數(shù)學欣賞：數(shù)學教學的新視角

數(shù)學欣賞：數(shù)學教學的新視角

☉江蘇省南京市寧海中學分校卜以樓

一、寫在前面的話

日前，筆者應邀赴烏魯木齊與新疆生產(chǎn)建設兵團第二中學初二學生合作了一節(jié)“‘形內(nèi)外’與‘正負性’”的數(shù)學欣賞課.這節(jié)數(shù)學欣賞課說的是在圖形的位置關系變化引發(fā)數(shù)量關系變化下的一些更具有欣賞性的數(shù)學本質(zhì)的探究與欣賞的相關問題.由于在數(shù)學欣賞這個教學園地里，與初中課堂教學相配套的教學資源目前不是太多，那么本文所涉獵的也只能是筆者開發(fā)“形內(nèi)外”與“正負性”這一教學資源過程中的一些想法與做法，以引發(fā)同仁更多的實踐與思考，并寄期望有更多數(shù)學欣賞教學成果的涌現(xiàn).

二、“學習資源”的呈現(xiàn)

筆者為“形內(nèi)外”與“正負性”這一數(shù)學欣賞課開發(fā)了下列學習、欣賞資源.

素材1：已知點A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC.

素材2：已知∠ABC=α，∠ABD=β（α＞β），求∠CBD.

素材3：已知直線AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，P點為平面內(nèi)一點（不在直線AB、CD上），連接PE、PF.（1）如圖1，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數(shù)量關系；（2）如圖2，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數(shù)量的關系.

圖1

圖2

素材4：如圖，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直線AB經(jīng)過點C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分別為A、B.

（1）當AB繞點C旋轉到圖3位置時，判斷線段AB與 AD、BE的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）當AB繞點C旋轉到圖4位置時，判斷線段AB與AD、BE的數(shù)量關系，并說明理由.

圖4

圖3

素材5：如圖，在△ABC中，

（1）如圖5，若∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，請你探究∠BOC與∠A之間的數(shù)量關系；

（2）如圖6，若∠ABC、∠ACB的外角平分線相交于點O′，請你探究∠B O′C與∠A之間的數(shù)量關系.

圖5

圖6

素材6：如圖，把△ABC的紙片沿DE折疊.

（1）如圖7，若點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A′的位置，請?zhí)骄俊螦′、∠1、∠2間的數(shù)量關系；

（2）如圖8，若A點落在四邊形BCDE外部點A′的位置，請?zhí)骄俊螦′、∠1、∠2間的數(shù)量關系.

圖7

圖8

素材7：已知△ABC中，AB=AC.

（1）如圖9，若點D為BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，CM⊥AB于M，求證：CM=DE+DF；

（2）如圖10，若點D為BC的延長線上任意一點，其他條件不變，探究CM、DE、DF之間的數(shù)量關系.

圖9

圖10

素材8：△ABC中，CD是∠ACB的平分線，CE是AB邊上的高，試探究∠DCE與∠A、∠B之間的關系.

三、教學過程的設計

1.切入話題

筆者以“同學們，我來自江蘇南京，今天非常高興與同學們一起探究并欣賞一類數(shù)學問題，讓同學們從另外一個視角來學習數(shù)學、欣賞數(shù)學.首先，我們來欣賞幾張精美的圖片（播放圖片）.這些神奇、復雜、精美的圖案中包含的是簡單的數(shù)學原理（板書“神奇——簡單道理”），我們經(jīng)過精心探究的數(shù)學結論又何嘗不是這樣呢”切入話題.

2.揭示課題

出示素材2，待學生完成探究后，讓學生展示探究成果.

圖11

圖12

當射線BD在∠ABC的外部，即“圖形外部”時（板書：形外），∠CBD=α+β；

當射線BD在∠ABC的內(nèi)部，即“圖形內(nèi)部”時（板書：形內(nèi)），∠CBD=α-β.

上述活動教師可板書為：

教師完成上述板書后，要求學生思考下列問題：從上述板書內(nèi)容橫向看，圖形的位置關系往往決定數(shù)量關系；從板書內(nèi)容縱向看，圖形的主要特征又往往表現(xiàn)在“形內(nèi)外”上（此時板書：形內(nèi)外），數(shù)量的主要特征又往往表現(xiàn)在“正負性”上（此時板書：正負性），這就是本節(jié)課我要與同學們學習并欣賞的內(nèi)容（此時在“形內(nèi)外”“正負性”之間寫上一個字“與”），從而揭示課題.

3.探究欣賞

（1）問題欣賞.

我們來觀賞圖11、圖12的“形結構”，再來觀察其對應的數(shù)量關系的“式結構”，從視角美觀上看，你有什么感覺？

生：舒服，好看，美觀?。◣煱鍟好烙^）

現(xiàn)在就這個問題，老師將適當增加難度，強化一些條件，將問題深化為“在其他條件不變的情況下，若∠ABC的平分線為BE，∠ABD的平分線為BF，求∠EBF.”你能圓滿解決這個問題嗎？

深化這個問題的目的是再次讓學生感受：當射線BD在∠ABC的外部時（如圖13），∠EBF=α+β）；當射BD在∠ABC的內(nèi)部時（如圖14），∠EBF=?α-β），再次感受“形內(nèi)外”與“正負性”的美觀，并指出這種美觀是我們欣賞數(shù)學的第一種境界之美！.

圖13

圖14

（2）聯(lián)想欣賞.

現(xiàn)在請同學發(fā)揮一下想象力，在學習過的線段當中，有這樣類似的問題嗎？

設計這個活動的意圖是：讓學生通過模型的識別、知識的回憶、經(jīng)驗的聯(lián)想，勾勒出“已知點A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC”這樣一個與“問題欣賞”（素材2）形異實同的問題來，喚醒學生審美的意識，體驗聯(lián)想的學習力量.

在研究完這個問題后，教師可提出：“能否將線段這個問題像‘素材2’那樣進一步深化呢？”追問這個問題的目的，還是讓學生來類比、聯(lián)想.既然對于角可以在其平分線上做文章，那么對于線段就可以在其中點上做立意.因此，就可以將線段這個問題深化為：“在其他條件不變的情況下，若點E是AB的中點，點F是BC的中點，求EF的長度”這個與角“心相印”“情相通”的問題了.即當點C在線段AB的延長線上時（如圖15），EF=（a+b）；當點C在線段AB上時（如圖16），EF=（a-b）.這樣的活動，豈不美哉！

圖15

圖16

上述活動中，還要引導學生反思“素材1”與“素材2”的關聯(lián)性、數(shù)學本質(zhì)的深刻性、解決問題的一致性，體驗探究方法的“異曲同工”之美（師板書：異曲同工）.

（3）探究欣賞.

活動1：上述對角、線段的探究都體現(xiàn)了“形內(nèi)外”與“正負性”的異曲同工之美，它是事件的偶然巧合，還是數(shù)學的本質(zhì)暴露呢？我們有必要對這類問題進行進一步的探究.請看題（出示“素材3”的第一問，要求學生作答）.

素材3的第一問，絕大多數(shù)學生已做過，所以很快得到“∠P=∠BEP+∠DFP”這一結論.

接著，出示素材3的第二問，注意不要急著讓學生解答.

首先提出：面對這樣一個問題，有什么想法？讓學生感受到這樣一個問題好像就是基于上述探究的“形內(nèi)外”與“正負性”的另一個具體的問題.從幾何直觀和活動經(jīng)驗的角度看，在圖1中，點P在兩平行線的內(nèi)側（板書：內(nèi)側），既然有∠P=∠BEP+∠DFP，那么在圖2中，點P在兩平行線的外側（板書：外側），那么應當有∠P=∠BEP-∠DFP.

其次，引導學生對這個問題進行微觀探究.現(xiàn)在對問題（2）心中已有了一個美好的期盼（板書：美好），這個美好的期盼能否如愿（板書：在“美好”旁邊加上一個“？”），就得進行證明.這樣就將欣賞活動轉換到理性證明中，讓學生在有思維的場景中去探究、去發(fā)現(xiàn)、去欣賞.當學生探究得到的結果與上述的美好期盼一致時，教師要引導學生擦去板書中的“？”.

第三，引導學生進行理性提升.從本題的探究過程看，就是一個探究性問題的一般性探究方法的再現(xiàn)；從探究的結果看，它又是素材1、素材2、素材3探究問題的延續(xù)，它體現(xiàn)的是“形內(nèi)外”與“正負性”的“殊途同歸”之美（板書：在“美好”之前板書：“殊途同歸”）！并指出：這種美好是我們欣賞數(shù)學的第二種境界之美！

活動2：上述的探究活動總是在美好的愿景中前行的，數(shù)學中還有這樣美好的學習素材嗎？老師再向大家呈現(xiàn)一個探究問題（出示探究“素材4”）.

這是一個由于直線的位置變化而引發(fā)圖形變化的探究問題，面對這個問題，你打算怎么做？

提出這樣的問題，還是讓學生重溫“活動1”的經(jīng)驗，沿著“觀察—類比—猜想—探究—結論”這種研究問題的一般性思路進行“素材4”的探究活動.當素材4探究結束時，要引導學生小結：這種方法很管用、很美妙（板書：美妙），這種美妙是我們欣賞數(shù)學的第三種境界之美！在引導學生欣賞形成的數(shù)學結論時，要讓學生再次感覺到“形內(nèi)外”與“正負性”“一脈相承”的意境之美（在“美妙”之前板書：一脈相承）！

需要注意的是：對于素材4，還要引導學生從另外一個層次進行欣賞.

建立“一帶一路”爭端解決機制和機構是中國在“一帶一路”倡議落地時期的重要舉措。長期以來，國際商事爭端解決較多依賴于調(diào)解和仲裁機制，隨著“一帶一路”倡議的全面落地，如何實現(xiàn)訴訟、調(diào)解、仲裁的有效銜接，這已成為“一帶一路”糾紛解決機制的重要課題。2018年6月29日，中國最高人民法院分別在深圳和西安設立了第一、第二國際商事法庭，7月1日頒布施行了《關于設立國際商事法庭若干問題的規(guī)定》，為形成“一站式”國際商事糾紛解決機制邁出了堅實的一步。國際商事法庭是中國全新的嘗試，是否有必要設置國際商事法庭？國際商事法庭如何與國內(nèi)商事審判制度協(xié)調(diào)？如何設計國際商事法庭？本文將就上述問題展開探討。

活動3：由于直線AB旋轉到△CDE內(nèi)部時，按題中條件所形成的線段AD、BE的大小是隨著直線AB的位置變化而變化的，因此素材4的價值還在于當AB旋轉到△CDE內(nèi)部時，直線AB所處位置不同而引發(fā)線段AB、AD、BE的位置也在發(fā)生變化，從而AB、AD、BE的數(shù)量關系必然也會發(fā)生變化.為此，在有條件的情況下，就這一探究素材還可引導學生進行如下探究.

一是探究AD、BE長度的分化點，從而確定AB、AD、BE之間的數(shù)量關系.這個環(huán)節(jié)的實施可以作如下兩種預設方案.一種是當學生基礎比較好時，學生已探究出其分界點是過點C作DE的垂線CM（垂足為點M），得到“當直線AB在△CEM內(nèi)部時，由于線段AD＞BE，所以AB= AD-BE；當直線AB在△CEM外部時，由于線段AD＜BE，所以AB=BE-AD”這一漂亮結論時，可發(fā)揮一下幾何畫板的價值，通過幾何畫板演示上述結論的形成過程，讓學生的抽象思維與幾何畫板的形象思維一致起來，增強學生學習的自信.如果學生基礎不是太好，探究分界點有困難時，可將上述過程調(diào)換一下，即先用幾何畫板演示，再讓學生畫圖探究.不管是哪一種方案，都能得到這一漂亮的結論.這一結論的本質(zhì)是“二級分類”導致數(shù)量關系的變化.第一級分類看直線AB與△CDE的位置關系，即看直線AB在△CDE的形內(nèi)還是形外，第二級分類是看直線AB與△CEM的位置關系，即看直線AB在△CEM的形內(nèi)還是形外（如圖17、18）.而這些也正是“形內(nèi)外”與“正負性”一脈相承之美的再現(xiàn).

圖17

圖18

二是以此反觀素材1、素材2，讓其在二級分類中欣賞“形內(nèi)外”與“正負性”.即可以對素材1中的條件進行弱化，去掉a＞b這個條件，將素材2中的條件進行弱化，去掉α＞β，這樣就可以在二級分類這個大的開放環(huán)境中來欣賞“形內(nèi)外”與“正負性”的美妙！

（4）自由欣賞.

在問題欣賞、聯(lián)想欣賞、探究欣賞這三個環(huán)節(jié)中，學生欣賞到了“形內(nèi)外”與“正負性”的“異曲同工”中的“美觀”、“殊途同歸”中的“美好”、“一脈相承”中的“美妙”，學生已對“形內(nèi)外”與“正負性”的欣賞有了一個大致的認識.此時讓學生根據(jù)自身的能力，自主地選擇“素材5、6、7、8”中的一個或幾個，自主地探究、自由地欣賞，將數(shù)學欣賞內(nèi)化為數(shù)學素養(yǎng).

4.小結欣賞

教師在課堂小結中可提出下列問題：本節(jié)課通過問題欣賞、聯(lián)想欣賞、探究欣賞、自主欣賞四個教學環(huán)節(jié)，讓同學們從另一個視角學習數(shù)學、研究數(shù)學，是不是很有趣？那么這節(jié)課你最大的收獲是什么呢？

5.布置作業(yè)

本課的作業(yè)要求，一是請同學把老師提供的八個學習素材中沒有探究完的問題繼續(xù)研究完；二是請同學們收集一下“形內(nèi)外”與“正負性”的其他問題；三是請同學們寫一篇關于“形內(nèi)外”與“正負性”的數(shù)學作文.

要注意的是對這次作業(yè)要做一個跟蹤性的評價，將學生收集到的問題與數(shù)學作文做一個集中展示，以延續(xù)這次欣賞活動.

6.板書設計

這節(jié)課的板書可按教學過程設計中板書的順序進行“雕塑式“板書，以“總（神奇）——分（美觀；美好；美妙）——總（和諧）”的結構形式，來凸顯知識形成的過程、探究推理的過程、欣賞提升的過程.

主板書如下（文本框內(nèi)文字的下標為板書的順序號）：

四、數(shù)學欣賞的思考

數(shù)學欣賞是一門學問，需要專門研究.目前與“數(shù)學欣賞”相關的信息大都是說數(shù)學是美的.但是有些被數(shù)學家以為美的東西，并不是人人都能欣賞的.欣賞這些美需要數(shù)學意境的營造、數(shù)學方法的提煉和數(shù)學本質(zhì)的揭示，筆者將從素材的開發(fā)、欣賞的視角和思維的內(nèi)化等方面談三點教學思考.

1.欣賞素材的開發(fā)是設計數(shù)學欣賞的根本

初中數(shù)學課堂欣賞數(shù)學之美，目前主要還是停留在“低端”層次上，說來說去，就是黃金分割、平面密鋪、蜂房結構等，僅僅訴說直觀之美.其實數(shù)學美的魅力是誘人的，數(shù)學美的力量是巨大的，數(shù)學美的思想是神奇的.如果教師把學生學習數(shù)學的過程開發(fā)成使學生體驗數(shù)學作為人類智慧的結晶所洋溢出的精神美的過程，讓數(shù)學之美與人文意境的溝通并融，這才是數(shù)學的“高端”之美.這種“高大上”的教學素材，課本中沒有現(xiàn)成的設計，教輔中也鮮有涉獵，公開教學中也不為多見.為此，開發(fā)出具有數(shù)學學科獨特之美而又符合學生現(xiàn)有的審美心智的學習素材是當前數(shù)學欣賞的根本之所在，這需要教師對數(shù)學的獨到理解，也需要教師教學智慧的迸發(fā)，更需要教師教學經(jīng)驗的積淀.

由于數(shù)學學科獨特的結構性，某一知識的單薄性就決定了不可能就某一個知識點開發(fā)出豐富的數(shù)學欣賞的素材來，所以數(shù)學之美，一般只可能在學生學習新知識的過程中逐步滲透.而關于以數(shù)學欣賞為主題的數(shù)學欣賞課的教學素材，要基于學生已學習過的知識、已研究過的方法和已具備的活動經(jīng)驗進行專題開發(fā).正如斯坦尼斯勞·貞尼茲克說：這很難說得清楚，需要非常深的理解之后，數(shù)學之美的感覺才會出來.本課例就是基于數(shù)學內(nèi)在的和諧之美，來建構數(shù)量關系與位置關系的協(xié)調(diào)之美.這里強調(diào)是學生已學習過的素材，主要是把平時零散的學習內(nèi)容、平淡的認知關聯(lián)相對集中起來，放大某一數(shù)學本質(zhì)，以凸顯數(shù)學的某種價值，有意識地讓學生感受數(shù)學之美，欣賞數(shù)學之價值，激發(fā)學生的學習興趣.

我們還可以將數(shù)學推理的嚴密、數(shù)學定義的精準、數(shù)學結構的協(xié)調(diào)等加以整合和開發(fā)，以揭示數(shù)學中的嚴謹美、內(nèi)在美.例如，通過畫圖可知三角形的三條中線相交于一點，這個結論可以給我們一個很美觀的感覺；通過幾何證明三角形的三條中線相交于一點，又可以讓我們感受到數(shù)學永遠是一門“滴水不漏”神奇的自然學科.由此說開去，不僅三角形的三條中線相交于一點，三角形的三條高線、三條角平分線也都相交于一點，這又豈不是給我們一種數(shù)學很美妙的感覺嗎？如果從欣賞的角度去學習數(shù)學、研究數(shù)學、理解數(shù)學，豈不是件快樂的事情嗎？從這點上說，數(shù)學就是一門很美的學科，它既有優(yōu)美的內(nèi)容建構，又有美妙的思想流淌.只要我們用一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛，就可以開發(fā)出數(shù)學美的教學資源來，就可以讓學生在數(shù)學王國中盡情地享受數(shù)學帶給他們精神上的滿足、快樂與欣慰.

2.欣賞視角的選擇是開展數(shù)學欣賞的關鍵

把學習過的教學素材按照研究的主題集中在一起讓學生重新欣賞，一定要選擇好欣賞的角度.如果不能準確地將教學素材引入到一個新的視角，不但起不到引領學生欣賞的效果，而且還可能將教學引入到“炒冷飯”的境地.就本課的“學材”而言，如果把它上成解題課，讓學生把做過的題再重新做一遍，解題的方法再機械地過一遍，又會產(chǎn)生什么效果？如果選擇“形內(nèi)外”與“正負性”相統(tǒng)一的這個視角來看待、來研究所提供的“素材”，不僅能讓學生回憶起解題的方法，而且還能喚醒學生審美的意識，促進生命之成長，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之價值，欣賞數(shù)學之和諧，鑄就數(shù)學之輝煌.

本課例用欣賞文學之美的方法來引領學生欣賞數(shù)學之美，從文學中常常表現(xiàn)出來的和諧性、簡單性和概括性，引領學生將研究文學的視角遷移到數(shù)學之美這個神奇的王國中，讓學生感受到數(shù)學與文學有著某種類比的相似性，特別在審美標準上更有一些共同性.課例開發(fā)出的“學材”，首先用圖片這個引子引出數(shù)學是神奇的，但越是神奇的東西，包含的道理往往越簡單.接著通過題組，用分析文學的手段，將學生的視角引入到“形內(nèi)外”與“正負性”這個數(shù)學本質(zhì)中來，從美觀、美好、美妙三個遞進的審美層次來認識數(shù)學之美，在這三個層次中，從解題方法挖掘出具有詩意的異曲同工、殊途同歸、一脈相承與美觀、美好、美妙三個審美層次相匹配，使欣賞的核心渾然天成.最后視角又回歸到數(shù)學的和諧性中來，揭示“形內(nèi)外”與“正負性”辯證和諧是數(shù)與形相得益彰的和諧之美.上述活動配以雕塑式精美的板書，有力地驗證了英國美學家夏夫茲博里的“凡是既美且真，也就是在結果上是愉快和善的”至理名言.

要注意的是：在數(shù)學欣賞時，所有的欣賞活動要在凸顯數(shù)學本質(zhì)的前提下欣賞數(shù)學，若離開數(shù)學本質(zhì)去欣賞數(shù)學，那只能是“種了別人的地，荒了自家的田”.

3.欣賞思維的內(nèi)化是評價數(shù)學欣賞的標志

“數(shù)學欣賞”這門課帶給學生的美遠不止直觀的形式美，正如人的美不單在外表，更在內(nèi)在的美一樣，數(shù)學深刻的本質(zhì)，在于它內(nèi)在奇妙結構的完美的和諧統(tǒng)一性.讓學生在這樣一個層次上去欣賞數(shù)學之美，需要學生思維內(nèi)化來作支撐.

數(shù)學美感通過學生在一定審美經(jīng)驗上的感知體現(xiàn)出來，又反作用于學生，并受學生個性品質(zhì)的影響而又各不相同.在數(shù)學教學過程中，教師如果經(jīng)常有意識地引導積極思維、內(nèi)化思維、欣賞數(shù)學美，就一定會在攀登數(shù)學高峰的過程中領略到無限的旖旎風光.例如，在學習列方程解應用題的過程中，教師將現(xiàn)實生活中的實例抽象為方程這樣的數(shù)學知識，以后又將之用于解決其他問題.在不斷總結、優(yōu)化的過程中，學生看到數(shù)學規(guī)律忽而萬法歸宗，忽而又舉一反百，撲朔迷離，奧妙無窮，才能達到學習數(shù)學、欣賞數(shù)學的目的.

五、寫在后面的話

筆者在與新疆兵團二中初二學生共同探究“素材2”時，發(fā)現(xiàn)預設的教學內(nèi)容、教學活動與學生的學習基礎、知識結構與活動經(jīng)驗的把握有一定的偏差，于是及時調(diào)整了教學要求與難度，放棄了對學習“素材1”“素材2”的“深化探究”，以使得整個活動不影響對“形內(nèi)外”與“正負性”和諧的整體欣賞，這樣既保證了課堂的整體性，又不失揭示問題的本質(zhì)性，保證了探究活動的觀賞性.

1.張奠宙，竺仕芬.數(shù)學基本活動經(jīng)驗與數(shù)學欣賞［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2012（6）.

2.卜以樓.形內(nèi)外與正負性［J］.中學生數(shù)學（初中），2010（10）.

3.卜以樓.讓數(shù)學教育的文化價值在教學中鮮活地流淌［J］.中學數(shù)學雜志（初中），2011（6）.Z