追尋本質(zhì)解法變式演繹精彩
——一道競賽題的解法及變式探究

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——一道競賽題的解法及變式探究

☉寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校張寧

圖1

一、試題呈現(xiàn)

題目（2011年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）如圖1，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段CF的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，則線段MN的長為（）.

二、分析與解法

本題以學(xué)生熟悉的正方形為基本圖形，主要考查梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識，是一道綜合性較強(qiáng)的試題.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移動，它的位置不確定，這也增加了試題的難度.筆者通過查閱資料及網(wǎng)上搜索發(fā)現(xiàn)，對這一試題的解法均采用了特殊化策略，即將正方形EFGH的位置特殊化，給出了如下解法1.

解法1：如圖2，將正方形EFGH的位置特殊化，使點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP⊥AD，垂足為P.

圖2

圖3

點(diǎn)評：對正方形EFGH的位置特殊化的策略不只這一種，讀者可自行嘗試.這種解法雖然過程簡單，但不能體現(xiàn)最基本最核心的解題方法，也無法認(rèn)識本題的本質(zhì)特征.

筆者嘗試另辟蹊徑，用解析法求解，得到如下解答.

解法2：如圖3，以AD所在直線為x軸，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)OA=a，OE=b，則OD=a+3，OF=1+b.

所以H（1，b），D（a+3，0），

F（0，1+b），C（a+3，3）.

點(diǎn)評：若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為；線段AB的長度為這是高中解析幾何中的兩個重要公式，對初中生來說并不熟悉，因此這種解法對初中生而言并不可取.經(jīng)筆者探究，最終得到如下解法.解法3：如圖4，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接PN.

因為點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，所以MP是△CFG的中位

圖4

點(diǎn)評：點(diǎn)M為線段CF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段DH的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想到梯形與三角形的中位線，因此需要構(gòu)造梯形或三角形，通過連接CG，可構(gòu)造出△CFG、梯形HDCG.為架起點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的橋梁，取線段CG的中點(diǎn)P，連接PM、PN，從而實現(xiàn)了三角形或梯形中位線性質(zhì)的應(yīng)用條件，這也是解決本題的關(guān)鍵所在.本題的解法體現(xiàn)最基本最核心的解題方法，也充分體現(xiàn)了試題的本質(zhì)特征.

三、變式探究

本題中除兩個正方形之外，試題中的兩條線段是通過連接點(diǎn)C與點(diǎn)F、點(diǎn)D與點(diǎn)H而來的.受解法3的啟發(fā)，經(jīng)筆者探究發(fā)現(xiàn)，通過改變試題中這兩條線段的構(gòu)造方式，但不改變M、N是所構(gòu)造線段中點(diǎn)的事實，可得到諸多優(yōu)美試題.

變式1如圖5，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段CG的中點(diǎn)為M，DF的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖5，連接DG，取DG的中點(diǎn)P，連接PN、PM.

因為點(diǎn)M是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DG的中點(diǎn)，所以MP是△GCD的中位線，所以M

因為點(diǎn)P是DG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是FD的中點(diǎn)，所以PN是△DFG的中位線，所以P

圖5

因為FG⊥GH，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

圖6

考查知識：本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn).

變式2如圖6，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BG的中點(diǎn)為M，DG的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖6，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接PN、PM.

因為點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，所以MP是△GBC的中位線，所以MP=

因為點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DG的中點(diǎn)，所以PN是△GCD的中位線，所以

因為BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

圖7

考查知識：本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn).

變式3如圖7，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BF的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖7，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接PN、PM.

因為點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，所以MP是梯形FGCB的中位線，所以

因為點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DH的中點(diǎn)，所以PN是梯形GHDC的中位線，所以

因為BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

圖8

考查知識：本題主要考查梯形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn).

變式4如圖8，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BG的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖8，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接PN、PM.

因為點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，所以MP是△GBC的中位線，所以

因為點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DH的中點(diǎn)，所以PN是梯形GHDC的中位線，所以PN2，NP∥CD.

因為BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.由勾股定理可知

圖9

考查知識：本題主要考查梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn).

變式5如圖9，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BF的中點(diǎn)為M，DG的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖9，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接PN、PM.

因為點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，所以MP是梯形FGCB的中位線，所以

因為點(diǎn)P是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DG的中點(diǎn)，所以PN是△GDC的中位線，所以

因為BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

考查知識：本題主要考查梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn).

變式6如圖10，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BG的中點(diǎn)為M，DF的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖10，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接DG，取DG的中點(diǎn)Q，連接PQ、QN、PM，過點(diǎn)N作NR⊥MP，垂足為R.

圖10

因為FG⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因為BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

圖11

考查知識：本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn).

變式7如圖11，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BG的中點(diǎn)為M，CE的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖11，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接CH，取CH的中點(diǎn)Q，連接PQ、QN、PM，過點(diǎn)N作NR⊥MP，垂足為R.

因為EH⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因為BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

圖12

考查知識：本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn).

變式8如圖12，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段BG的中點(diǎn)為M，DE的中點(diǎn)為N，求線段MN的長.

解析：如圖12，連接CG，取CG的中點(diǎn)P，連接DH，取DH的中點(diǎn)Q，連接PQ、QN、PM，過點(diǎn)N作NR⊥MP，垂足為R.

因為PQ是梯形GHDC的中位線，所以

因為EH⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因為BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

考查知識：本題主要考查梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn).

由以上探究過程可以看出，對一些內(nèi)涵豐富的試題通過變式可得到一系列優(yōu)美試題，這也是快速命制各類試題的一種常用方法.通過變式探究得到的試題，可根據(jù)命題意圖及考試需要，合理地加以利用.解決這些試題的關(guān)鍵是架起兩條線段中點(diǎn)聯(lián)系的橋梁，這也是這類問題的難點(diǎn)所在.即要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出三角形或梯形的中位線，然后利用中位線的性質(zhì)求解.H