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    一道遞推數(shù)列通項(xiàng)的多解探究

    2023-09-15 20:57:15雷譽(yù)
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)歸納法通項(xiàng)公式構(gòu)造法

    摘 要:本文從一道求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題展開(kāi)深入研究,主要從數(shù)學(xué)歸納法、迭代法、構(gòu)造法和累加法進(jìn)行認(rèn)識(shí)和改進(jìn).

    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)公式;數(shù)學(xué)歸納法;迭代法;構(gòu)造法;累加法

    中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1008-0333(2023)22-0098-03

    數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題在各種考試中經(jīng)常出現(xiàn).在大多數(shù)數(shù)列問(wèn)題中,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵,也是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ).此類問(wèn)題的出題方式靈活多變,解法也多種多樣.對(duì)于既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,我們需要根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn),選擇合適的方法進(jìn)行求解.

    數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)的一種重要方法.通過(guò)數(shù)列的初始值和遞推公式依次計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng),要注意項(xiàng)的表示形式能夠反映其規(guī)律性,便于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,主要考查學(xué)生的觀察、猜想和歸納的合情推理能力.

    迭代法是解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的通用方法,尤其是已知相鄰項(xiàng)的遞推關(guān)系式時(shí)十分有效,利用數(shù)列的遞推關(guān)系式依次輾轉(zhuǎn)代入,發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與序號(hào)之間的變化規(guī)律,最終轉(zhuǎn)化為第n項(xiàng)和第一項(xiàng)的關(guān)系.

    構(gòu)造法就是根據(jù)題目的條件和結(jié)論,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式來(lái)解決問(wèn)題的一種方法.

    利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),需要將已知的遞推關(guān)系式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?,整理成下一?xiàng)與上一項(xiàng)的差和項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,形如an+1-an=f(n),然后等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)累加,轉(zhuǎn)化為求f(n-1)+(n-2)+…+f(1)式子的和.

    本題中,p=2,q=3,a1=12,滿足a1-pq+1=0,所以an是等比數(shù)列,也就是這種巧合使本身錯(cuò)誤的解法得到了正確的答案.從中可以發(fā)現(xiàn):若數(shù)列an+an+1是公比不為±1等比數(shù)列,那么數(shù)列an是否也為等比數(shù)列取決于首項(xiàng).

    參考文獻(xiàn):

    [1] 郭建華.關(guān)注生之問(wèn) 探尋教之策:以一道數(shù)列通項(xiàng)題的求法為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2022(2):17-20.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

    收稿日期:2023-05-05

    作者簡(jiǎn)介:雷譽(yù)(1991.12-),女,湖北省咸寧人,本科,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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