基于超梁降階模型的蒙皮加筋圓柱殼頻率分析

王文勝,程耿東,郝 鵬

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院 工程力學(xué)系，洛陽 471023；2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116023)

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基于超梁降階模型的蒙皮加筋圓柱殼頻率分析

王文勝1,程耿東2,郝 鵬2

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院 工程力學(xué)系，洛陽 471023；
2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116023)

在基于梁平截面假設(shè)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型降階方法基礎(chǔ)上，文章提出了建立梁超單元和超梁降階模型的方法。通過對比考慮剪切變形的Timoshenko梁單元?jiǎng)偠汝?，給出了梁超單元?jiǎng)偠染仃嚨男拚椒ǎ岣吡顺航惦A模型的計(jì)算精度。以蒙皮加筋圓柱殼為例，對比了超梁降階模型與幾種等效梁模型的頻率分析結(jié)果。結(jié)果表明，超梁降階模型建立方法靈活簡單，具有較高的計(jì)算精度，能夠?yàn)榛鸺Y(jié)構(gòu)動(dòng)特性分析提供參考。

梁超單元；超梁降階模型；剪切變形；蒙皮加筋圓柱殼；頻率分析

0 引言

蒙皮加筋圓柱殼具有較高的剛度、較輕的重量等特性，被廣泛應(yīng)用于運(yùn)載火箭等結(jié)構(gòu)。由于運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)的長細(xì)比較大，因此在工程研制中，經(jīng)常采用梁模型來模擬復(fù)雜的火箭結(jié)構(gòu)[1-4]。針對彎曲、扭轉(zhuǎn)和縱向的中低階振動(dòng)模態(tài)的火箭結(jié)構(gòu)頻率動(dòng)特性分析，在火箭結(jié)構(gòu)總體設(shè)計(jì)中具有十分重要的地位，它是載荷計(jì)算、姿態(tài)穩(wěn)定性分析、POGO振動(dòng)分析等工作的基礎(chǔ)，而選取合適的計(jì)算模型則是開展相關(guān)分析的前提。

近年來，隨著有限元分析軟件和計(jì)算機(jī)求解能力的快速發(fā)展，已經(jīng)可進(jìn)行全箭結(jié)構(gòu)的三維動(dòng)力學(xué)建模研究工作。文獻(xiàn)[5]采用了三維動(dòng)力學(xué)模型，分析了日本H-II運(yùn)載火箭的俯仰、偏航和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間的耦合效應(yīng)。采用這種模型分析的優(yōu)點(diǎn)是便于研究速率陀螺等敏感元件安裝位置的局部振型和振型斜率等問題；缺點(diǎn)是計(jì)算耗時(shí)，分析結(jié)果中大量的局部模態(tài)掩蓋了少量設(shè)計(jì)關(guān)心的整體結(jié)構(gòu)縱、橫和扭轉(zhuǎn)模態(tài)。而降階梁模型具有較少的自由度，能夠快速地獲取結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，為火箭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供重要設(shè)計(jì)參數(shù)。

結(jié)構(gòu)力學(xué)[6]中雖然給出了這類蒙皮加筋結(jié)構(gòu)桁條面積等效和剛度等效的方法，但對桁條作用的物理原理考慮不夠，沒有明確給出這種等效方法的適用范圍。由于實(shí)際工程中對火箭的低階頻率要求較高，直接用教科書的方法難以滿足航天工程的要求。邢譽(yù)峰等[7-9]提出了基于桁條等效厚度方法的梁模型，分析了蒙皮加筋圓柱殼彎曲剛度等效方法的精度，研究了等效方法中的扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算問題，并指出等效厚度梁模型可直接用于計(jì)算彎曲和縱向固有振動(dòng)頻率。該方法對于火箭整體結(jié)構(gòu)的相關(guān)分析具有實(shí)際應(yīng)用和參考價(jià)值，但扭轉(zhuǎn)頻率的計(jì)算結(jié)果偏高，需要進(jìn)行修正，本文稱這種梁模型為等效厚度梁模型。欒宇[10]給出了根據(jù)結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)計(jì)算這類結(jié)構(gòu)等效剛度及截面參數(shù)的梁模型降階方法，本文稱為靜力等效梁模型。本文在基于梁平截面假設(shè)的動(dòng)力模型降階方法[11-12]的基礎(chǔ)上，提出了建立梁超單元的方法，且通過與Timoshenko梁單元?jiǎng)偠染仃噷Ρ?，對梁超單元?jiǎng)偠汝囈肓丝紤]剪切變形的修正，得到了計(jì)算精度較高的超梁降階模型。通過典型蒙皮加筋圓柱殼算例，與等效厚度梁模型及靜力等效梁模型進(jìn)行了對比，數(shù)值結(jié)果表明了超梁降階模型的有效性。

1 超梁降階模型的建立

針對細(xì)長梁式結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[11-12]中提出了基于梁平截面假設(shè)的動(dòng)力模型降階方法，此處稍作敘述。經(jīng)典的Euler梁彎曲理論以及考慮剪切變形的Timoshenko梁彎曲理論中，都假定變形前垂直于中心線的截面變形后仍保持為平面[13]。如圖1所示，根據(jù)細(xì)長梁式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，在發(fā)生非局部變形時(shí)，截面的變形可近似為剛體位移，可采用平截面假定來描寫。根據(jù)這一假定，任意一個(gè)截面i上任一點(diǎn)j和截面形心處的6個(gè)基本準(zhǔn)剛體模態(tài)之間可建立如下位移映射關(guān)系：

uj=Rjqi

(1)

其展開形式為

(2)

式中uj表示第j點(diǎn)的位移向量；qi表示截面i形心處的準(zhǔn)剛體模態(tài)；Rj表示j點(diǎn)的位移轉(zhuǎn)換矩陣；xcj,ycj,zcj表示第j點(diǎn)坐標(biāo)與截面i形心坐標(biāo)的差值。

圖1 模型降階示意圖

對于結(jié)構(gòu)上第i個(gè)截面，截面內(nèi)的m個(gè)節(jié)點(diǎn)均凝聚到該截面形心處，則有：

Ui=Tiqi

(3)

式中Ui=(ui1,…,uim)T表示這一截面內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移向量；Ti=(Ri1,…,Rim)T表示這一截面的位移轉(zhuǎn)換矩陣。

在此基礎(chǔ)上，本文取任意2個(gè)相鄰截面(截面i和截面i+1)之間的結(jié)構(gòu)部分為一梁段，梁段上所有節(jié)點(diǎn)的位移U可表示為

(4)

假設(shè)梁段的剛度陣和質(zhì)量陣分別為k、m，利用式(4)可得到：

kR=TTkT,mR=TTmT

(5)

式(4)中，Q是12×1的列向量，因此式(5)中凝聚得到kR、mR均為12×12的矩陣，分別表示凝聚后的梁超單元的剛度陣和質(zhì)量陣。式(4)中的T表示建立梁超單元的降階基向量。kR、mR可按照序列組裝成一個(gè)超梁降階模型的總剛度陣和總質(zhì)量陣，如果模型均勻，只需要建立一次梁超單元；反之，則需要建立若干個(gè)梁超單元。

2 超梁降階模型的修正

Timoshenko梁單元引入了橫向剪切變形來修改梁單元?jiǎng)偠汝囍械膹澢鷦偠软?xiàng)，具體推導(dǎo)過程可在文獻(xiàn)[14-16]中查到。考慮一根主軸與坐標(biāo)x重合，梁截面關(guān)于x-y平面對稱的空間均勻梁，其Timoshenko梁單元?jiǎng)偠染仃嚳杀硎緸?/p>

(6)

(7)

(8)

如果Iy=Iz，則φy=φz，可統(tǒng)一表示成φ。

由式(7)可得

(9)

又因?yàn)?/p>

(10)

將式(9)及式(10)代入到式(8)中，φ值可求得：

(11)

kT=kb1+kb2+kb3+kat

(12)

式中kb1只包含(Y1,Y2,Z1,Z2)項(xiàng)；kb2只包含(Y3,Z3)項(xiàng)；kb3只包含(Y4,Z4)項(xiàng)；kat只包含與軸向和扭轉(zhuǎn)剛度有關(guān)的(X,S)項(xiàng)。

上述通過降階得到的梁超單元?jiǎng)偠汝囍校疚恼J(rèn)為其彎曲剛度項(xiàng)與Timoshenko梁單元具有相同的物理意義，同樣可分解為與式(12)類似的4部分：

kR=kRb1+kRb2+kRb3+kRat

(13)

(14)

將整個(gè)結(jié)構(gòu)沿長度方向剖分為p個(gè)這樣的梁段，則修正過彎曲剛度項(xiàng)后的超梁降階模型的總剛度陣可表示為

(15)

以ANSYS軟件為例，在建立實(shí)際殼體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜有限元模型后，本文采用APDL(ANSYSParametricDesignLanguage)二次開發(fā)語言實(shí)現(xiàn)梁段剛度矩陣k、質(zhì)量矩陣m的數(shù)據(jù)輸出。在ANSYS的輸出數(shù)據(jù)中沒有模型降階減縮基T矩陣，本文同時(shí)利用APDL語言程序?qū)崿F(xiàn)了T矩陣的建立和輸出。利用式(5)得到梁超單元的剛度陣kR和質(zhì)量陣mR，并將kR分解為4個(gè)部分，提取剛度陣中的(X,S)值計(jì)算剪切修正系數(shù)進(jìn)行修正；然后，組裝超梁降階模型的總剛度陣和質(zhì)量陣，調(diào)用特征值分析程序?qū)崿F(xiàn)原結(jié)構(gòu)的快速頻率分析。

3 等效厚度梁模型和靜力等效梁模型概述

為了對比方便，本節(jié)簡述一下等效厚度梁模型及靜力等效梁模型。文獻(xiàn)[7-9]中給出了基于桁條等效厚度方法建立的等效梁模型，在蒙皮和桁條材料彈性常數(shù)接近時(shí)，等效光筒圓柱結(jié)構(gòu)的平均厚度為

(16)

在此基礎(chǔ)上，對于蒙皮加筋結(jié)構(gòu)的等效梁模型，其拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度由材料彈性常數(shù)和橫截面面積、慣性矩、極慣性矩確定。其中橫截面面積、慣性矩、極慣性矩按式(17)計(jì)算。

(17)

(18)

利用式(16)～式(18)計(jì)算得到這些結(jié)構(gòu)參數(shù)后，可很方便地在有限元軟件中建立相應(yīng)的等效梁模型，用來模擬原蒙皮加筋結(jié)構(gòu)。本文利用ANSYS軟件實(shí)現(xiàn)這一過程。

4 數(shù)值算例

本章通過2個(gè)具體算例的頻率分析，以比較本文提出的超梁降階模型與其它模型。

4.1 均勻蒙皮加筋圓柱殼算例

算例1為圖2所示自由-自由的均勻ISOGIRD網(wǎng)格蒙皮加筋圓柱殼。模型長9 976 mm，外徑2 000 mm，蒙皮厚度為10 mm，網(wǎng)格筋條高30 mm，筋條厚25 mm。采用鋁合金，彈性模量70 GPa，泊松比0.3，密度2.7×10-3g/mm3。采用ANSYS殼單元(SHELL181)建立有限元模型，3 472個(gè)節(jié)點(diǎn)，20 832個(gè)自由度。

圖2 均勻網(wǎng)格蒙皮加筋圓柱殼有限元模型及局部放大圖

利用式(16)可求出光筒殼等效厚度為16.2 mm，并根據(jù)式(17)計(jì)算其橫截面面積、慣性矩、極慣性矩。

δN=0.014 877 mm,θp=0.158×10-3rad

φT=0.38×10-7rad

進(jìn)而可按照式(18)計(jì)算靜力等效梁模型參數(shù)如下：

分別按照上面得到的數(shù)據(jù)，利用BEAM188梁單元，建立與超梁降階模型自由度數(shù)相等的等效梁模型，用于模擬原結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。

基于超梁降階模型方法，將原結(jié)構(gòu)模型沿軸向劃分為55個(gè)梁段。由于模型是均勻結(jié)構(gòu)，因此只需要建立一個(gè)梁超單元，便可按照次序組裝成具有55個(gè)梁超單元，336個(gè)自由度的超梁降階模型。對于這類結(jié)構(gòu)，k取值為2.0[17]，提取梁超單元?jiǎng)偠汝囍械?X、S)值，并計(jì)算得到φ=0.340 8，則按照式(14)計(jì)算并取近似值β=0.73，進(jìn)而可按照式(15)修正超梁降階模型。

在此基礎(chǔ)上，分別利用上述3種降階梁模型模擬了原結(jié)構(gòu)模型在自由-自由、一端固支及兩端固支邊界條件下的特征值分析，計(jì)算結(jié)果分別如表1～表3所示。

表1 自由-自由狀態(tài)下幾種降階梁模型頻率計(jì)算結(jié)果對比

表2 一端固支狀態(tài)下幾種降階梁模型頻率計(jì)算結(jié)果對比

表3 兩端固支狀態(tài)下幾種降階梁模型頻率計(jì)算結(jié)果對比

從表1～表3中的頻率計(jì)算結(jié)果可知，靜力等效梁模型計(jì)算精度最高，但建立一次降階梁模型至少需要3次原結(jié)構(gòu)靜力分析，如果原結(jié)構(gòu)參數(shù)改變(如長度變化)，則需要重新求解式(18)中的參數(shù)。等效厚度梁模型計(jì)算精度較差，尤其是扭轉(zhuǎn)頻率的計(jì)算結(jié)果，說明等效厚度梁模型不能直接用于計(jì)算扭轉(zhuǎn)頻率，文獻(xiàn)[8]中給出了具體的修正方法，此處不再敘述。

超梁降階模型的各階頻率計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)階次ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果很接近。當(dāng)對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)低階動(dòng)力特性分析精度要求不很高時(shí)，為設(shè)計(jì)人員提供了一個(gè)有效簡單的計(jì)算模型，且建立模型工作量很小，只要利用已經(jīng)建立的原結(jié)構(gòu)有限元模型的數(shù)據(jù)建立一個(gè)梁超單元，便可組裝成不同長度的超梁降階模型，剪切修正系數(shù)的計(jì)算過程也較為簡單。需要指出的是超梁降階模型一端固支一端自由及兩端固支頻率結(jié)果，是在自由-自由狀態(tài)的降階模型上施加相應(yīng)的邊界約束條件計(jì)算得到。

為了進(jìn)一步修改和使用降階梁模型，工程師們更希望獲得降階梁模型的截面參數(shù)，即得到降階梁模型的軸向剛度、抗彎剛度、抗扭剛度和質(zhì)量分布等。表4分別給出了利用3種梁模型計(jì)算得到的圖1所示的ISOGIRD網(wǎng)格蒙皮加筋圓柱殼的軸向剛度EA及截面抗彎剛度EI。

表4 3種梁模型的軸向及抗彎剛度

利用原結(jié)構(gòu)截面幾何形狀計(jì)算截面參數(shù)時(shí)，不同截面的軸向剛度和抗彎剛度均不同。因此，這里沒有把它們簡單列入表中。對于本算例，按截取位置不同(軸向加筋處和環(huán)向加筋處)，分別計(jì)算得到相應(yīng)的軸向剛度EA及截面抗彎剛度EI為：軸向加筋處，軸向剛度7.104 2×109N，截面抗彎剛度34.630×1014N·mm2；環(huán)向加筋處相應(yīng)值為17.052×109N及82.828×1014N·mm2。從這些結(jié)果中可看到，等效厚度梁模型截面參數(shù)與原結(jié)構(gòu)軸向加筋處的截面參數(shù)基本一致，這是因?yàn)榻⒌刃Ш穸攘耗Ｐ蜁r(shí)，只考慮了沿軸向筋條的等效。超梁降階模型的截面參數(shù)介于原結(jié)構(gòu)軸向加筋與環(huán)向加筋兩處的截面之間，這是因?yàn)槌航惦A模型考慮了環(huán)向加肋的影響，更真實(shí)地反映了原結(jié)構(gòu)的截面性質(zhì)。此外，由于本文在超梁降階模型上考慮了剪切變形修正，能更好地用于近似實(shí)際結(jié)構(gòu)。

4.2 非均勻蒙皮加筋圓柱殼算例

算例2為圖3所示沿長度方向加筋非均勻的自由-自由圓柱殼結(jié)構(gòu)，模型由蒙皮、軸向及環(huán)向桁條組成。模型長20 m，蒙皮厚度0.01 m，桁條沿徑向高度均為0.1 m。將結(jié)構(gòu)分為3部分：第一部分長度10 m，直徑1 m，軸向桁條厚度為0.05 m，環(huán)向桁條厚度為0.03 m；第二部分長度2 m，軸向桁條厚度為0.04 m，環(huán)向桁條厚度為0.05 m；第三部分長8 m，直徑0.8 m，軸向桁條厚度為0.03 m，環(huán)向桁條厚度為0.04 m。所用材料與算例1一致。模型共有2 064個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 520個(gè)單元，12 384個(gè)自由度。

圖3 非均勻網(wǎng)格加筋圓柱殼模型及局部放大圖

根據(jù)結(jié)構(gòu)形式的不同，在結(jié)構(gòu)第一、三部分分別建立1種梁超單元，第二部分建立6種梁超單元；然后，將超單元進(jìn)行組裝，將原結(jié)構(gòu)模型降階為具有42個(gè)梁超單元，258個(gè)自由度的超梁降階模型。分別提取各種梁超單元?jiǎng)偠汝囍械?X、S)值，并計(jì)算其修正系數(shù)，本文取這些系數(shù)的平均值β=0.95作為該超梁降階模型的修正系數(shù)。同時(shí)，利用式(16)～式(18)，分別計(jì)算等效厚度及靜力等效梁模型的參數(shù)，利用ANSYS軟件建立與超梁降階模型自由度數(shù)相等的等效梁模型。表5給出了自由-自由邊界條件下算例2采用3種梁模型的頻率計(jì)算結(jié)果。

表5所示計(jì)算結(jié)果表明，對于非均勻蒙皮加筋結(jié)構(gòu)，超梁降階模型也能用于原結(jié)構(gòu)的快速近似動(dòng)力分析，且計(jì)算精度也高。在此基礎(chǔ)上，在自由-自由狀態(tài)的降階模型上施加相應(yīng)的邊界約束條件，即可計(jì)算相應(yīng)約束條件下原結(jié)構(gòu)的頻率，只需非常小的額外工作量。

表5 非均勻網(wǎng)格加筋圓柱殼降階梁模型頻率計(jì)算結(jié)果對比

5 結(jié)論

(1)在基于梁平截面假設(shè)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型降階方法的基礎(chǔ)上，給出了建立梁超單元和超梁降階模型的方法。

(2)通過對比Timoshenko梁單元?jiǎng)偠染仃嚕紤]了剪切變形，給出梁超單元?jiǎng)偠染仃嚨男拚椒ǎ⒘擞?jì)算精度較高的超梁降階模型。

(3)典型蒙皮加筋圓柱殼模型算例的頻率分析結(jié)果表明，超梁降階模型具有較高計(jì)算精度，且可處理不同情況和約束條件下的結(jié)構(gòu)模型，對火箭結(jié)構(gòu)頻率動(dòng)特性分析具有實(shí)際應(yīng)用和參考價(jià)值。

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(編輯：薛永利)

Frequency analysis of stiffened cylindrical shell based on reduced super beam model

WANG Wen-sheng1, CHENG Geng-dong2, HAO Peng2

(1.Department of Engineering Mechanics, School of Civil Engineering,Henan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China；2.Department of Engineering Mechanics, State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

A type of super beam element and reduced super beam model were presented by means of the model reduction method, which is based on the plane cross-section assumption of beam. The stiffness matrix of the super beam element was modified by considering the effect of shear deformation in an elegant way, resulting in a reduced super beam model with high accuracy. Typical stiffened cylindrical shell model, served as the illustrative example for frequency analysis, were employed to compare the reduced super beam model with several other equivalent beam models. The results show that the reduced super beam model is easy to construct with high accuracy, which can provide references for the dynamic analysis of rocket structures.

super beam element；reduced super beam model；shear deformation；stiffened cylindrical shell；frequency analysis

2014-07-03；

2014-08-11。

國家自然科學(xué)基金(11402077,11402049)；河南科技大學(xué)科學(xué)研究基金(13350046)；中國博士后科學(xué)基金(2014M551070)。

王文勝(1983—)，講師，研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型降階及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。E-mail:wswang@live.cn

V414

A

1006-2793(2015)03-0401-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.03.020