在潛移默化中養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識

在潛移默化中養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識

☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 曾澤群

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力.創(chuàng)新型人才必須具有發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.基于此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將“提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”寫入課程目標(biāo)里，與“提高分析和解決問題的能力”并駕齊驅(qū)，處于同等地位.因此，我們的教學(xué)就不能只停留在分析與解決問題的層面上，而應(yīng)該著力創(chuàng)設(shè)能引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的背景，使他們在觀察與思考的基礎(chǔ)上，在嘗試中實(shí)現(xiàn)飛躍.下面筆者從引出探索新知問題的背景切入，談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)情景，如何在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.具體的思考與做法如下.

一、創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的生活背景，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)散式提出問題

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活.生活中處處有數(shù)學(xué)，已是不爭的事實(shí).為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察生活中的對象、去思考對象的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)并提出、分析和解決與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，在教學(xué)中，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，挖掘與之相符且學(xué)生熟悉的生活素材，創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的生活背景，以便學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題.

案例1：矩形的概念.

生活中不乏矩形的實(shí)例，鑒于矩形是平行四邊形的特例，在“矩形的概念”教學(xué)問題的提出中，筆者選擇了校園的伸縮門，以它為背景，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題.具體如下：

反思性材料：學(xué)習(xí)平行四邊形以后，當(dāng)你們背著書包進(jìn)出校門時(shí)，對于校門口的伸縮門（如圖1）是熟視無睹？還是浮想聯(lián)翩？今天，我們的學(xué)習(xí)就從校門口的伸縮門及它的基本圖形（圖2）開始.想一想，從它們的伸縮過程中，你能提出哪些與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題呢？

圖1

圖2

伸縮門，學(xué)生既熟悉又陌生的生活背景，熟悉是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，陌生是由于學(xué)生從未將它與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，從伸縮門及其基本圖形的伸縮過程中，思考與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題.當(dāng)學(xué)生面對這一反思性材料時(shí)，他們需要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去觀察事物，并進(jìn)行發(fā)散式思考，進(jìn)而才有可能提出實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)問題.互動(dòng)中，既要讓學(xué)生發(fā)表他們的所思所想，也要有教師用思維引領(lǐng)學(xué)生參與問題討論，以便提出與本課教學(xué)內(nèi)容——矩形的概念接軌的問題.

問題1：構(gòu)成伸縮門的基本圖形（圖2）的形狀是什么？伸縮門之所以能伸縮，它應(yīng)用了哪種圖形的什么性質(zhì)（或伸縮門的原理）？

問題2：拉動(dòng)伸縮門的過程中（即推動(dòng)圖2中的點(diǎn)D），它的基本圖形（圖2）中哪些數(shù)學(xué)元素發(fā)生了變化，哪些不發(fā)生變化？

問題3：（教師進(jìn)而提出條件、結(jié)論開放的問題）拉動(dòng)伸縮門的過程中（即推動(dòng)圖2中的點(diǎn)D），基本圖形（圖2）也在變化，在這一變化的過程中，是否有我們曾經(jīng)熟悉的、更為特殊的圖形出現(xiàn)？若有，畫出它的草圖并寫出它出現(xiàn)的條件.讓學(xué)生作進(jìn)一步的思考，以便經(jīng)歷矩形概念的形成過程.

由于引領(lǐng)“學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題”的背景來自生活，學(xué)生對它的感悟與認(rèn)識因人而異，可謂仁者見仁，智者見智，以致學(xué)生所提的問題內(nèi)容具有發(fā)散性，因此，互動(dòng)中，教師的思維引領(lǐng)與問題參與是非常必要的.唯有如此，學(xué)生的思維才能由發(fā)散到聚焦，才能對如何提出有研究價(jià)值的問題有所感悟.這種學(xué)生的嘗試與教師的引領(lǐng)示范有機(jī)結(jié)合的問題提出模式，對養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識起著關(guān)鍵的作用.

二、創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的操作實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提出問題

試驗(yàn)可以獲得結(jié)論，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，往往又能提出有價(jià)值的問題.由于許多幾何結(jié)論都是通過“操作確認(rèn)并輔以數(shù)學(xué)說理”來獲得的，因此，在幾何教學(xué)中，教師可針對具體內(nèi)容，結(jié)合學(xué)情與教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)一些操作活動(dòng)，由學(xué)生親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的現(xiàn)象，從中獲得一些較為淺顯的結(jié)論，進(jìn)而嘗試著提出實(shí)質(zhì)性問題.

案例2：三角形三邊關(guān)系.

根據(jù)三角形的定義，對于任意的三條線段，只要?jiǎng)邮植僮?，擺一擺，就能判定它們能否構(gòu)成三角形，進(jìn)而就能引出探究三角形三邊關(guān)系的問題.對此，在“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)問題的提出中，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)手實(shí)踐與反思的活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生提出問題.具體如下：

（1）操作活動(dòng)：請同學(xué)們從預(yù)先準(zhǔn)備的八根小棒（其中三根小棒長度均為4 cm，另五根小棒長度分別為2 cm，3 cm，5 cm，6 cm，7 cm）中任意取出三根擺三角形（至少五次以上），并記錄每次所取三根小棒的長度及實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果.

（2）活動(dòng)反思：根據(jù)實(shí)驗(yàn)操作所獲取的數(shù)據(jù)及對應(yīng)的結(jié)果，想一想你能從中得出什么結(jié)論并提出相關(guān)的探索問題.

讓學(xué)生動(dòng)手操作擺三角形，雖是一個(gè)淺顯的活動(dòng)，而后的活動(dòng)反思則具有思維含金量，它不但能活躍學(xué)生的思維，而且能激起學(xué)生的問題意識.學(xué)生通過對操作結(jié)果——兩種對立現(xiàn)象（①不能構(gòu)成三角形，如：2 cm，3 cm，5 cm與2 cm，3 cm，6 cm.②能構(gòu)成三角形，如：4 cm，4 cm，4 cm（等邊三角形）；4 cm，4 cm，7 cm（等腰三角形）；4 cm，3 cm，5 cm（直角三角形）；7 cm，6 cm，5 cm（銳角三角形）；7 cm，6 cm，3 cm（鈍角三角形））的思考，得出結(jié)論：“并不是任意的三條線段都能組成一個(gè)三角形.”進(jìn)而提出新的探索問題：“怎樣判斷三條線段是否能構(gòu)成一個(gè)三角形？”或另一個(gè)等價(jià)的問題：“已知兩條線段，第三條線段怎樣選擇，才能構(gòu)成一個(gè)三角形？”體驗(yàn)了根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，獲取結(jié)論或提出問題的全過程.并確立其問題解決的途徑：“收集實(shí)驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，并加以分析、概括、說理.”

由于引領(lǐng)“學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題”的背景來自學(xué)生實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果的單一性（非此即彼），為學(xué)生自主提出與教學(xué)內(nèi)容接軌的問題創(chuàng)造了有利的條件.鑒于此，由學(xué)生唱主角提出問題，教師在互動(dòng)中幫助學(xué)生完善問題是最佳的選擇，有助于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.這種以學(xué)生為主體的問題產(chǎn)生方式，對養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識起著重要的作用.

三、創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的直觀圖形，引領(lǐng)學(xué)生憑借直覺思維提出問題

由于圖形的直觀可視性能給學(xué)生提供猜想與探索的直覺思維，而數(shù)形結(jié)合又是重要的解決問題的方式，鑒于形的性質(zhì)往往可以利用數(shù)式來體現(xiàn)，數(shù)式的問題也可借助形來解決，在教學(xué)中，教師可選擇一些有“形”的教學(xué)內(nèi)容，通過創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的直觀圖形，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題創(chuàng)造有利的條件.具體如下：

案例3：一次函數(shù)的性質(zhì).

直角坐標(biāo)系為形數(shù)互化創(chuàng)造了有利的條件.由于一次函數(shù)的性質(zhì)包含圖像性質(zhì)與變量間的關(guān)系兩部分.為此，在“一次函數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)問題的提出中，筆者以畫一次函數(shù)的圖像為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)引例，學(xué)生對圖像作進(jìn)一步觀察后，能大膽地提出問題.具體如下：

（1）引例：按符號的不同對一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0）中的k、b分類，再分別寫出其各種類型的具體的一個(gè)一次函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像.（此內(nèi)容可以安排在課前完成）

（2）反思：觀察你所畫的每個(gè)一次函數(shù)圖像的變化趨勢，你發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)現(xiàn)象，能從中提出什么探索問題？從形化數(shù)的角度，你還能提出什么問題？

學(xué)生動(dòng)手畫圖，不是純粹的簡單的技能操作，它滲透了分類思想.學(xué)生必須以分類思想為指導(dǎo)，才能從中準(zhǔn)確地選出每一類的代表，為后續(xù)的探究起到以點(diǎn)帶面的效果.從畫圖到對圖形的反思，它將發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，促使學(xué)生的思維上了一個(gè)臺階.

圖3

由于引領(lǐng)“學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題”的背景來自直觀可視性圖形，憑直覺與本能，學(xué)生可以提出問題，但對問題表述可能不像問題①那樣到位，而“形化數(shù)”的提示雖為學(xué)生再提出問題②提供了思維的方向，但還是離不開教師的有效引導(dǎo).這種根據(jù)學(xué)生的實(shí)際反應(yīng)情況，適當(dāng)給予幫助的助學(xué)方式，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，對養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識起著促進(jìn)的作用.

四、創(chuàng)設(shè)隱含特殊性數(shù)學(xué)問題的題組，引領(lǐng)學(xué)生在比較中提出問題

事物中存在著特殊與一般的關(guān)系，從一般中發(fā)現(xiàn)特殊，進(jìn)而尋求其規(guī)律，使運(yùn)算或求解過程簡便.這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中普遍存在.為了讓學(xué)生能在普遍性中發(fā)現(xiàn)其特殊性，進(jìn)而獲得新知，在教學(xué)中通過選擇一些特定的例子，由學(xué)生在求解后的比較中發(fā)現(xiàn)特殊性，進(jìn)而提出研究的問題.

案例4：平方差公式.

由于平方差公式是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則的特例，因此在“平方差公式”教學(xué)問題的提出中，筆者刻意選擇了一組能承上啟下的整式乘法計(jì)算題，讓學(xué)生在比較運(yùn)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)中發(fā)現(xiàn)和提出問題.具體如下：

（1）計(jì)算：①（a+b）（c+d）；②（x+1）（y+2）；③（x+1）·（x+2）；④（2a-3b）（2a+3b）；⑤（3x+4）（3x-4）；⑥（x+2）·（x-2）.

（2）反思：觀察、比較計(jì)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能從中提出進(jìn)一步探索的問題嗎？

利用“兩數(shù)和乘以兩數(shù)差”與“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”是特殊與一般的關(guān)系，設(shè)計(jì)了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的背景——一組計(jì)算題及其反思.從計(jì)算到反思，促使學(xué)生從技能操作轉(zhuǎn)到思維的層面，學(xué)生通過對計(jì)算結(jié)果的比較，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)有所不同，并有規(guī)律性，從而提出探索問題：“具有什么形式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，其運(yùn)算結(jié)果只有兩項(xiàng).”進(jìn)而轉(zhuǎn)入對題目結(jié)構(gòu)的分析，解決問題，獲得新知.

由于引領(lǐng)“學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題”的背景是學(xué)生熟悉的題目，但是學(xué)生對它們之中是否存在簡便計(jì)算規(guī)律的研究意識薄弱，而這種意識恰恰又是創(chuàng)新的表現(xiàn).因此，采取計(jì)算的方式，通過感悟結(jié)果的簡潔度，提出探究問題，切合學(xué)生的當(dāng)前思維，有效提高了他們發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，對養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識起著有益的作用.

五、創(chuàng)設(shè)隱含數(shù)學(xué)問題的導(dǎo)語，引領(lǐng)學(xué)生在類比中提出問題

類比是數(shù)學(xué)中常見的推理方式之一，對于其探究方式或基本知識有相似之處的兩類內(nèi)容，我們通常采用類比的方法，從已知的一類（已解決的問題、已獲得的知識、已積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等）出發(fā)，提出另一類的探索問題，由此可見，類比也是學(xué)生提出探究問題的引路人.

案例5：相似三角形的判定.

相似是全等的推廣，兩者的學(xué)習(xí)方式相類似，在“相似三角形的判定”教學(xué)問題的提出中，筆者將它與全等三角形的判定進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生猜想提出三角形相似的判定條件，進(jìn)而論證猜想.具體如下：

導(dǎo)語：上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了相似三角形的有關(guān)概念，了解了相似三角形與全等三角形的關(guān)系是一般與特殊的關(guān)系，學(xué)會(huì)了利用相似三角形的概念來判定兩個(gè)三角形相似，請同學(xué)們回憶三角形全等的判定條件的探索過程，想一想對于兩個(gè)三角形相似，我們下一步的研究目標(biāo)是什么？

短短的導(dǎo)語看似簡單，但它隱含著類比推理，學(xué)生憑借探究三角形全等的判定條件所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以類比為指導(dǎo)思想，就可以提出進(jìn)一步研究的問題：判定兩個(gè)三角形相似是否需要這么強(qiáng)的條件（三角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例）？怎樣削減？隨即類比全等三角形的判定方法提出以下猜想：

（1）兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

由于引領(lǐng)“學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題”的導(dǎo)語已為學(xué)生類比提出探究問題指明了方向，學(xué)生完全有能力自主地提出問題，教師的鼓勵(lì)可增強(qiáng)其信心.這種脫韁式的問題提出方式，對養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識起著有力的作用.

縱觀以上案例，不難發(fā)現(xiàn)養(yǎng)成學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，并不像想象的那么困難.只要形成這樣一種意識——根據(jù)教學(xué)內(nèi)容挖掘與之相適合的背景，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)觀察的載體，把發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，并在日常的教學(xué)中持之以恒，學(xué)生經(jīng)過日積月累，慢慢就會(huì)養(yǎng)成一種發(fā)現(xiàn)和提出問題的好習(xí)慣.如此，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力也就不會(huì)成為一句空話，有效地貫徹?cái)?shù)學(xué)課標(biāo)的總目標(biāo)就能得以實(shí)現(xiàn).

1．中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2．曾澤群.如何進(jìn)行數(shù)學(xué)問題情境教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

3.曾大洋.如何上好一堂數(shù)學(xué)課［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.H