經(jīng)典試題魅力無窮
——以一組中考試題為例

經(jīng)典試題魅力無窮
——以一組中考試題為例

☉江蘇省鹽城市郭猛實驗學(xué)校 劉瑞祥

2011年，中華人民共和國教育部頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》.在新課標(biāo)的指引下，各地的中考進行了相應(yīng)的改革，各省市結(jié)合新課標(biāo)推廣使用新教材，故2012年至2014年南京中考試題是新課標(biāo)下的智慧結(jié)晶，試題不僅能公平、公正地評價學(xué)生，也對學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展有促進的作用.本文立足于2012年至2014年南京中考試題，總結(jié)近三年中考試題特點的同時展望南京2015年中考.

一、近三年中考試題的回望

1.試題類型分析

2012年至2014年的試題題量、題型保持一致，共27題，分選擇題、填空題、解答題三種題型，全卷滿分120分，考試時間120分鐘.選擇題6道，填空題10道，解答題11道.考查的知識內(nèi)容如下表所示：

題號考查內(nèi)容題型2 0 1 2年2 0 1 3年2 0 1 4年軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別2科學(xué)記數(shù)法的表示方式冪的運算冪的運算1負(fù)數(shù)的識別（絕對值、平方、平方根的意義）有理數(shù)的運算選擇題3冪的運算無理數(shù)的概念、算術(shù)平方根的意義及估算無理數(shù)的大小相似三角形的性質(zhì)4估算無理數(shù)的大小兩圓的位置關(guān)系估算無理數(shù)的大小5一次函數(shù)、反比例函數(shù)的運用（交點問題）正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的運用（交點問題）平方根的意義6圖形變換、菱形的性質(zhì)及解直角三角形圖形的展開與折疊矩形的性質(zhì)、點的坐標(biāo)的表示

7相反數(shù)、倒數(shù)的意義二次根式的意義相反數(shù)、絕對值的意義8二次根式的化簡函數(shù)自變量的取值范圍科學(xué)記數(shù)法的表示方式9分式方程函數(shù)自變量的取值范圍1 0眾數(shù)、極差的意義1 1點與一次函數(shù)圖像的關(guān)系多邊形的外角和與補角的性質(zhì)填空題科學(xué)記數(shù)法的表示方式反比例函數(shù)的性質(zhì)1 2二次函數(shù)圖像的平移圖形的翻折、菱形的性質(zhì)圖形的旋轉(zhuǎn)、矩形的性質(zhì)等腰三角形、多邊形內(nèi)角的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)1 3平均數(shù)與中位數(shù)的運用圓的相關(guān)性質(zhì)一元二次方程的實際應(yīng)用與圓有關(guān)的計算1 4銳角三角函數(shù)的計算平行四邊形、等腰三角形、相似三角形的性質(zhì)1 5不等式在生活中的應(yīng)用1 6平移及規(guī)律探究二次根式的運算梯形的性質(zhì)、點的坐標(biāo)的表示用字母表示數(shù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)1 7解二元一次方程組代數(shù)式的化簡解不等式組1 8代數(shù)式的化簡及解不等式解分式方程代數(shù)式的化簡、求值解答題1 9 2 0常見統(tǒng)計圖的應(yīng)用全等三角形的判定、旋轉(zhuǎn)及尺規(guī)作圖全等三角形的性質(zhì)、正方形的判定三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形、菱形的判定等可能條件下的概率、樹狀圖或列表格求概率、概率的實際應(yīng)用等可能條件下的概率及樹狀圖、列表格求概率

2 1等可能條件下的概率及樹狀圖、列表格求概率抽樣調(diào)查的要求、常見統(tǒng)計圖的應(yīng)用抽樣調(diào)查的要求、常見統(tǒng)計圖的應(yīng)用2 2正方形的判定、等腰梯形、中位線的性質(zhì)，菱形的判定三角函數(shù)的實際應(yīng)用一元二次方程的實際應(yīng)用2 3一次函數(shù)的實際應(yīng)用（圖像）三角函數(shù)的實際應(yīng)用一次函數(shù)的實際應(yīng)用（圖像）2 4切線的性質(zhì)、扇形面積的計算、解直角三角形及二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)的應(yīng)用2 5一次函數(shù)的實際應(yīng)用（圖像）一元二次方程的實際應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形、平行四邊形的性質(zhì)操作性問題與方程的結(jié)合二次函數(shù)的應(yīng)用2 6 2 7不等式（組）在生活中的應(yīng)用與圓有關(guān)的計算、圓與圓的位置關(guān)系圓的相關(guān)知識、勾股定理的逆定理（探究問題）相似三角形（新定義下的閱讀題）全等三角形的性質(zhì)及判定

2.試題特點分析

（1）注重能力的考查，凸顯知識的靈活應(yīng)用.

近三年試卷的全卷難度控制在0.7左右，試題中容易題、中等題和較難題的比例控制在7∶2∶1左右，符合全體學(xué)生考查的要求.試卷有一定的把關(guān)題，具有一定的區(qū)分度，每年都有一部分試題凸顯知識的靈活應(yīng)用，能選拔出較優(yōu)秀的學(xué)生.貫徹《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對培養(yǎng)目標(biāo)的要求：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

例1（2013年江蘇中考第16題） 計算的結(jié)果是

分析：本題作為填空題的壓軸題有一定的難度，考查學(xué)生用字母表示數(shù)的能力.本題對普通學(xué)生而言，易于死算，耗時較長，但對于優(yōu)秀的學(xué)生，能用簡便的方法解決此題，讓優(yōu)秀的學(xué)生利用更少的時間解決此題，凸顯出優(yōu)秀學(xué)生的優(yōu)勢.

（2）注重課本的拓展，重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的考查.

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識的形成過程.”中考題很多源于課本、高于課本，考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識等，這類題型是“用數(shù)學(xué)”的直接體現(xiàn)，必成為2015年中考數(shù)學(xué)的熱點問題.

例2（2014年江蘇中考第27題）【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一條邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF.

（1）如圖1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

圖1

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.

（2）如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角.求證：△ABC≌△DEF.

圖2

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.

（3）在△ABC和△DEF中，AC= DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接填寫結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若______，則△ABC≌△DEF.

分析：本題是學(xué)生在三角形全等學(xué)習(xí)過程中遇到的疑惑的探索，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的延伸，題目解決了教與學(xué)過程中教師與學(xué)生均“意猶未盡”的問題，即“邊邊角”能否說明兩個三角形全等.此題的設(shè)計打破常規(guī)，分四個小問呈現(xiàn)，層次分明，綜合程度高，探索性強，有較好的區(qū)分度，而且答案有開放性，有利于區(qū)分不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，題目的考查也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從特殊到一般、從易到難.

（3）注重思維的發(fā)展，題目中滲透數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、精華所在，初中階段，常見的有四大思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程的思想、類比和化歸思想.教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中教給了學(xué)生一些數(shù)學(xué)的思想和本質(zhì)，但往往學(xué)生并不會自己歸納，只會“被學(xué)”，不會“去學(xué)”，而一份有價值的試卷往往要突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生在比較、分析、歸納、類比、抽象中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.

例3（2013年江蘇中考第27題）對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似.例如，如圖4，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相同，因此，△ABC與△A′B′C′互為順相似；如圖5，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相反，因此，△ABC與△A′B′C′互為逆相似.

圖3

圖4

圖5

（1）根據(jù)圖6、圖7、圖8滿足的條件，可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABG；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ.其中，互為順相似的是______；互為逆相似的是______.（填寫所有符合要求的序號）

圖6

圖7

圖8

圖9

（2）如圖9，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點P在△ABC的邊上（不與點A、B、C重合）.過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似.請根據(jù)點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由.

分析：本題以相似三角形為生長點，題干給予相似中順相似、逆相似的新定義，融概念辨析、畫圖、說理為一體，讓學(xué)生在探索中形成分類的標(biāo)準(zhǔn)，全面展現(xiàn)了新情境下的學(xué)習(xí)過程，蘊含了轉(zhuǎn)化、分類等基本思想.本題對以往學(xué)習(xí)過程中積累的方法與經(jīng)驗進行考查，也是對學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)能力的考查，對教學(xué)的引導(dǎo)作用明顯.

（4）注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，讓題目更現(xiàn)實化.

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強調(diào)數(shù)學(xué)背景的“現(xiàn)實化”、“數(shù)學(xué)化”.倡導(dǎo)能用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識世界，并能運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法處理解決周圍的實際問題.近些年來中考多次考到數(shù)學(xué)以生活為背景的考題，逐年呈上升趨勢，主要體現(xiàn)在方程與函數(shù)、概率統(tǒng)計等內(nèi)容.

例4（2013年江蘇中考第20題） （1）一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各1個，這些球除顏色外都相同.求下列事件的概率：

①攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球；

②攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球.

（2）某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的，如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么6道選擇題小明全部選擇正確的概率是（）.

分析：本題的第（1）問實際上是一個典型的摸球?qū)嶒灒怕时容^好求，第（2）問等同于：一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各1個，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，連續(xù)摸球6次，均為紅球的概率.若考生在做題的過程中發(fā)現(xiàn)第（2）問就是第（1）問的一個變形、延伸，便會快速而正確地解決問題.概率問題在南京以往的中考中主要以單一的形式出現(xiàn)，此題以概率的問題拓展到生活中屬于創(chuàng)新，此類問題值得關(guān)注.

二、反思與建議

中考，肩負(fù)著導(dǎo)向教學(xué)和選拔人才的重要功能.在當(dāng)今教學(xué)過程中，普遍存在著重教輕學(xué)、重訓(xùn)練輕理解、重知識輕思想、重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象.這些教學(xué)中的不良價值取向都將嚴(yán)重遏制學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展.所以筆者認(rèn)為教師要在教學(xué)后反思、中考后歸納，要讓學(xué)生知道，如何去思考和解決一個數(shù)學(xué)問題，才算得上高效，才對中考有作用.

1.以課本為載體，注重“雙基”的訓(xùn)練

縱觀近三年的中考題，不難發(fā)現(xiàn)，很多考題來源于課本，只是進行了適當(dāng)?shù)男薷模式ㄗh教師在教學(xué)的過程中重視課本的教學(xué)，要以課本為載體，讓學(xué)生熟練掌握基本知識、基礎(chǔ)技能的同時，逐步提升難度，以保證所有的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都有所發(fā)展.與此同時，在教學(xué)的過程中教師還要與學(xué)生一起研究近幾年的中考試題，共同歸納出中考的必考題，比如筆者預(yù)測南京2015年的必考解答題可以歸納為：“數(shù)與代數(shù)”部分5道：2道計算，1道一次函數(shù)的應(yīng)用，1道二次函數(shù)的應(yīng)用，1道一元二次方程的實際應(yīng)用；“圖形與幾何”部分4道：1道特殊四邊形的性質(zhì)與證明，1道圓的相關(guān)知識，1題三角函數(shù)的應(yīng)用，1道幾何綜合（新定義題型）；“概率與統(tǒng)計”部分2道.這樣學(xué)生就會形成有針對性的復(fù)習(xí)策略，在考試中也會胸有成竹.

2.突出課堂的提煉，注重數(shù)學(xué)思想的生成

心理學(xué)研究表明：“教師要重視概括、抽象、歸納和總結(jié).應(yīng)用同質(zhì)不同形的各種問題的變式來突出本質(zhì)特征，加強對不同類型的問題的區(qū)分與辨別，提高學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解水平.通過提供多種變式，促進學(xué)生深刻領(lǐng)會和理解，這樣掌握的知識才能被牢固地記憶和有效地應(yīng)用.”故教師在課堂教學(xué)的過程中應(yīng)將相類似的問題進行整合、環(huán)環(huán)相扣地進行提問，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的思維，如此才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

3.感受過程，注重數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得

近幾年的中考試卷的趨勢是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的考查越來越重要，故讓學(xué)生自己去探索數(shù)學(xué)問題的過程肯定是以后中考的趨勢.所以教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該注重這方面的培養(yǎng)，讓學(xué)生多去經(jīng)歷知識的形成過程，讓學(xué)生會從“被學(xué)”到“會學(xué)”.對于水平較高的學(xué)生使用“放”，為他們提供更為廣泛的獨立思考的時間和空間；對于中等生采取“激”，為他們提供難度適中的問題，逐步養(yǎng)成探究問題的習(xí)慣；對于學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生則采用“誘”，為他們提供適度的幫助，多給一些鼓勵和啟發(fā)，促進他們經(jīng)驗的獲得.H