珠串成線：?jiǎn)卧獜?fù)習(xí)課的教學(xué)取向
——以“線段和角”的復(fù)習(xí)課為例

珠串成線：?jiǎn)卧獜?fù)習(xí)課的教學(xué)取向
——以“線段和角”的復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 朱秋芳

最近一次七年級(jí)期末復(fù)習(xí)研討活動(dòng)中，筆者開設(shè)了一節(jié)“線段和角”的復(fù)習(xí)課，得到參與研討的同行的好評(píng).下面呈現(xiàn)該課的前后兩次設(shè)計(jì)，并給出各個(gè)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)意圖，提供研討.

一、“線段和角”的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)

第一種教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

活動(dòng)1：一顆“種子”.

如圖1：

圖1

請(qǐng)你用幾何語言描述這幅圖.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，為下面的問題作準(zhǔn)備.

活動(dòng)2：種子在“孕育”.

（1）如圖2，在直線l上再取一點(diǎn)B，圖中有幾條線段？再取一點(diǎn)C呢？

圖2

（2）再取兩點(diǎn)D、E，共有幾條線段？你是怎么算的？哪幾條？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)線段的計(jì)數(shù)方法，增強(qiáng)識(shí)圖能力，體現(xiàn)有序的思維方式，為問題的進(jìn)一步展開作鋪墊.

活動(dòng)3：發(fā)出“第一枝芽”.

若在直線l上有n個(gè)點(diǎn)，共有多少條線段？

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)并表示規(guī)律（有可能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合），揭示公式的意義.

圖3

活動(dòng)4：發(fā)出“第二枝芽”.

（1）如圖4，C點(diǎn)為線段AE上任意一點(diǎn)，若AC＝8，CE＝6，B、D分別為AC、CE的中點(diǎn)，則BD＝____________.

圖4

若只把條件AC＝8、CE＝6去掉，改成AE＝14，其他條件不變，你能求BD嗎？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)線段的中點(diǎn)、線段的和差關(guān)系，通過弱化條件，體現(xiàn)整體思想.

（2）如圖5，若B、C、D三個(gè)點(diǎn)是線段AE的四等分點(diǎn)，圖中所有線段的和為26，你能求AE嗎？

圖5

設(shè)計(jì)意圖：鞏固前面的識(shí)圖結(jié)果，在線段中點(diǎn)的基礎(chǔ)上深入認(rèn)識(shí)四等分點(diǎn)，進(jìn)一步復(fù)習(xí)線段的和差倍分；初步滲透方程思想在圖形中運(yùn)算的作用.

（3）如圖6，若AE＝8.9，BD＝3，你能求圖中所有線段的長度之和嗎？試試看！

圖6

設(shè)計(jì)意圖：與前面問題相比，條件進(jìn)一步弱化，體現(xiàn)整體思想，增強(qiáng)識(shí)圖能力.

活動(dòng)5：種子的茁壯成長要你們來“澆灌”.

我們知道線段與角之間有許多相通之處，請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)的有關(guān)角的知識(shí)，聯(lián)系線段，對(duì)兩者進(jìn)行類比，試試你的創(chuàng)造力！

已知：如圖7，∠AOE是小于平角的角，射線OB、OC、OD是∠AOE內(nèi)部的射線.

圖7

（1）你們可以提出什么問題？試著將其解決.

（2）允許你們可以增加1—2個(gè)條件，兩位同學(xué)為一小組，討論你們還能提出什么問題，并解決它.

設(shè)計(jì)意圖：在前面對(duì)線段復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)之上，通過這個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)類比思想.

活動(dòng)6：小結(jié)與布置作業(yè).（略）

【打磨意見】可以發(fā)現(xiàn)，上面的課例也是精心預(yù)設(shè)、備課組打磨而成，在經(jīng)典題型、基本圖形及性質(zhì)上引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別和積累，對(duì)于應(yīng)付常規(guī)考試是積極的，然而從深刻“理解數(shù)學(xué)”（章建躍語）的角度看，初中幾何的學(xué)習(xí)與小學(xué)有很大差別，張奠宙教授說小學(xué)數(shù)學(xué)是實(shí)用主義、消費(fèi)數(shù)學(xué)，而初中幾何才是真正意義上的數(shù)學(xué)、精神需要.所以需要調(diào)整復(fù)習(xí)課的教學(xué)取向，深入思考入門階段的幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是很關(guān)鍵的.初一幾何初步的重點(diǎn)何在呢？具體到線段、角的學(xué)習(xí)，主要是線段或角的表示方法.在第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，有線段圖形語言、符號(hào)語言、基本作圖等的引入等，然而重點(diǎn)卻放在計(jì)數(shù)線段上，這并不是教材上的重點(diǎn)內(nèi)容，只是屬于解題策略一類的話題，小學(xué)階段學(xué)生就已熟悉這種策略，只不過披上了初中幾何的外衣繼續(xù)研究這種策略.基于上述認(rèn)識(shí)，我們覺得解題策略的教學(xué)不能占去整節(jié)課的一半，可以作為一種難點(diǎn)進(jìn)行突破，主要精力還是應(yīng)該先關(guān)注教材上對(duì)該內(nèi)容的訓(xùn)練重點(diǎn).于是打磨生成第二種教學(xué)設(shè)計(jì).

第二種教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

活動(dòng)1：請(qǐng)你當(dāng)“醫(yī)生”.

對(duì)于下列問題：若有解答過程，請(qǐng)?jiān)\斷是否有“病”，有“病”請(qǐng)說出“病因”并改正；若沒有解答過程，請(qǐng)給予解答，并說出可能會(huì)“誘發(fā)”什么病.

（1）在直線l上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝5，BC＝3，求AC.

解：如圖8所示.

圖8

由AC＝8，BC＝3，得AC＝AB＋BC＝8.

診斷結(jié)果：______；病因：______；正確答案：______.

（2）選擇題：已知AC＝8，BC＝3，則AC的長為（）.

A.8B.3C.8或3D.無法確定

答案：C

診斷結(jié)果：______；病因：______；正確答案：______.

（3）如圖9，線段AB＝5，BC＝3，CD＝2，求圖中所有線段的長度之和.

圖9

解：圖中所有線段的長度之和＝AB＋BC＋CD＝5＋3＋2＝10.

診斷結(jié)果：______；病因：______；正確答案：______.

（4）已知在平面內(nèi)，∠AOB＝35°，∠BOC＝20°，則∠AOC＝________.

說說當(dāng)“醫(yī)生”的收獲.

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生平時(shí)作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤為資源，在自查自糾的過程中，喚醒知識(shí)點(diǎn)、喚醒建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的意識(shí)，體現(xiàn)分類討論、類比思想，為進(jìn)一步自主建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)提供“技術(shù)”上的幫助.

活動(dòng)2：作線段的“藍(lán)圖”.

邊作圖邊思考.

（1）如圖10，已知線段a，點(diǎn)A在直線l上，在直線l上順次截取AB＝BC＝a.此時(shí)圖中有幾條線段？點(diǎn)B有何特點(diǎn)？

圖10

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖和線段的中點(diǎn).

（2）再在直線l上順次截取線段CD＝DE＝b（b＜a），此時(shí)在直線l上共有幾條線段？哪幾條？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖，增強(qiáng)識(shí)圖、作圖能力，強(qiáng)化前面“診斷”過程中的分類討論思想，養(yǎng)成有序的思維方式，養(yǎng)成積累基本圖形的意識(shí)，為問題的進(jìn)一步展開作鋪墊.

活動(dòng)3：在“藍(lán)圖”上加工.

在圖11中，若AC＝8，CE＝6，則BD＝________.

在圖11中，若AE＝14，其他條件不變，你能求BD嗎？你能發(fā)現(xiàn)BD與AE的數(shù)量關(guān)系嗎？能簡(jiǎn)述理由嗎？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步復(fù)習(xí)線段和差關(guān)系，形成積累基本圖形的意識(shí)；通過弱化條件，體現(xiàn)整體思想；在研究線段和差關(guān)系、倍分關(guān)系時(shí)，要關(guān)注便于轉(zhuǎn)化的線段，增強(qiáng)識(shí)圖能力.

活動(dòng)4：挑戰(zhàn)自己.

（1）如圖12，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，CD＝2，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，MN＝7，則AB＝______.

圖12

（2）如圖13，在直線l上順次截取AB＝BC＝CD＝DE.

圖13

問題一：請(qǐng)說出圖中哪個(gè)點(diǎn)是哪條線段的中點(diǎn).

問題二：B、C、D三點(diǎn)是線段AE的四等分點(diǎn)，圖中所有線段的和為26，你能求AE嗎？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固前面的識(shí)圖結(jié)果，在線段中點(diǎn)的基礎(chǔ)上深入認(rèn)識(shí)四等分點(diǎn)，進(jìn)一步復(fù)習(xí)線段的和差倍分；初步滲透方程思想在圖形中運(yùn)算的作用.

活動(dòng)5：“打通”知識(shí)通道，自我構(gòu)建角的知識(shí)“框架”.

（1）你還記得多少關(guān)于角的知識(shí)點(diǎn)？利用線段與角之間有許多相通之處，發(fā)揮自己的潛能，自我構(gòu)建有關(guān)“角”的知識(shí)框架！試試看！

設(shè)計(jì)意圖：通過類比，自我構(gòu)建角的知識(shí)框架，發(fā)展學(xué)生的自我創(chuàng)造力.

（2）如圖14，射線OC是平角AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，結(jié)合角的相關(guān)知識(shí)，你能提出什么問題？能解決它們嗎？

圖14

圖15

設(shè)計(jì)意圖：在前面對(duì)線段復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)之上，通過這個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)類比思想，并借此復(fù)習(xí)互余、互補(bǔ)等相關(guān)角的概念.

（3）變化一下.

如圖15，若ON是平角WOE的平分線，OA是∠BOC內(nèi)任意一條射線，且OA⊥OB于O點(diǎn)，你能說出圖中互余的角、互補(bǔ)的角、相等的角有哪些嗎？若反向延長射線ON到OS，∠AOE＝25°24′，設(shè)ON為正北方向，OE為正東方向，你能說出射線OA、OB的方向嗎？

二、關(guān)于教學(xué)立意的整體思考

《中學(xué)數(shù)學(xué)》最近有多篇文章探討單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)，特別是對(duì)復(fù)習(xí)課選題（例、習(xí)題）的精選都放在重要位置上.這自然是關(guān)鍵的.然而，對(duì)單元復(fù)習(xí)來說，思考整節(jié)復(fù)習(xí)的教學(xué)立意也許應(yīng)該成為更為上位的考慮.具體來說，可從以下兩個(gè)方面來構(gòu)思教學(xué)立意.

1.教學(xué)的整體立意需要建立在對(duì)單元知識(shí)的深刻理解上

由于單元復(fù)習(xí)是針對(duì)前一階段所授新知開展的復(fù)習(xí)工作，備課時(shí)教者首先要站在一個(gè)階段的高點(diǎn)，反觀前面所學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性、重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生在新的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)了哪些困難等.在此基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)習(xí)課的相關(guān)素材就能基于這種深刻理解大膽取舍，而不是面面俱到，或者將復(fù)習(xí)課上成習(xí)題課、某種熱點(diǎn)題型的訓(xùn)練課等.

2.教學(xué)的整體立意需要促進(jìn)學(xué)生將零散知識(shí)串珠成線

引導(dǎo)學(xué)生“將學(xué)過的知識(shí)串珠成線，像葡萄一樣能拎起來”，這應(yīng)該成為單元復(fù)習(xí)課的一種教學(xué)取向.數(shù)學(xué)知識(shí)具有關(guān)聯(lián)性、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性、前后一致性，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容或解題都是“一步一步向上走”（米山國藏語）.基于上述觀點(diǎn)，將零散知識(shí)串珠成線，讓學(xué)生加深印象，追求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解就成為我們?cè)诘诙N教學(xué)設(shè)計(jì)中的自覺追求.

1.熊俊.導(dǎo)學(xué)案不能淪落為“習(xí)題單”——以“中位數(shù)和眾數(shù)”的導(dǎo)學(xué)案為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）.

2.章建躍.從數(shù)學(xué)整體觀看“同底數(shù)冪的乘法”的教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（7-8）.

3.嚴(yán)莉.對(duì)一份“習(xí)題單”式導(dǎo)學(xué)案的商榷——以“有理數(shù)乘法（第1課時(shí)）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（11）.Z