 Pseudo-code of adaptive εDE

(4)算法迭代更新．

a)根據(jù)式(14)定義ε 值．對(duì)每一個(gè)個(gè)體i，進(jìn)行如下操作．

b)根據(jù)下式選擇重組父本的范圍:

其中，rand 為服從均勻［0，1］分布的隨機(jī)數(shù)．

c)重組．令r1=i，從P 中隨機(jī)選擇r2和r3．根據(jù)DE 算子重組出新解=(，…，)． 每一維如下式所示:

其中，F(xiàn) 和CR 是兩個(gè)參數(shù)．再通過(guò)一個(gè)多項(xiàng)式突變算子得到解Y．具體見(jiàn)文獻(xiàn)［15］．

d)修復(fù)． 如果新解Y 的某個(gè)元素值超出邊界，則賦予該元素一個(gè)邊界內(nèi)隨機(jī)值．計(jì)算新解Y的函數(shù)值f(Y)及約束違反量φ(Y)．

(5)終止準(zhǔn)則． 如果迭代次數(shù)gen =Genmax，則停止迭代，輸出結(jié)果;否則，gen =gen +1，并返回步驟(4)．

6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證筆者提出歸一化方法的有效性，選取了另兩種方法來(lái)進(jìn)行對(duì)比，這兩種方法分別采取公式(6)和公式(9)來(lái)歸一化． 首先選用CEC2009 中多目標(biāo)優(yōu)化競(jìng)賽［21］中的一個(gè)問(wèn)題CF6 來(lái)比較3 種歸一化方法．

6．1 CF6 測(cè)試問(wèn)題

對(duì)于CF6，CEC2009 的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題的最大函數(shù)評(píng)估次數(shù)為300 000，種群大小為600，最大迭代次數(shù)為500，其他參數(shù)的設(shè)置請(qǐng)參考文獻(xiàn)［15］．在求解fmin、fnad和fmax時(shí)，種群大小設(shè)置為40，最大迭代次數(shù)設(shè)置為2 000，其他參數(shù)設(shè)置請(qǐng)參考文獻(xiàn)［16］．

CF6 的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)范圍都在［0，1］，本不需要?dú)w一化，因此，將原目標(biāo)函數(shù)f1乘以10，經(jīng)改造的CF6 如下所示:

其中，J1=j 是奇數(shù)且2≤j≤n}，J2=j 是偶數(shù)且2≤j≤n}，且

約束條件為

決策空間為［0，1］×［-2，2］n-1．

采用公式(6)的歸一化方法，需要先求fmin和fmax．這里采用自適應(yīng)εDE 算法來(lái)求解，求得fmin=［0，0］，fmax=［270．9，30．9］． 采用本文方法，也就是公式(7)的方法，需要求fnad，求得fnad=［10，1］．對(duì)于公式(6)的方法，可以先根據(jù)式(8)計(jì)算fTnad=．因?yàn)榕c相差不大，因此，可以推斷公式(6)的方法與本文方法效果相當(dāng)．3 種方法均采用相同的算法參數(shù)，最終求得的解如圖3 所示．

圖3 對(duì)CF6 各方法Pareto 前沿的比較Fig．3 Pareto fronts of different methods for CF6

圖3 中第一個(gè)子圖為真實(shí)的Pareto 前沿．3種方法都沒(méi)有求得f2的范圍在［0，0．2］的Pareto最優(yōu)前沿．公式(6)的方法與本文方法相當(dāng)，這是因?yàn)椴捎霉?6)時(shí)，該問(wèn)題的fTnad1與fTnad2相差不大;公式(9)的方法結(jié)果較差，其一為分散性較差，f2的范圍在［0．4，1］的Pareto 前沿非常稀疏，原因在于此問(wèn)題比較難于優(yōu)化． 在優(yōu)化后期該問(wèn)題的z*約為［0，0．2］，(種群中的最大目標(biāo)函數(shù)值)約為［110，1］． 此時(shí)，計(jì)算fTnad為，可見(jiàn)遠(yuǎn)大于，因此導(dǎo)致了較差的解集分布性． 公式(9)的結(jié)果較差還表現(xiàn)在精度不高． 從圖3(c)可見(jiàn)，公式(9)方法所獲的前沿不光滑，有些解不是非支配解，這是因?yàn)椴捎霉?9)的方法使子問(wèn)題變成了動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，收斂速度變慢了．

對(duì)于該問(wèn)題，采用自適應(yīng)εDE 求解fmin時(shí)，可獲得fmin=［0，0］．但采用MOEA/D 進(jìn)行求解時(shí)，卻無(wú)法求得f2的范圍在［0，0．2］的Pareto 最優(yōu)前沿．在已知fmin=［0，0］和fnad=［10，1］的情況下，可以結(jié)合歸一化方法讓更多的解集中在f2的范圍為［0，0．2］的Pareto 最優(yōu)前沿處． 具體方法是在歸一化時(shí)加大fnad1． 比如，當(dāng)分別采用fnad=［20，1］和［100，1］進(jìn)行歸一化時(shí)，可獲得如圖4所示的最優(yōu)前沿． 很顯然，當(dāng)fnad1 增加的越大時(shí)，對(duì)Pareto 前沿的下端的優(yōu)化就越集中，因而圖4中右圖Pareto 前沿的下端要優(yōu)于左圖，而上端卻較左圖稀疏．

圖4 增加fnad1 時(shí)所獲得Pareto 前沿Fig．4 Pareto fronts obtained by increasing

下面選取逆向世代距離(Inverted Generation Distance，IGD)進(jìn)一步比較這幾種方法． IGD 的定義如下式所示:

分別采用公式(6)、公式(9)、公式(7)以及采用公式(7)時(shí)將增大為100 來(lái)歸一化處理，將算法隨機(jī)運(yùn)行30 遍．IGD 的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差及每種方法所需的平均運(yùn)行時(shí)間如表1 所示． 每種方法獲得IGD 做出箱線(xiàn)圖如圖5 所示．

由表1 和圖5 可知，采用公式(9)的歸一化方法所獲的IGD 最大，公式(6)和公式(7)的方法沒(méi)有明顯的差異，這與之前分析是一致的．相對(duì)而言，公式(7)方法所獲的解IGD 更集中，而采用公式(7)方法時(shí)，將fnad1 增大為100 能明顯提高算法的性能，不但能獲得更小的IGD 值，并且比其他方法更加集中． 這就是因?yàn)楫?dāng)fnad1 =100 時(shí)，會(huì)有大量的解集中到難以?xún)?yōu)化的Pareto 前沿附近，因而能跳出該處的局部最優(yōu)，獲得更為完整Pareto最優(yōu)前沿，結(jié)果如圖4 所示．

表1 4 種方法對(duì)CF6 運(yùn)行30 次求得的IGD平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及所需平均時(shí)間Tab．1 IGD’s average value，standard error and average time by the four methods running 30 times for CF6

圖5 4 種方法對(duì)CF6 運(yùn)行30 次的IGD 的箱線(xiàn)圖Fig．5 Boxplot of four methods for CF6

由表1 可見(jiàn)，雖然需要先計(jì)算歸一化所需的fmin和fmax或fnad，但公式(6)和公式(7)不需要更新z*，所以這兩種方法反而比公式(9)的方法的計(jì)算時(shí)間更少．

作出IGD 為中位數(shù)時(shí)各方法的IGD 收斂曲線(xiàn)如圖6 所示． 可見(jiàn)，公式(9)的方法最差，波動(dòng)也較大，這正是fnad和z*不斷變化的結(jié)果．采用公式(6)和公式(7)求得的IGD 非常接近．而采用公式(7)并將增大為100 時(shí)，能收斂到更低的IGD 值，這是因?yàn)橛懈嗟慕饧械絇areto 前沿的下端，而能跳出局部最優(yōu)．

圖6 4 種方法求解CF6 的IGD 收斂圖Fig．6 IGD’s converge plots of four algorithms for CF6

6．2 焊接梁設(shè)計(jì)問(wèn)題

筆者選用焊接梁設(shè)計(jì)問(wèn)題［22］驗(yàn)證該算法的有效性，其目標(biāo)是最小化制造成本和末端撓度，其約束為在一定的負(fù)載下剪切應(yīng)力和彎曲應(yīng)力均滿(mǎn)足要求．

對(duì)于該問(wèn)題，種群大小設(shè)置為100，最大迭代次數(shù)為100;自適應(yīng)εDE 的種群大小為20，最大迭代次數(shù)為500．

用自適應(yīng)εDE 算法求的fmin=［1． 861 6，0．000 44］，fmax=［1 220，0．071 28］，求得fnad=［35．23，0．015 7］．對(duì)于公式(6)的方法，計(jì)算其fTnad=［0．027，0．215］，可見(jiàn)兩個(gè)值相差較大． 采用3 種方法所獲得的Pareto 前沿如圖7 所示．

從圖7 可見(jiàn)，該問(wèn)題的Pareto 最優(yōu)前沿有比較陡峭的尖端和很平緩的尾端． 當(dāng)采用MOEA/D求解時(shí)，所獲的解在尖端和尾端非常稀疏．對(duì)于此問(wèn)題，結(jié)合本文的歸一化方法提供一種解決思路．對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題采用兩個(gè)種群分別求解，對(duì)一個(gè)種群歸一化時(shí)增加，對(duì)另一個(gè)種群歸一化時(shí)增加，最后所得解合二為一，就能得到在整個(gè)Pareto 最優(yōu)前沿上都分布較好的解． 這里每個(gè)種群采用50 個(gè)粒子，分別將和擴(kuò)大10 倍，最終分別獲得的Pareto 前沿以及混合后的Pareto 前沿如圖8 所示．

圖7 對(duì)焊接梁設(shè)計(jì)問(wèn)題各方法Pareto 前沿的比較Fig．7 Pareto Fronts obtained by three methods for weld bean design

7 結(jié)束語(yǔ)

為了將MOEA/D 算法更好地應(yīng)用于各目標(biāo)數(shù)量及量綱不同的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，筆者提出了一種新的歸一化方法，并采用了一種自適應(yīng)ε 約束處理方法來(lái)處理約束． 歸一化方法采用一種自適應(yīng)εDE 算法來(lái)求解歸一化所需的fmin和fnad．通過(guò)數(shù)值實(shí)例，證明了該方法能獲得分布性較好的Pareto 前沿，并且該方法能克服其他兩種歸一化方法的缺點(diǎn)．另外，通過(guò)靈活運(yùn)用該歸一化方法，MOEA/D 能對(duì)Pareto 前沿的一端集中優(yōu)化，因而能處理一些Pareto 前沿的兩端比較難以?xún)?yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題．

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