C*代數(shù)斜多項式構(gòu)成的完備化空間

陳本菊

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

C*代數(shù)斜多項式構(gòu)成的完備化空間

陳本菊

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

C*代數(shù)里的元素構(gòu)成的多項式代數(shù)是不完備的,利用補充極限點使之完備化,即成為一個巴拿赫空間,文中證明了斜多項式代數(shù)的完備化空間構(gòu)成一個巴拿赫代數(shù),且也是一個C*代數(shù).

C*代數(shù);多項式代數(shù);完備化;等距同構(gòu)

令l1(,α)為P(,α)在這個范數(shù)下的完備化空間.若l1(,α)是C*代數(shù).則l1(,α)的二次對偶l1(,α)**也可以以一種自然的方式看作一個馮·諾依曼代數(shù).

1 準備知識

定義1[5-6]設(shè)(,ρ)是度量空間,{xn}是中的點列,如果對于任一正數(shù)ε,存在正數(shù)N(ε),使得當(dāng)自然數(shù)n,m≥N(ε)時ρ(xn,xm)＜ε,就稱{xn}是中基本點列,或稱為Cauchy點列.如果度量空間中每個基本點列都收斂,就稱是完備度量空間.完備的賦范線性空間又稱為巴拿赫空間(Banach space).

定義2是度量空間,A及E是中點集,如果E中任何一點x的任何環(huán)境中都含有集A中的點,就稱A在E中稠密.如果有完備的度量空間,使得保距同構(gòu)于的稠密子空間,則稱1是的完備化空間.

定理1 (1)A在E中稠密的充要條件是?E.

(2)A在E中稠密的充要條件是對任一x∈E,有A中的點列{xn},使得xn→x(n→∞).

定理2 對于任一度量空間必存在完備化空間.

定理3 設(shè),是度量空間的兩個完備化空間,則必有→的等距同構(gòu)映照φ,使得對一切x∈,φ(x)=x.因此,度量空間的完備化空間在等距同構(gòu)的意義下是唯一的.

證設(shè)1,2是度量空間的兩個完備化空間,則在1中稠密,對于每個ξ∈,必有一列{xn} ?,使得在中{xn}→ξ.{xn}同時是中的基本點列,則必存在x′∈,使得在中{xn} →x′,我們作映射

φ為等距同構(gòu)映射.

定義3[1]若是一個復(fù)巴拿赫空間,在上定義了一個乘法運算滿足條件:

2 C*代數(shù)斜多項式構(gòu)成的完備化空間

定義4[2]令為C*代數(shù),α是上的自同態(tài).斜多項式代數(shù)P(,α)由所有形如的多項式構(gòu)成,其中An∈,變量Uα滿足A Uα=Uαα(A).

命題1 上式定義的范數(shù)的確滿足范數(shù)的三條性質(zhì).

證為不引起混淆,范數(shù)統(tǒng)一用表示.設(shè)P∈P(,α),則

令l1(,α)為P(,α)在這個范數(shù)下的完備化.

定理4是巴拿赫空間.

證設(shè)為中一列基本點列,n=1,2,3,….則?N＞0,當(dāng)n,k＞N時,對?ε＞0,都有

是巴拿赫空間.

命題2 P(,α)在中稠密.

證設(shè)

3 結(jié)論

l1(,α)為P(,α)在這個范數(shù)下的完備化空間.由定理3,度量空間的完備化空間在等距同構(gòu)的意義下是唯一的.

定理5 l1(,α)等距同構(gòu)于.

證l1(,α)為P(,α)的完備化空間,?P′∈l1(,α),使得Pn→P′(n→∞),Pn∈P(,α).作映照

ψ(P)=P′

ψ(x y)=ψ(x)ψ(y),

由收斂序列極限的唯一性知ψ為雙射.

ψ為等距同構(gòu)映照.因此l1(,α)等距同構(gòu)于.

因此l1(,α)與在等距同構(gòu)的意義下看作是一樣的,即l1(,α)=.

定理6 l1(,α)是巴拿赫代數(shù).

證設(shè)

l1(,α)是巴拿赫空間,所以l1(,α)是巴拿赫代數(shù).

定理7 l1(,α)是C*代數(shù).

證設(shè)定義了P的對合.因為為C*代數(shù),所以對?A∈有

所以l1(,α)是C*代數(shù).

推論1 l1(,α)的二次對偶l1(,α)**以一種自然的方式可以看作一個馮·諾依曼代數(shù).

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[6]胡適耕.泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2009:3-14.

The completion space of polynomialconstituted by C*-algebra

CHEN Benju
(College of Mathematics Sciences,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

In this paper,we add the limit points into skew polynomial algebra,then it become a Banach Space,we show that this Banach Space is a C*algebra.

C*algebra;polynomial algebra;completion;isometrically isomorphic

O177.5

:A

:1671-9476(2015)05-0042-04

10.13450/j.cnkij.zknu.2015.05.011

2015-03-20;

:2015-05-12

陳本菊(1987-),女,重慶合川人,碩士研究生,研究方向:算子代數(shù).