涉及輕桿的彈力判斷

陳天瑜

一、輕桿的彈力方向

例1 ?如圖1所示，水平輕桿的一端固定在墻上，輕繩與豎直方向的夾角為[37°]. 小球的重力為12N，繩子的拉力為10N，水平輕彈簧的拉力為9N. 求輕桿對小球的作用力.

[圖1]

解析 ?以小球為研究對象，受力分析如圖2所示，小球受四個力作用：重力、繩子的拉力、彈簧的拉力、輕桿的作用力. 其中輕桿的作用力的方向不能先確定，根據(jù)題目告訴的已知條件，可以先求重力、彈力、輕繩的拉力三者的合力，有[F=G2+F21-F2]=5N[圖2]

方向與豎直方向成[37°]斜向下，此力與輕繩的拉力恰好在同一直線上. 根據(jù)物體平衡的條件，可知輕桿對小球的作用力大小也為5N，方向與豎直方向成[37°]斜向上.

點撥 ?由于輕桿作用力的方向具有多向性的特點，可以先確定其它力的合力，然后再根據(jù)牛頓第二定律，判定輕桿作用力的大小和方向.

桿對其上物體還可以產(chǎn)生橫向作用力，桿對桿上物體的彈力方向不一定沿桿向. 如圖3所示，桿對球的彈力方向隨小車沿水平的加速度大小不同而異.

圖3

再如圖4所示，小球[A、B]分別固定在輕桿的中點和右端，左端連在天花板下的光滑鉸鏈[O]上. 現(xiàn)將輕桿由靜止釋放，則在擺下的過程中，桿對兩球的作用力就不一定沿桿向. 可以先將桿設(shè)想成不產(chǎn)生彈力的柔性軟繩，再將兩球和繩同時自由釋放，經(jīng)小段時間，二者豎直下落相同距離（如圖中虛線位置）.

圖4

相對以鉸鏈[O]為中心的圓運動徑向，右端球[B]落后了，如果軟繩是剛性輕桿，則會對球[B]產(chǎn)生垂直桿向作用，將球[B]拉到[OA]所在同一直線上. 這也說明了桿的作用力對球[B]做了正功，對球A做了負(fù)功.

還可以設(shè)想成[A、B]是兩個擺長分別為[L、2L]彼此獨立的單擺，根據(jù)單擺微振動時的周期公式知，[A]擺的周期較短，粗略定性比較知，輕桿釋放后沿圓周徑向，球[A]將企圖超前，球[B]滯后，故桿對[A]產(chǎn)生垂直桿向后作用，對[B]產(chǎn)生垂直桿向前作用.

二、輕桿的彈力大小

與輕繩不同，輕繩只能提供拉力，輕桿既可以提供拉力，又可以提供推力，或其他任意方向的力. 故桿的彈力要根據(jù)平衡條件或牛頓運動定律間接求解.

例2 ?如圖5所示，小車上固定一彎折硬桿[ABC]，[C]端固定質(zhì)量為[m]的小球，[α=30°]. 當(dāng)小車水平向左以[v]=0.5m/s的速度勻速運動時，[BC]桿對小球的作用力的大小是 ? ? ，方向是 ? ? ?;當(dāng)小車水平向左以[a=g]勻加速運動時，[BC]桿對小球的作用力的大小是 ? ? ，方向是 ? ? ? ? . [圖5]

解析 ?細(xì)桿可以產(chǎn)生與桿垂直的橫向的力，也可以產(chǎn)生與桿任何夾角的彈力.

當(dāng)小車水平向左以[v]=0.5m/s的速度勻速運動時，由平衡條件可知，細(xì)桿對小球的力必定與重力等大反向，即桿對小球作用力大小為[mg]，方向豎直向上，如圖6甲所示.

當(dāng)小車水平向左以[a=g]勻加速運動時，小球所受合力[∑F=mg]，沿水平方向，則小球受細(xì)桿的彈力[FN=2mg]，與水平方向夾角為[45°]，如圖6乙所示.

[甲][乙]

圖6

點撥 ?繩或桿拉小球運動到最低點時，彈力方向都向上，力的作用相同. 但繩拉小球運動到最高點時，繩的彈力方向向下;桿拉小球運動到最高點時，桿的彈力方向可以向上、向下或為零，這是有區(qū)別的.

對細(xì)桿來說，它的彈力既可能向上又可能向下，方向和大小都取決于速度大小[v]的取值. 其它如桿連球、球在環(huán)內(nèi)或管內(nèi)運動等情況也一樣. 如圖7所示，桿對小球的彈力為向下、向上、恰好為零三種情況.

[甲 ?乙 ?丙]

圖7

當(dāng)[F+mg=mv2R>mg]時， [v>gR]，彈力必然是向下的，[F=mv2R-mg]，如圖7甲所示;

當(dāng)[mg-F=mv2R

當(dāng)[mg=mv2R]時，[v=gR]，彈力恰好為零，如圖7丙所示.

注意，高度的最高（低）點，具有數(shù)學(xué)意義，通常被稱為“幾何最高（低）點”;從物理學(xué)角度而言，速度最小（大），稱為“物理最高（低）點”. 一般情況下，在“幾何最高（低）點” 速度相應(yīng)最?。ㄗ畲螅c“物理最高（低）點”重合. 當(dāng)然，也有因為其它力的作用，如電場力等，會使物體物理最值點與幾何最值點位置錯開的情況.