一輪復習課：起點和終點都是概念
——以“相似三角形的判定與性質(zhì)”復習為例

一輪復習課：起點和終點都是概念
——以“相似三角形的判定與性質(zhì)”復習為例

☉江蘇省如皋市丁堰鎮(zhèn)初級中學陳志勇

不同階段的中考復習，在教學任務(wù)上有著較大的差異.與二輪專題復習的綜合性相對應，一輪復習應凸顯基礎(chǔ)性，一般以知識點的梳理為教學任務(wù).因此，在一輪復習課上，我們應以概念回顧為主要教學目標，通過適量的解題訓練幫助學生梳理初中階段所學的知識，形成較為完整的知識網(wǎng)絡(luò).近期，筆者以“相似三角形的判定與性質(zhì)”為題開設(shè)了一節(jié)“起點和終點都是概念”首輪復習課，取得了較好的教學效果.現(xiàn)將這節(jié)課和筆者的些許思考與您做個交流，希望能引發(fā)您的思考.

一、“相似三角形的判定與性質(zhì)”復習過程及簡析

活動1：以題理知

學生活動：自主解答下列各題，并在小組中交流用到的知識.

（1）如圖1，△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，添加一個條件：_______（寫一個即可），使△ADE∽△ACB.

（2）如圖2，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，則AD=______.

圖1

圖4

圖2

圖3

（3）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，則∠E+∠F= ________.

（4）如圖3，△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，BC=4，有下面四個結(jié)論：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1∶4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為1∶4.其中正確的有________（只填序號）.

（5）如圖4，△ABC中，BC=12cm，高AD=8cm.正方形PQMN的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上.則正方形PQMN的邊長為______cm.

10分鐘后，學生交流結(jié)束.

師：解答這5道題目，用到了哪些知識？

生1：“兩角判定法”判定三角形相似.

師：哪些題目中用到這種方法？

（教師板書：相似三角形，判定，兩角判定法.如圖6，下同）

生2：第1題中，圖1是兩個相似三角形組成了“A字形”，∠A是△ADE和△ACB的公共角，只要再添加一對對應角相等，如∠ADE=∠ACB，就可以用“兩角判定法”證明了.

（教師板書：A字形）

生3：第4、5兩題也是“A字形”，都可以用“兩角判定法”證相似.第2題中兩個三角形組成了“8字形”（教師板書：8字形），也可以用“兩角判定法”證明相似.

師：判斷這些三角形相似，還有其他方法嗎？

（教師板書：兩邊及夾角判定法）

生5：我們還可以用“三邊判定法”來判定證明第4題中的兩個三角形相似.

師：怎么證？

（教師板書：三邊判定法）

生7：這樣太復雜了！由中位線定理得DE∥BC，所以兩個三角形相似.

師：這是什么方法？生8：平行判定法.

（教師板書：平行判定法）

師：還有什么地方用到這種方法？

生9：第5題中，PN∥BC，我們也可以用這種方法證明△APN∽△ABC.

師：非常好！那么在解答這5題時，還用到了哪些知識呢？

生10：相似三角形的性質(zhì)（教師板書：性質(zhì)）.比如，第2題用到了“相似三角形的對應邊成比例”；第3題用到了“相似三角形的對應角相等”；第4題用到了“相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方”；第5題用到了“相似三角形對應線段的比等于相似比”.

（根據(jù)學生的敘述，教師將性質(zhì)逐一板書）

師：第5題用到哪種對應線段呢？

師：接下來怎么做？

師：還用上方程了呢！方程是重要的數(shù)學模型.這里我們應用相似三角形的性質(zhì)，將“對應線段的比”轉(zhuǎn)化為方程.

（教師板書：方程）

簡析：“以題理知”重在理知，題目是知識的載體，在教學中，教師讓學生從題目出發(fā)交流用到的知識，整個交流側(cè)重于知識點的掃描和歸整.通過即時板書，這些知識點在黑板上及時“定格”，對接下來的應用與建網(wǎng)十分有利.

活動2：用知得法

學生活動：自主解答，并在小組中交流解題思路、用到的知識和注意點.

例如圖5，正方形ABCD的邊長為4，E是正方形的邊DC上一動點，連接AE，作HE⊥AE，交BC于點H，連接AH.

（1）求證：△ADE∽△ECH；

（2）當點E是CD的中點時，試說明△AEH與△ADE相似；

（3）在點E運動到什么位置時，四邊形AHCD的面積最大？最大值是多少？

圖5

學生自主解答例題，8分鐘后，教師組織學生進行全班交流.求出DE=CE=2，AE=2和∠AEH=∠D=90°，可得△AEH與△ADE相似.

師：第三問怎么解？

生2：設(shè)DE的長為x，則CE=4-x.根據(jù)第一問中的“△ADE∽△ECH”，可得.所以

師：這道例題怎么解？

生1：△ADE和△ECH組成的是“K字形”（教師板書：K字形），用“兩角判定法”就可證明相似.對于第二問，先10.所以當DE=2時，四邊形AHCD的面積為10.

師：非常棒！這么規(guī)范的解題過程，你是怎么想到的？

生3：我先想到了函數(shù).

師：為什么？

生4：“四邊形AHCD的面積最大”，直覺告訴我與二次函數(shù)有關(guān).

師：非常棒！在化解與相似三角形有關(guān)的問題時，在得到兩個相似三角形后，我們常利用其性質(zhì)得到方程或函數(shù)，用代數(shù)的方法求出答案.

（教師板書：函數(shù)）

簡析：知識梳理是復習課的重要任務(wù)，在教學過程中，核心知識應隨著例題的解答與交流不斷呈現(xiàn)，使之相互關(guān)聯(lián)融合.活動2中，教師引導學生從相似三角形的性質(zhì)出發(fā)，生成函數(shù)模型，將相似三角形與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，讓本節(jié)課的知識與已有知識“結(jié)網(wǎng)聯(lián)通”，拓寬了學生思路分析時“聯(lián)想”的寬度.

活動3：課堂小結(jié)

教師用追問引領(lǐng)學生進行課堂小結(jié)，在學生陳述的時候，教師將原來的板書用“虛線框圖”和“箭頭”鏈接起來，形成圖6.

圖6

簡析：前兩個活動中，學生和教師的努力達成了預期的教學成效.即時板書，夯實了課堂小結(jié)的基礎(chǔ).課堂小結(jié)，指向了知識的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)，教師將圖6中原本“孤立”的板書通過“框圖”和“箭頭”鏈接在一起，讓知識、方法及數(shù)學思想實現(xiàn)了關(guān)聯(lián)，這種網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)為學生解題時知識的提取與應用提供了便利.

二、三點感悟

1.全面梳理概念，精準鏈接成網(wǎng)

在中考首輪的任何一節(jié)復習課上，我們應密切關(guān)注學生學習的成效與中考成效之間的同比增值，在概念的梳理與網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)中實現(xiàn)學生分析問題和解決問題能力的提升.復習課從“以題理知”出發(fā)，以簡單數(shù)學問題讓基本概念全部“現(xiàn)身”.在學生的自主解答中，在組內(nèi)的交流辨析中，在全班的互動共享中，基本的概念隨著教師的板書逐步呈現(xiàn).為了凸顯數(shù)學概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，板書單一知識要注意“布局”，以便知識的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu).在上面這節(jié)課中，教者通過活動1、2將“相似三角形的判定與性質(zhì)”及其相關(guān)概念逐一板書在黑板上，并將與這一板塊關(guān)聯(lián)密切的“方程、函數(shù)”也呈現(xiàn)在學生眼前.活動3中，箭頭和框圖的應用，實現(xiàn)了知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu).這樣的全面梳理和網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，不僅能夠讓學生感知到“相似三角形”知識的應用價值，還能讓他們深刻體會到相似三角形的應用不只局限于幾何.在與相似三角形相關(guān)的問題解答中，不僅要從幾何角度進行思路分析，還應學會從圖形中找尋化解問題的代數(shù)方法.這樣的復習課，不僅梳理了板塊知識，還實現(xiàn)了學段關(guān)聯(lián)，有益于中考，服務(wù)于學生今后的數(shù)學學習.

2.立足已有網(wǎng)絡(luò)，適度延伸拓展

在新授課學習階段，學生建構(gòu)出的相對獨立的知識網(wǎng)絡(luò)散布在學生的已有知識結(jié)構(gòu)之中，與其他板塊少有關(guān)聯(lián).為了讓不同板塊“鏈接”起來，我們有必要通過題組將課時知識適度延伸與拓展，形成不同板塊知識的“銜接點”，從而讓不同的知識有序“入網(wǎng)”.基于這樣的教學需求，在一輪復習課上，我們應在梳理本節(jié)課的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的基礎(chǔ)之上，通過對預設(shè)題組“解題套路”的歸納形成知識結(jié)構(gòu)框圖.以本文中的案例為例，“相似三角形”在原有認知結(jié)構(gòu)中沒有太多的外延，僅局限在相似的判定和性質(zhì)的簡單應用之上，然而在中考中，這一段的知識應用卻成為了解題的難點，導致很多失分.細細分析，很多非本板塊的知識的融入是主要原因，如方程、函數(shù)等知識.在初中階段，這些知識的應用本身就很難，與相似三角形整合作為新的考點時，命題者會有意設(shè)置解題“陷阱”，學生解題時自然會問題重重.所以首輪的“相似三角形”的復習在經(jīng)歷了學生的自主解答與交流之后，教者以性質(zhì)為起點，將中考中“相似三角形”延伸應用最多的幾個知識及時引入，并進行了即時板書.最后的小結(jié)歸納，以箭頭和框圖的形式將它們關(guān)聯(lián)在一起，形成了更大范圍的網(wǎng)絡(luò)，提升了學生分析問題和解決問題思維的寬度和廣度.

3.關(guān)注核心概念，強化應用體驗

一輪復習是指向中考的復習，理應關(guān)注中考中的“高頻”考點，讓它們成為復習的重點.“高頻”考點，一般是初中階段的核心概念，不僅在現(xiàn)階段能得到大范圍的應用，在未來的學習生活中，這些概念也會有著更為廣泛的應用.所以我們應密切關(guān)注現(xiàn)階段的核心概念，在首輪復習課上圍繞這些概念編排相應的例題、練習與教學活動，讓他們在問題的活動與交流中，強化應用體驗，感知這些知識的應用價值，并形成積極的應用意識，以提升這些概念在問題解決中的地位及作用.在“相似三角形”首輪復習課上，“相似三角形的性質(zhì)和判定”是復習的核心，而在這一核心中，又以“兩角判定法”和“相似三角形的對應邊成比例”在問題解決中的作用最大.所以教者編排了多道題目用以回顧這兩個核心概念.在整個的問題解決和知識回顧歷程中，學生始終是教學的主體，他們反復經(jīng)歷了自主解答和交流點評的過程，這兩個核心概念被反復應用，解題經(jīng)驗被不斷強化.而小組和全班的適時交流，將學生的解題過程反復矯正，經(jīng)驗的正向強化順應了學生的解題體驗，有效推動了個性化解題經(jīng)驗的積累，為每個個體解題方法的積累和解題能力的提升作出了巨大貢獻.

三、結(jié)束語

一輪復習，是基于概念梳理需求的教學活動.無論是教師的教，還是學生的學，都應以概念為重.以題理知，要回顧本課時應復習的所有概念，確保本板塊中的基本概念無一遺漏；用知得法，充分挖掘典型例題的教學價值，在進一步梳理概念的同時將知識網(wǎng)絡(luò)延伸與拓展，形成符合學生認知規(guī)律的解題套路；小結(jié)整理，直接指向全課知識的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，通過將全課知識的鏈接，以便學生解題“聯(lián)想”，提升他們的解題能力.總之，一輪復習應腳踏實地，從概念出發(fā)，不在教學例題的難度和深度上花太多的精力，所有教學活動應緊緊圍繞概念梳理與“結(jié)網(wǎng)”進行，只有這樣的設(shè)計與教學定位，才能真正成就有效的復習課堂.Z