非連續(xù)治療策略對(duì)SIRS生態(tài)模型的影響

熊書(shū)琴,張道祥

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

非連續(xù)治療策略對(duì)SIRS生態(tài)模型的影響

熊書(shū)琴,張道祥

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

摘要：文章研究了具非連續(xù)治療策略的傳染病模型，在合理的猜想之下，通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)證明了模型在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于平衡點(diǎn)，當(dāng)R0>1時(shí)，建立一個(gè)Lyapunov函數(shù)來(lái)證明系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于地方病平衡點(diǎn)；當(dāng)R0<1時(shí)，同樣證明了系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于無(wú)病平衡點(diǎn).所得的結(jié)果改進(jìn)和擴(kuò)展了文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論.

關(guān)鍵詞：非連續(xù)治療策略；SIRS模型；非線(xiàn)性；全局收斂

0引言

傳染病的傳播與治療，一直是生態(tài)環(huán)境學(xué)和醫(yī)學(xué)界十分關(guān)注的對(duì)象[1-6]，例如：禽流感，艾滋病，埃博拉病毒等都是近幾年來(lái)對(duì)人類(lèi)造成極大傷害的傳染病，那么這些傳染病是否會(huì)繼續(xù)危害人類(lèi)的健康還是會(huì)得到控制呢？在生物學(xué)上，為了研究這類(lèi)問(wèn)題，建立了一類(lèi)SIRS生態(tài)模型，這是一種常見(jiàn)的傳染病模型.為了消除人口中所存在的這些疾病，就需要采取相應(yīng)的治療策略,如注射疫苗、隔離、藥物治療等等[7-10].由于治療資源的有限以及治療強(qiáng)度的不同，治療過(guò)程經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)中斷，這對(duì)傳染病的治療造成了極大的影響，這種情況稱(chēng)為非連續(xù)治療策略.下面以一個(gè)具有非連續(xù)治療策略的生態(tài)模型為基礎(chǔ)，利用數(shù)學(xué)中的微分方程相關(guān)理論，來(lái)研究傳染病的治療情況.

1SIRS傳染病模型

受到徐瑞[1]和鄒[10]的影響，考慮一個(gè)具有非連續(xù)治療策略和時(shí)滯的SIRS模型：

(1)

其中S(t),I(t),R(t)分別表示t時(shí)刻人口中易感染者、染病者及移出者的數(shù)量；參數(shù)μ1,μ2,μ3∈(0,1)分別表示易感染者的死亡率、染病者的死亡率及移出者的死亡率，且μ1≤min{μ2,μ3}；參數(shù)A和γ分別表示對(duì)時(shí)間的輸出率和染病者的康復(fù)率；ε表示由疾病引起的死亡率；染病率λSI/(1+αI)是非線(xiàn)性的[10]，λ為染病系數(shù)；τ>0表示治愈者的免疫期.函數(shù)h(I)表示治療對(duì)疾病的影響率，假設(shè)h(I)滿(mǎn)足：

(H1)：h(I)=φ(I)I，其中φ:R+→R+是一個(gè)非減函數(shù)且在每個(gè)緊致區(qū)間內(nèi)至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn).

在(H1)成立時(shí)，h(I)可能存在一些跳躍間斷點(diǎn).

注：不失一般性，假設(shè)φ在0處是連續(xù)的，否則，定義φ在0處的值為φ(0+)，無(wú)論是哪種情況都有h(0)=0，并且對(duì)系統(tǒng)(1)的討論沒(méi)有任何影響.

下面給出系統(tǒng)(1)的初始條件：

S(τ)=S0≥0,I(τ)=I0≥0,R(τ)=R0.

(2)

如果一個(gè)向量函數(shù)(S(t),I(t),R(t)),t∈[τ,T],T∈(τ，+∞]在[τ,T)的任何子區(qū)間[t1,t2]上都是絕對(duì)連續(xù)的，且對(duì)幾乎所有的t∈[τ,T],(S(t),I(t),R(t))都滿(mǎn)足下面的微分包含：

(3)

(4)

其中m(t)滿(mǎn)足下列條件：

(i)m(t)是除[τ,T)內(nèi)一系列零測(cè)度集以外的，由(S(t),I(t),R(t))唯一確定的測(cè)度函數(shù)；

(ii)當(dāng)且僅當(dāng)(S(t),I(t),R(t))對(duì)所有的t∈[τ，T)都連續(xù)可微時(shí)，m(t)對(duì)所有的t∈[τ,T)都是連續(xù)的.

2有限時(shí)間內(nèi)全局收斂

為了證明全局收斂性，我們需要考慮下面幾個(gè)假設(shè)：

(H2)：假設(shè)R0>1,φ(I)在I*處有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，此處取

(H3):h:R+→R+是一個(gè)非單減函數(shù)，且在每個(gè)緊致區(qū)間至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，此外h(0)=0，但h(I)在I=0處不連續(xù).

下面我們給出一個(gè)引理，這個(gè)引理有利于后面有限時(shí)間內(nèi)全局收斂的證明.

(S(t),I(t),R(t))=(S*,I*,R*)，其中

證明令x(t)=S(t)-S*,y(t)=I(t)-I*,z(t)=R(t)-R*，則對(duì)幾乎所有的t∈[τ,T)，式(3)轉(zhuǎn)化為

(5)

(6)

構(gòu)造下面的Lyapunov函數(shù)

-μ1x2+βλ(η(t)-η*)x-β(η(t)-η*)2=

根據(jù)上式我們選取充分小的β>0使得4μ1-βλ2>0即可.由假設(shè)(H2)知，當(dāng)(x(t),y(t),z(t)≠(0,0,0))時(shí),(η(t)-η*)2≥θ2.因此，對(duì)幾乎所有的t∈{t:(x(t),y(t),z(t))≠(0,0,0)}有

上式兩邊從τ到t積分得

最后來(lái)證系統(tǒng)(1)也在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于無(wú)病平衡點(diǎn)E0(A/μ1,0,0).

(7)

(8)

為了證明定理，我們引入一個(gè)Lyapunov函數(shù)

易證V2(x(t),I(t),R(t))是一個(gè)正則函數(shù)，V2(x(t),I(t),R(t))>0對(duì)任意的(x,I,R)≠0，而V2(0,0,0)=0.當(dāng)x→+∞(或I→+∞或R→+∞)時(shí)，V2(x,I,R)→+∞.對(duì)函數(shù)V2(x(t),I(t),R(t))兩邊求導(dǎo)得：

由假設(shè)(H3)知η(t)≥h(0+)，又R0<1，μ1(μ1+μ2+ε)-Aλ>0,那么有

上式兩邊從τ到t求積分可得

注：當(dāng)δ=α=0時(shí)，就得到了文獻(xiàn)[10]中所討論的模型，而在這里通過(guò)構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)同樣證明[10]中所討論的問(wèn)題.

3結(jié)論

1) 定理1-2證明了模型(1)的所有解都在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于其平衡點(diǎn)E0和E*,即滿(mǎn)足模型(1)的傳染病都將得到控制.

2) 傳染病的傳播在生態(tài)學(xué)上講是一個(gè)十分復(fù)雜的情形，通常我們將其歸化為數(shù)學(xué)上的微分方程問(wèn)題來(lái)考慮，利用相關(guān)的微分方程知識(shí)來(lái)處理它的解的問(wèn)題.本文主要通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來(lái)討論傳染病模型解的收斂性，這是研究這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法.

3) 從數(shù)學(xué)理論上講，模型(1)是對(duì)以往的傳染病模型的推廣，綜合考慮了傳染病傳播過(guò)程中可能受到的大部分影響因素，得到了較好的結(jié)論，對(duì)傳染病的研究有了一定的推廣.

參考文獻(xiàn):

[1] Xu R, Ma Z E, Wang Z P. Global stability of a delayed SIRS epidemic model with saturation incidence and temporary immunity[J]. Computers and Mathematics with Applications,2010,59(9):3211-3221.

[2] 李玉潔,張道祥.具有變時(shí)滯的五種Lotka-Volterra混合系統(tǒng)的正周期解[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(3):433-439.

[3] Dong R R, Zhang D X, Yin H Y. Periodic solutions for a delayed ratio-dependent three-species predator-prey diffusion system with the Beddington-DeAngelis functional response[J]. Journal of Biomathematics,2012,27(2):213-223.

[4] 尹紅云,董冉冉,張道祥.一類(lèi)具有飽和發(fā)病率與暫時(shí)棉衣的時(shí)滯SIRS模型的局部穩(wěn)定性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35(2):115-118.

[5] Lv X, Yan P, Lu S P. Existence and global attractivity of positive periodic solution of competitor-competitor-mutualist Lotka-Volterra systems with deviating arguments[J]. Mathematical and Computer Modelling,2010,51(5-6):823-832.

[6] 趙金慶,劉茂省,馬揚(yáng)軍,等.帶有雙時(shí)滯的隨機(jī)SI傳染病模型的穩(wěn)定性與分岔[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2013,34(12):1300-1310.

[7] Baciotti A, Ceragioli F. Stability and stabilization of discontinuous systems and non-smooth Lyapunov function[J]. ESAIM Control Optim Calc Var,1999,4:361-376.

[8] Baciotti A,Conti R, Marcellini P. Discontinuous ordinary differential equations and stabilization[M].Firenze: Universita di Firenze,2000.

[9] Forti M, Grazzini M, Nistri P,etal. Generalized Lyapunov approach for convergence of neural networks with discontinuous or non-Lipschitz activations[J]. Phys D:Nonlinear phenomena,2006,214(1):88-99.

[10] Guo Z Y, Huang L H, Zou X F. Impact of discontinuous treatments on disease dynamics in an SIR epidemic model[J]. Mathematical Biosciences and Engineering,2012,9(1):97-110.

[11] Filippov A F. Differential equations with discontinuous righthand sides[J]. Mathematicheskii Sbomik, 1960,93(1):99-128.

[12] Cellina J P A A, Aubin J-P. Differential inclusions: set-valued maps and viability theory[M]. Acta Applicandae Mathematica, 1986, 6(2): 215-217.

Received date：2014-09-26

Fourdation item：Supported by Scientific Research Fund of Zhejiang Provincial Education Department(13LXSTL0001201326696).

Impacts of Discontinuous Therapy Strategy on SIRS Ecological Model

XIONG Shuqin， ZHANG Daoxiang

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

Abstract:A SIRS epidemic model with discontinuous therapy strategy is proposed in this paper. Under some reasonable suppositions, it is proved that the model achieves global convergence to the equilibrium point in finite time by Lyapunov function. If R0>1, a corresponding Lyapunov function is established to prove the system achieves global convergence to the endemic equilibrium in finite time. If R0<1, it is also proved that the system achieves global convergence to the disease free equilibrium in finite time. The results improve and extend the corresponding conclusions in the literature.

Key words:discontinuous therapy strategy; SIRS model; nonlinear; global convergence

Corresponding author：MA Guochun(1973—),male, lecturer, PhD, majored in nonlinear numerical analysis and non-smooth optimization. E-mail:maguochun@163.com

通信作者：張道祥(1979—)，男，副教授，博士，主要從事微分方程理論及應(yīng)用研究.E-mail：18955302433@163.com

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11302002);數(shù)學(xué)天元青年基金項(xiàng)目(11126237);安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2011SQRL022ZD).

收稿日期：2014-09-24

文章編號(hào):1674-232X(2015)02-0145-05

中圖分類(lèi)號(hào):O175.1MSC2010: 34K13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.02.006