重溫探尋之路
——從“探索確定物體位置的方法”一課說起

重溫探尋之路
——從“探索確定物體位置的方法”一課說起

☉浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué) 余利英

2014年11月17日，“柯城區(qū)學(xué)為中心研討活動(dòng)”在石梁中學(xué)成功舉辦.本次活動(dòng)的主題是“學(xué)為中心”.活動(dòng)中筆者承擔(dān)了“探索確定位置的方法”研究課的任務(wù).筆者始終努力踐行“學(xué)為中心”這個(gè)理念，課堂上師生合作所走的探索之路，受到聽課專家與教師的一致好評(píng).現(xiàn)重返這節(jié)“探索”之課，與各位同行共同分享探尋過程的幸福與快樂！

一、了解學(xué)情，探尋課堂教學(xué)之起點(diǎn)

了解學(xué)情，是備課的起點(diǎn)，是課堂教學(xué)的起點(diǎn).對(duì)于“確定物體的位置”這部分內(nèi)容，筆者了解到學(xué)生早在小學(xué)四年級(jí)就已初步感受、六年級(jí)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí).對(duì)于初中教材中指出的兩種方法：有序數(shù)對(duì)法，方向、距離法，小學(xué)教材中已經(jīng)詳細(xì)介紹過，學(xué)生也都能通過實(shí)例理解有序數(shù)對(duì)中的“有序”；都能度量方位角，結(jié)合比例尺用方向、距離表示物體的位置.通過提前讓學(xué)生先做課后練習(xí)的情況來看，學(xué)生的確掌握得不錯(cuò).八年級(jí)學(xué)生再次面對(duì)“似曾相識(shí)”的知識(shí)，“如何激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣？如何提升對(duì)數(shù)對(duì)的認(rèn)識(shí)？”以實(shí)現(xiàn)對(duì)同一概念在不同時(shí)期的認(rèn)識(shí)，呈現(xiàn)螺旋上升的態(tài)勢(shì)，是課堂教學(xué)必須要突破的問題.

二、認(rèn)識(shí)教材，探尋教材編寫之意圖

針對(duì)這部分內(nèi)容，小學(xué)已在兩個(gè)不同年級(jí)學(xué)習(xí)過，為什么在八年級(jí)又重新編排這個(gè)內(nèi)容呢？筆者做了細(xì)致的分析和思考.首先，從教學(xué)內(nèi)容上看，這節(jié)內(nèi)容應(yīng)該是后繼學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”“一次函數(shù)”的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)知識(shí)是生活實(shí)際高度抽象的結(jié)果，平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)，以及函數(shù)的圖像亦如此.所以這節(jié)課應(yīng)該是小學(xué)內(nèi)容與平面直角坐標(biāo)系的“跳板”.其次，從學(xué)生的知識(shí)水平上看，八年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)早已從小學(xué)里的非負(fù)有理數(shù)拓寬到實(shí)數(shù)范圍，對(duì)于有序數(shù)對(duì)下的“數(shù)”也不例外，在有序?qū)崝?shù)對(duì)的背景下尋求突破，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一個(gè)支點(diǎn)，讓學(xué)生有老歌新唱的感覺.再次，從學(xué)生技能發(fā)展角度看，在數(shù)軸、不等式解集等知識(shí)背景下，學(xué)生不斷地接受著“數(shù)形結(jié)合”思想方法的“熏陶”，本節(jié)內(nèi)容將是接受這一重要思想方法“熏陶”的契機(jī)，使學(xué)生感受兩者結(jié)合之美妙.最后，用發(fā)展的眼光看，在日后解決問題的過程中，常常要建立平面直角坐標(biāo)系，學(xué)生需要積累為什么要建系以及怎么建系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的教學(xué)需要給學(xué)生積累這樣的學(xué)習(xí)起點(diǎn).可見教材通過拉長學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，從實(shí)例到抽象，讓學(xué)生的認(rèn)知水平從點(diǎn)點(diǎn)滴滴到涓涓細(xì)流再到江河湖泊，體現(xiàn)了知識(shí)、能力的螺旋上升的有序進(jìn)階，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).

三、努力踐行，探尋化理想為現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)

1.教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)如下所示.

（1）探索確定平面上物體位置的方法.

（2）經(jīng)歷用有序?qū)崝?shù)對(duì)、方向和距離表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置和由點(diǎn)寫出相應(yīng)數(shù)對(duì)的過程，體會(huì)、加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).

（3）體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)如下所示.

（1）探索在平面上確定物體位置的方法.

（2）經(jīng)歷數(shù)對(duì)從整數(shù)對(duì)到實(shí)數(shù)對(duì)的體驗(yàn)過程.

教學(xué)難點(diǎn)如下所示.

（1）在小學(xué)的基礎(chǔ)上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣，激發(fā)學(xué)生的求異思維.

（2）經(jīng)歷數(shù)對(duì)從整數(shù)對(duì)到實(shí)數(shù)對(duì)的體驗(yàn)過程，探索不同的方法確定物體的位置.

2.教學(xué)部分實(shí)錄及點(diǎn)評(píng)

片斷1：導(dǎo)入新課.

開場白：同學(xué)們，在小學(xué)我們就已經(jīng)學(xué)過確定物體位置的方法了，在你身邊一定聽過、看過、經(jīng)歷過需要我們?nèi)ゴ_定物體位置的例子，我們的生活離不開它，因?yàn)樗匾?，所以這節(jié)課我們繼續(xù)來探索確定物體位置的方法.

意圖：生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)離不開生活，開門見山，老師加重探索的語氣，直接揭題.

片斷2：開啟探索方向.

通過課本做一做1和2，簡要回顧小學(xué)的有序數(shù)對(duì)法.

做一做2中，棋子都是落在格點(diǎn)上的，如果棋子不是落在格點(diǎn)上，而是落在方格子內(nèi)，我們又該怎么用有序數(shù)對(duì)描述它的位置呢？

意圖：通過“做一做”，首先通過回憶喚醒舊的認(rèn)知，同時(shí)也為下面的探索之路墊定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).“如果棋子不在格點(diǎn)上，而是落在方格內(nèi)，我們?cè)趺疵枋鏊奈恢?？”這個(gè)問題的提出，讓學(xué)生的心理處在“憤、悱”狀態(tài)，開啟了探索方向，讓學(xué)生感到再也不是簡單的知識(shí)再現(xiàn)，激起他們的求知欲，為實(shí)數(shù)對(duì)的“到來”提供了良好的開端，為過點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線段提供了必要的“土壤”.

片斷3：有序數(shù)對(duì)的拓展.

圖1是某市局部示意圖（各地點(diǎn)用點(diǎn)表示），請(qǐng)借助刻度尺完成下面的問題.規(guī)定列在前，行在后.（比例尺1∶400 000）

問題1：請(qǐng)用有序數(shù)對(duì)的方法描述圖中石梁中學(xué)的位置.

生1：（3，4）.

師：3、4這兩個(gè)數(shù)是怎么得到的？

生2：順著網(wǎng)格線，我可以找到3和4這兩個(gè)數(shù).

圖1

圖2

圖3

問題2：圖1中的白云山的位置又該如何用有序數(shù)對(duì)表示？

課堂上，通過類比處在格點(diǎn)上的石梁中學(xué)的位置的確定方法，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)由白云山出發(fā)也可以作兩條垂線段，得到它的行與列所對(duì)應(yīng)的數(shù)，如圖2.

師：我們發(fā)現(xiàn)過白云山這個(gè)點(diǎn)向東西方向的線作垂線，垂足在4-5之間，它一定不是整數(shù)，可能是什么數(shù)？

生3：是小數(shù).

生4：可能是無理數(shù)，4與5之間有無理數(shù).師：太好了，總之都可以看成什么數(shù)？生眾：肯定是一個(gè)實(shí)數(shù).

師：這樣我們發(fā)現(xiàn)，我們的數(shù)對(duì)不一定都是小學(xué)里顯而易見的整數(shù)對(duì)，而是實(shí)數(shù)對(duì)了，顯然我們的視野更寬了.

師：如果老師隱藏網(wǎng)格，對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)，你能表示它的位置嗎？

生5：通過這個(gè)點(diǎn)作過參照點(diǎn)東西方向的垂線段，得到水平距離；然后作過參照點(diǎn)南北方向的垂線段，得到豎直距離.然后按規(guī)定書寫，最后描述，如圖3.

意圖：由石梁中學(xué)到白云山，借助學(xué)生熟悉的實(shí)例，從特殊點(diǎn)位置的確定到一般任意點(diǎn)的確定，實(shí)現(xiàn)了從整數(shù)對(duì)到實(shí)數(shù)對(duì)的成功提升.

片斷4：探索提升1.

師：剛才老師是以點(diǎn)O為參照點(diǎn)標(biāo)記行與列的，那么如果我不以點(diǎn)O為參照點(diǎn)，把點(diǎn)O移到點(diǎn)O′，過點(diǎn)O′作水平線，然后過點(diǎn)O′作它的垂線，把點(diǎn)O′標(biāo)記為0，由數(shù)軸可知：0的右邊為正方向，依次標(biāo)記第1、2、3列，0的左邊為-1列，同樣豎直方向上0的上面依次標(biāo)記第1行、第2行，…，0的下面標(biāo)-1行，如圖4所示，此時(shí)石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對(duì)又可表示為什么？

圖4

圖5

圖6

生齊答：（1，2）.

師：這是老師的方法，你也可以確立自己的參照點(diǎn)，看看在你的參照點(diǎn)下又可用怎樣的有序數(shù)對(duì)表示石梁中學(xué)的位置.

生6：如圖5所示，得到石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對(duì)表示為（-2，-2）.

生7：如圖（圖略），得到石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對(duì)表示為（-3，2）.

師：為什么同樣是石梁中學(xué)的位置，可是表示出來的結(jié)果卻不一樣呢？

生眾：參照點(diǎn)不同.

師：這說明：我們?cè)谟糜行驍?shù)對(duì)確定物體的位置時(shí)，首先要做什么？

生眾：首先要確定參照點(diǎn).師：現(xiàn)在再來看另一同學(xué)的，他還是以原來的參照點(diǎn)為參照點(diǎn)，但是他標(biāo)記的行與列是用什么數(shù)標(biāo)記的？如圖6，此時(shí)石梁中學(xué)的位置怎么表示？

生8：用小數(shù)標(biāo)記的，可表示為（1.5，2.0）.

意圖：在多媒體的演示幫助下，結(jié)合數(shù)軸，學(xué)生很順暢地理解用負(fù)數(shù)標(biāo)記行與列，繼而得到用負(fù)數(shù)對(duì)表示物體的位置.學(xué)生在參照點(diǎn)不同的選取中，在不同的單位長度下，感受著同一位置有著不同的表示方法，感受著數(shù)對(duì)的擴(kuò)充.學(xué)生通過這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅感受著數(shù)系的擴(kuò)充對(duì)點(diǎn)的位置的影響，更在解決問題的過程中，積累建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，選取適當(dāng)?shù)膯挝婚L度的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).從理解數(shù)學(xué)的角度看，這一教學(xué)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)王國里，變中有不變、不變中有變的辯證思想，體現(xiàn)了數(shù)和形的和諧統(tǒng)一.

師：在剛才這位同學(xué)的建法下，如圖6所示，假如七里鄉(xiāng)用有序數(shù)對(duì)表示為（2.5，0.5），請(qǐng)你在圖中找到七里鄉(xiāng)的位置，并說說你是怎么做的.

生9：2.5表示它在第2.5列，通過第2.5列處往上可以作一條豎直的射線，然后根據(jù)它在第0.5行，通過第0.5行作一條水平的向右射線，兩線的交點(diǎn)就是七里鄉(xiāng)的位置.（投影展示）

師：看來兩線相交也能確定一個(gè)點(diǎn)的位置.

意圖：前面的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)都是通過數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置，是由“形”定“數(shù)”的過程，這一環(huán)節(jié)是由數(shù)對(duì)描繪點(diǎn)所在的位置，由“數(shù)”找“形”，從另一視角體現(xiàn)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，暗隱著平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這也為數(shù)學(xué)方法“交軌法”種下了“一顆種子”.

片斷5：探索提升2.

借助課本做一做3簡要復(fù)習(xí)用方向、距離表示物體位置的相關(guān)知識(shí).

問題：如圖7所示的石梁中學(xué)相對(duì)于衢州城的位置怎樣描述？衢州城相對(duì)于石梁中學(xué)呢？（比例尺1∶400 000）

意圖：復(fù)習(xí)也是完善確定點(diǎn)的位置的方法（是極坐標(biāo)系的“種子”）.在變式中，體會(huì)改變參照點(diǎn)，相應(yīng)地用方向和距離確定物體的位置時(shí)結(jié)果也不一樣，落實(shí)課標(biāo)中的相對(duì)性.

片斷6：歸納總結(jié).

師：你認(rèn)為這兩種確定點(diǎn)的位置的方法有什么共同點(diǎn)、不同點(diǎn)嗎？

生10：都要先確定參照點(diǎn)、要度量兩個(gè)數(shù)據(jù)，還要規(guī)定順序.一個(gè)是用兩數(shù)來表示，一個(gè)是用數(shù)和角度.

師：與小學(xué)相比，你有什么新的收獲？

生11：把小學(xué)中的有序整數(shù)對(duì)拓展到初中的有序?qū)崝?shù)對(duì).

圖7

生12：小學(xué)里的參照點(diǎn)都是固定的，而初中里對(duì)平面內(nèi)的物體，可以考慮選擇不同的參照點(diǎn)，標(biāo)記不同的行與列，對(duì)同一個(gè)物體的位置，就會(huì)有不同的表示方法.

意圖：在比較中歸納出兩種方法的聯(lián)系與區(qū)別，挖掘共性，分離個(gè)性，解剖個(gè)性，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在對(duì)比中得以提升.培養(yǎng)學(xué)生反思、總結(jié)的習(xí)慣和能力.

四、幾點(diǎn)實(shí)踐之感

1.理解數(shù)學(xué)，保障數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的前提

本節(jié)課是對(duì)小學(xué)所學(xué)知識(shí)的延伸與拓展.針對(duì)這個(gè)內(nèi)容，課標(biāo)對(duì)小學(xué)的要求：（1）了解比例尺，在具體情境中，會(huì)按給定的比例進(jìn)行圖上距離與實(shí)際距離的換算；（2）能根據(jù)物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置；（3）會(huì)描述簡單的路線圖；（4）在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上的點(diǎn)對(duì)應(yīng).課標(biāo)對(duì)初中的要求：（1）結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會(huì)有序數(shù)對(duì)可以表示物體的位置；（2）在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個(gè)物體的相對(duì)位置.

課前我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)課標(biāo)對(duì)小學(xué)和初中不同學(xué)段的要求；細(xì)心研讀小學(xué)教材，仔細(xì)解答小學(xué)練習(xí)和作業(yè)中的每一道題，體會(huì)小學(xué)教材對(duì)學(xué)生的要求.從宏觀與微觀上精讀本節(jié)、本課時(shí)教材在知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的價(jià)值，分析它在整冊(cè)乃至整套教材中的編排地位與作用.出于這些考慮，筆者把本堂課的目標(biāo)牢牢鎖定在4個(gè)字上——“探索、提升”.

兩種確定物體位置的方法中，有序數(shù)對(duì)法對(duì)初中階段尤為重要，因?yàn)樗呛罄m(xù)學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).為了使學(xué)生透徹掌握這種方法，筆者在教學(xué)時(shí)先用這一方法講，所以在探索提升1中表示石梁中學(xué)的位置時(shí)，規(guī)定學(xué)生只用有序數(shù)對(duì)法表示，在透徹掌握這一種方法后，學(xué)生很自然地把學(xué)習(xí)方法遷移到另一種方法上，探索提升2環(huán)節(jié)中，課堂上學(xué)生一個(gè)個(gè)會(huì)意的微笑、眉宇間所流露出的那份自信與欣喜，無不證明了這一正確做法.

2.理解教學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的保障

知識(shí)是螺旋上升的，試想本堂課若僅僅停留在讓學(xué)生不斷地操練用兩種方法表示物體位置上，學(xué)生會(huì)覺得小學(xué)時(shí)就已學(xué)過，產(chǎn)生厭煩感.當(dāng)然也不能過度拔高，如一開始的網(wǎng)格圖筆者有意隱去了相應(yīng)的正方向，避免了把平面直角坐標(biāo)系知識(shí)置前.另外在選擇不同參照點(diǎn)表示石梁中學(xué)的位置時(shí)，筆者都是把它放置在網(wǎng)格中探討，這樣既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，也凸顯了本堂課“探索”的目標(biāo).在正確目標(biāo)的指引下，備課時(shí)才有可能想學(xué)生所想，課堂教學(xué)中才能真正做到“到位”而不“越位”，學(xué)生才能在輕松快樂中一步步達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

課標(biāo)告訴我們：課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的生活，有利于學(xué)生體驗(yàn)、思考與探索.為此，本堂課筆者以學(xué)生所在的學(xué)校位置作為探索題材，既豐富了教材的內(nèi)涵，又延伸了教材的教育功能.課標(biāo)還指出：內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，生活化、情境化與知識(shí)系統(tǒng)性的關(guān)系，整堂課上，筆者給足了探索時(shí)間，學(xué)生在探索過程中才步步為營，美不勝收.

3.理解學(xué)生，確立數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本

課堂上，當(dāng)老師拋出問題而學(xué)生不知所措時(shí)，我們應(yīng)該以我們的仁愛靜待花開.比如課堂上，當(dāng)學(xué)生完成做一做1與2后，老師請(qǐng)學(xué)生回顧小學(xué)期間用有序數(shù)對(duì)法確定物體位置的步驟時(shí)，學(xué)生一下子不知所措，老師一句：“沒關(guān)系，我們先進(jìn)行下面的學(xué)習(xí)，等下我們一起解決這個(gè)問題”，一下子拉近了師生間的距離，讓學(xué)生感受到了老師的溫暖.再如：當(dāng)學(xué)生確定白云山位置遇到困難時(shí)，老師及時(shí)追問：你認(rèn)為確定白云山的位置比確定石梁中學(xué)的位置難在哪里？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)白云山不在格點(diǎn)上.通過老師有效的追問，學(xué)生的遷移能力悄無聲息地得以提升——把格點(diǎn)上的做法牽移到非格點(diǎn)上，思維頓時(shí)開朗；而從特殊的格點(diǎn)位置到任意位置的確定，從特殊到一般的思想也在無聲地向?qū)W生滲透著，學(xué)生在思想方法的推動(dòng)下自我前行.

4．理解反思、探尋數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的不足

每一次的課堂總給我們留下點(diǎn)兒遺憾.比如，教材中提到的“在一定范圍內(nèi)每一個(gè)有序數(shù)對(duì)就能確定一個(gè)物體的位置”，倘若在課堂中揭示有序數(shù)對(duì)與平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)之后，與學(xué)生一起探討解讀，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)自變量的范圍時(shí)，再次回憶起這個(gè)內(nèi)容，那又是怎樣的欣喜呢？所以唯有更加深入地鉆研我們的教材與課標(biāo)，才可以知道更多，了解更充分，才能把課堂真正還給學(xué)生.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.姜鴻雁.追求自然生長的課堂教學(xué)——聽“平方差公式”有感［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（9）.Z探究解題思路的工具，尤其在很多應(yīng)用題中應(yīng)用十分廣泛.在教學(xué)中，我們不能僅停留在就題解題的教學(xué)層面上，應(yīng)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行長期鋪墊.因?yàn)?，線段圖實(shí)際上就是初中階段數(shù)軸的原始狀態(tài)，學(xué)生在作線段圖的過程中，能感知到線段的長短和題目中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，雖然沒有呈現(xiàn)單位長度和正方向，但他們?cè)跓o形中已經(jīng)積累下了“缺少單位長度和正方向的數(shù)軸”的經(jīng)驗(yàn).對(duì)數(shù)軸的學(xué)習(xí)來說，畫線段圖無疑是極為寶貴的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在展開學(xué)習(xí)前應(yīng)采取有效方式加以喚醒.