一類由矩陣Kronecker積生成的分形與McMullen集的Lipschitz等價(jià)

單家俊，龍倫海，王司晨

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?570228)

一類由矩陣Kronecker積生成的分形與McMullen集的Lipschitz等價(jià)

單家俊，龍倫海，王司晨

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?570228)

首先闡述了利用矩陣Kronecker積迭代生成分形的方法， 與IFS迭代函數(shù)系生成的分形不同，基于矩陣Kronecker積迭代生成的分形與初始集的選擇有關(guān)，若其初始集為正方形，則生成的分形即為McMullen集；其次利用定比分點(diǎn)構(gòu)造了凸四邊形和扇環(huán)與正方形之間的雙Lipschitz映射，證明了如果將初始集由正方形換成任意一個(gè)凸四邊形或圓心角小于180°的扇環(huán)，則由矩陣Kronecker積迭代生成的分形與McMullen集具有Lipschitz等價(jià)性.

分形； McMullen集； Hausdorff維數(shù)； 雙Lipschitz映射

從幾何的角度看，McMullen集的生成相當(dāng)于在平面上對(duì)單位正方形的第一維邊進(jìn)行m等分，第2維邊n等分，把正方形分割為m×n個(gè)小的長方形，長方形的左下頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(i，j)，0≤i

利用矩陣Kronecker積的迭代，能生成一類嚴(yán)格分離的分形集. 與IFS迭代函數(shù)系生成的分形不同，基于矩陣Kronecker積迭代生成的分形與初始集的選擇有關(guān). 首先闡述了基于矩陣Kronecker積迭代生成分形的方法，其次利用定比分點(diǎn)構(gòu)造了正方形與凸四邊形、扇環(huán)之間的某種雙Lipschitz映射，使得利用矩陣Kronecker積迭代、初始集為凸四邊形或圓心角小于180°的扇環(huán)生成的分形集與McMullen集Lipschitz等價(jià)，進(jìn)而二者與McMullen集具有相同的Hausdorff維數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)Rn中的任意非空子集E，{Ui}為E的一個(gè)有限或可數(shù)個(gè)直徑不超過δ的覆蓋，E?∪Ui，則稱{Ui}為E的一個(gè)δ覆蓋. 設(shè)s≥0，稱

為E的Hausdorff測(cè)度，稱

dimHE=sup{s∶Hs(E)=∞}=inf{s∶Hs(E)=0}

為E的Hausdorff維數(shù).

C1d(x1,x2) ≤D(f(x1),f(x2)) ≤C2d(x1,x2)

成立，則稱f是雙Lipschitz映射. 對(duì)于雙Lipschitz映射，有以下引理成立：

引理1[2]如果f為雙Lipschitz映射，則dimHE=dimHf(E).

平面上凸四邊形和扇環(huán)中，利用定比分點(diǎn)容易得到以下性質(zhì).

性質(zhì)1 如圖1(a)，凸四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，DC的λ1分點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別是線段AD，BC的λ2分點(diǎn)，連接線段EF，GH交于點(diǎn)I，則點(diǎn)I分別是線段GH的λ1分點(diǎn)和線段EF的λ2分點(diǎn).

圖1 凸四邊形、扇環(huán)和三角形

對(duì)于平面上的三角形，有以下性質(zhì)成立.

為了證明本文的結(jié)論，還需要用到以下不等式.

性質(zhì)4 0≤λ≤1，0≤θ≤π，不等式1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)≥0成立.

證明令f(θ)=1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)，則

f ′(θ)=λsin(λθ)-λ2sinθ，

f ″(θ)=λ2(cos(λθ)-cosθ).

因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在[0，π]上是單調(diào)遞減，0≤λ≤1，所以cos(λθ)-cosθ≥0，故f ″(θ)≥0. 從而有f ′(θ)在[0，π]上是單調(diào)遞增，于是得到f ′(θ)≥f ′(0)=0，所以函數(shù)f (θ)在[0，π]上也單調(diào)遞增，故f(θ)≥f(0)=0，不等式得證.

2 基于矩陣Kronecker積迭代生成的分形

簡(jiǎn)寫為A?B=(aij·B)mp×nq.

由定義4可以看出，矩陣Kronecker積的運(yùn)算A?B本質(zhì)上是將矩陣B嵌入矩陣A元素的每一個(gè)位置并與其作數(shù)乘運(yùn)算，一般情況下A?B≠B?A. 記矩陣A的n次Kronecker積乘冪為A(n).

下面闡述基于矩陣Kronecker積迭代生成的分形方法，為簡(jiǎn)化起見，下文使用的矩陣元素均為0和1，元素非0和1的情況可以參考文獻(xiàn)[9]中定義矩陣的廣義Kronecker積.

設(shè)A=(aij)m×n為元素均為0和1且至少包含2個(gè)1的矩陣，其中m≥n≥2. 令A(yù)0=(1)為1階單位矩陣，?n=1,2,3,…，取

An=An-1?A=A(n)，

其中，?為矩陣的Kronecker積.

現(xiàn)在考慮更換迭代的初始集為凸四邊形或扇環(huán).

圖2 正方形、凸四邊形與扇環(huán)按照矩陣A 的第一次迭代

將在正方形與凸四邊形和扇環(huán)之間構(gòu)造雙Lipschitz映射，得到以下結(jié)論.

3 定理1的證明

下面構(gòu)造雙Lipschitz映射f和g.

如圖3所示，在正方形Ω0(A)中，將線段AB的λ1分點(diǎn)E與線段DC的λ1分點(diǎn)F相連，再將線段AD的λ2分點(diǎn)G與線段BC的λ2分點(diǎn)H相連，2條線段交于一點(diǎn)，記為(λ1，λ2).

圖3 雙Lipschitz 映射f和g

(1)

(2)

成立. 下面證明式(2)，式(1)證明可參考文獻(xiàn)[4].

圖4 扇環(huán)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

成立，于是g為雙Lipschitz映射.

證畢.

[1]McMullenC.TheHausdorffdimensionofgeneralSierpinskicarperts[J].NogayaMath.J.，1984，96：1-9.

[2]FalconerKJ.Fractalgeometry-mathematicalfoundationsandapplications[M].[S.l.]:JohnWiley, 2014.

[3]FalconerKJ.Fractalgeometry:mathematicalfoundationsandapplications[M].NewYork：JohnWilley&Sons, 2003.

[4] 奚李峰. 從平面幾何題中引申出的維數(shù)計(jì)算[J].浙江萬里學(xué)院學(xué)報(bào)，1999(4)：29-31.

[5] 朱志勇,文志雄. 一類廣義Sierpinski地毯的Huasdorff維數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué), 2011,24(2):360-365.

[6] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M].第2版.北京:清華大學(xué)出版社, 2013:71-74.

[7]LlorenteM,MattilaP.Lipschitzequivalenceofsubsetsofself-conformalsets[J].Nonlinearity, 2010, 23:875-882.

[8] 朱莉紅,陳紹明,龍倫海. 平面上廣義McMullen集的Hausdorff維數(shù)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(4)：320-324.

[9] 韓偉.Kronecker乘積生成分形圖形和放大圖像[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào),2011,16(2):49-52.

[10] 龍倫海,梁麗,朱莉紅. 由點(diǎn)矩陣的表示生成的分形矩陣的維數(shù)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2015,44(2):229-238.

Lipschitz Equivalence Between a Kind of Fractals Generated by Matrix Kronecker Product and McMullen Set

Shan Jiajun, Long Lunhai, Wang Sichen

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

In our report, the method of generating fractals based on the matrix iteration of Kronecker product was discussed. Different from the fractals generated by iterated function systems, the fractals generated by the matrix iteration of Kronecker product might be related to the choice of the initial set. If the initial set was square, the fractals were the McMullen set; The definite proportion and separated points were used to construct a bi Lipschitz map among convex quadrilateral, sector ring and square, and it was proved that if the initial set was changed from the square to an arbitrary convex quadrilateral or sector ring which central angle less than 180°，the fractals would be Lipschitz equivalent with McMullen set.

fractals; McMullen set; Hausdorff dimension; bi Lipschitz map

2015-06-08

國家自然科學(xué)基金(11461016)；海南省自然科學(xué)基金 (113003)

單家俊(1992-)，男，江西南昌人，2013 級(jí)碩士研究生，研究方向：分形幾何及其應(yīng)用，E-mail:15501863129@163.com

龍倫海(1965-)，男，重慶大足人，教授，博士，研究方向：分形幾何及其應(yīng)用，E-mail：13118900189@163.com.

1004-1729(2015)04-0299-06

O 174.12

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0053