基于新版教材下，一道月考試題的命制過程及感悟

基于新版教材下，一道月考試題的命制過程及感悟

☉南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初中何君青

2011年中華人民共和國教育部制定《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》，針對此次課程標(biāo)準的實施，蘇科版教材內(nèi)容進行了相應(yīng)的更改和調(diào)整.圓和相似作為“圖形與幾何”兩大重要部分，編排的順序進行了調(diào)整，舊版教材中“圓”為九年級上學(xué)期第五章內(nèi)容，在此之前的初二下學(xué)期學(xué)生學(xué)習(xí)了圖形的相似等相關(guān)知識，而新版教材“圓”調(diào)整為九年級上學(xué)期第二章內(nèi)容，圖形的相似則調(diào)整到九年級下學(xué)期學(xué)習(xí).面對編排順序的大幅度調(diào)整，給九年級上學(xué)期考試的命題工作產(chǎn)生了很大的困難，在此之前，很多有關(guān)圓的考題在求線段長的時候經(jīng)常用到相似的求解方法，這樣的調(diào)整使得許多經(jīng)典考題不能再考，在此種背景下，筆者命制了一份學(xué)校的九年級上學(xué)期月考試卷，其中一道考題打破常規(guī)，題目得到了眾多老師的稱贊，故撰文與同行分享.

一、原題呈現(xiàn)

圖1

圖2

題目如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，AB=10，AC=6，AM平分∠BAC，且與⊙O相交于點M，過點M作直線DE，使DE∥BC.

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求AM的長.

解析：（1）直線DE與⊙O相切，利用切線的判定定理可以證明.

（2）如圖2，連接MB、MC，過點M分別作MH⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為點H、F，則∠MHA=∠MHB=∠MFA=90°.

在⊙O中，因為AM平分∠BAC，所以MB=MC.

因為AM平分∠BAC，MH⊥AB，MF⊥AC，所以MH= MF.

所以Rt△AMH≌Rt△AMF，所以AH=AF.

在Rt△HMB和Rt△FMC中，MH=MF，MB=MC，所以Rt△HMB≌Rt△FMC，所以BH=CF.

因為AB=10，AC=6，且AB-BH=AC+CF，所以10-BH= 6+CF，即BH=CF=2，所以AH=AF=8.

因為AM平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠HAM=30°.

評注：本題考查了圓及其有關(guān)概念、直線與圓的位置關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，同時本題注重思想方法的考查，包含了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想，統(tǒng)籌兼顧、相互配合，合理覆蓋相關(guān)知識、技能和思想方法.此題的考法是常見的中考題考法，中考中第一問常判斷直線與圓的位置關(guān)系，第二問常求圓中某條線段的長度，以此題為載體，能較好地區(qū)分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，更好地讓學(xué)生逐漸適應(yīng)中考.

二、命題過程

1.初步設(shè)想

月考是學(xué)校組織的階段性檢測，命題必須以當(dāng)?shù)刂锌技啊缎抡n標(biāo)》的要求作為標(biāo)準，其功能是評價學(xué)生一個階段中對知識的掌握情況，同時這類考試還對教師的后繼教學(xué)起到指導(dǎo)性作用，所以這類考試無論教師還是學(xué)生都要高度重視.

筆者在命題前首先查閱了《新課標(biāo)》，上面明確規(guī)定：理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián).

接著筆者翻閱近幾年南京中考試題，發(fā)現(xiàn)在近3年中考試題中均出現(xiàn)有關(guān)圓的解答題，試題不僅考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，也考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及綜合運用知識的能力，試題的呈現(xiàn)方式經(jīng)常涉及三角形、平行四邊形等幾何圖形，在求線段的長度時，考題主要運用垂徑定理、勾股定理及相似的相關(guān)性質(zhì).

基于《新課標(biāo)》的要求，考慮到南京近幾年中考試題考查的方式，同時鑒于我校分層教學(xué)的情況，筆者決定命制一道難度系數(shù)為0.45，考查知識覆蓋面廣的試題，題目預(yù)設(shè)為兩問，第一問考查直線與圓的位置關(guān)系，第二問結(jié)合三角形，求圓中某條線段的長度.

2.初稿形成

試題的改編、創(chuàng)作離不開“題源”，而課本卻是最好的“題源”地.本著“根在書內(nèi)，題在書外”這一理念，筆者翻閱新版教材，試圖找到突破點，可在“圓”一章中無論是例題還是練習(xí)題都未尋找到合適的題目，于是筆者決定把尋找范圍擴大，在新版八年級“全等三角形”一章發(fā)現(xiàn)有如下這樣一道習(xí)題：

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，MB＝MC，AB＝10，AC＝6，求AM的長.

初看此題，條件很多，感覺應(yīng)當(dāng)不難，可是仔細思考后發(fā)現(xiàn)并不能快速判斷出用何種方法解決此題，于是筆者斟酌再三，決定以此題為背景，加以改編，讓題目“穿個馬甲”，煥然一新.

筆者曾多次命制期中、期末統(tǒng)考試卷，清楚地認識到在幾何題目改編的過程中，常會給幾何圖形賦予“新的生命”，把幾何圖形放在平面直角坐標(biāo)系或圓中，這樣會使題目的結(jié)論更加豐富，題目更具難度，而且賦予“新生命“后，圖形原先所具有的結(jié)論仍然存在，筆者命制的試題雛形很快產(chǎn)生了.

在命題初稿時，值得肯定的是本題取材合理：立足基礎(chǔ)知識、基本技能，源于課本，高于課本；角度新穎：著眼于幾何證明和圓中的相關(guān)結(jié)論；題型豐富：既有說理又有求值.

3.修訂定稿

學(xué)生對于圓的相關(guān)題目一直有較強的畏懼感，經(jīng)常看到圓的題目就無從下手，本著尊重學(xué)生的原則，筆者將題目的題干、圖形盡可能地反復(fù)修改，使其盡可能的簡潔，以減輕學(xué)生的恐懼感.

《新課標(biāo)》明確提出應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、運算能力、推理能力，以往中考試題往往都是比較單一的試題，考查學(xué)生對知識的掌握情況，而近3年南京中考試題更多地考查學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓不同層次的學(xué)生都有展示的空間，凸顯出學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.筆者在修訂的過程中，曾試圖在第一問鋪設(shè)臺階，讓題目變簡單，但為了利用此題拉開學(xué)生差距，體現(xiàn)更高的區(qū)分度，筆者最終沒有鋪設(shè)臺階降低難度.從試題的發(fā)展過程看，第一問考查本學(xué)期圓中的相關(guān)結(jié)論，第二問卻結(jié)合曾經(jīng)學(xué)習(xí)的三角形方面的相關(guān)結(jié)論進行考查.

4.總結(jié)反思

此題的命題角度獨特，用全等三角形的背景構(gòu)建出新題，從八年級的知識考查到九年級的知識，貫穿初中3年，很具典型性，但筆者認為此題還能加以發(fā)展，若將該題再發(fā)展到平面直角坐標(biāo)系領(lǐng)域，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決更多的初中數(shù)學(xué)問題就更完美了，介于時間有限，未曾拓展，確實可惜.

若作為中考前的復(fù)習(xí)題，此題還可以進一步推廣：以BC所在直線作為x軸，BC的垂直平分線作為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，將原圖形放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，再將線段的長度換為點的坐標(biāo).

圖3

三、命題感悟

1.試題評價標(biāo)準

衡量數(shù)學(xué)試題質(zhì)量的高低，要看在符合考試性質(zhì)的前提下，其試題立意的高低、基本價值立場、價值態(tài)度，以及所表現(xiàn)出來的基本價值傾向和對教學(xué)的引導(dǎo)與促進作用，即試題的價值取向.一道高質(zhì)量的試題，反映了命題者對課程改革精神的深度領(lǐng)悟、對數(shù)學(xué)本質(zhì)的準確把握和對教學(xué)的高期待.對于教師的命題首先應(yīng)以《新課標(biāo)》為理念，再查閱多年中考試題，最后找到合適的“題源”，加以模仿，爭取創(chuàng)新，這樣才能命制出經(jīng)典好題.區(qū)分度和難度是命制試題時特別要控制好的標(biāo)準，一份試卷必然要有較好的區(qū)分度，鑒別優(yōu)劣，同時難度要控制在一定的范圍內(nèi)，建議月考試卷根據(jù)學(xué)校學(xué)生的情況，難度控制在0.7左右.

2.命題指引教學(xué)

在當(dāng)今教學(xué)實踐中，仍然存在一定的問題：其一，過程性認識偏淺——事實性現(xiàn)象和事實性知識之間缺少思想方法，缺少邏輯推理的聯(lián)系、體驗，探究活動存在著時間、空間引導(dǎo)與安排上的問題，雖然課堂在探索，但僅局限于淺層次的探索，并未獲得該有的深層次的結(jié)論，認識較淺；其二，課堂基于“題”的教學(xué)——缺少結(jié)構(gòu)性遷移，教師在課堂教學(xué)中對題目的開放性不夠，常常就題論題，導(dǎo)致題目淺嘗輒止，只關(guān)注答案的生成，并未關(guān)注學(xué)生對一類題的解決方法的指導(dǎo)，或者互動、自主設(shè)計、學(xué)習(xí)探究指導(dǎo)不足，故而解題教學(xué)過度，學(xué)生缺乏基本的經(jīng)驗，并未形成常規(guī)的思路，對于題目達不到舉一反三，靈活解答.這些教學(xué)中的負面價值取向嚴重遏制了學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展，所以通過考試試題的命制應(yīng)當(dāng)讓教師清醒地認識到這點，故在教學(xué)時教師應(yīng)讓學(xué)生通過自己的思考，理解知識之間的相互聯(lián)系，建立知識網(wǎng)絡(luò)，重視對數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)方法的感悟.H