基于顯式算法的船體梁極限強度非線性有限元分析

李政杰，趙 南，司海龍，虞 昊

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082)

0 引言

隨著現(xiàn)代船舶的大型化發(fā)展，船體結(jié)構(gòu)強度問題不斷凸顯，有關(guān)船體結(jié)構(gòu)真實強度的極限強度和破損后的極限承載能力，近幾年來已受到越來越多的關(guān)注。多家船級社［1－3］的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)規(guī)定了關(guān)于船體結(jié)構(gòu)總縱極限強度的要求，未來向其他船型普及和貫徹極限強度要求的趨勢亦愈來愈明顯。

船體梁極限強度作為評價結(jié)構(gòu)極限承載能力的重要指標(biāo)，目前，其研究手段主要有直接計算法、逐步破壞法、理想結(jié)構(gòu)單元法、實船事故調(diào)查和模型試驗、非線性有限元法6種。表1分別對各種計算方法進(jìn)行了對比，通過對比可以看出非線性有限元法是計算和分析船體極限強度的一種強有力工具，能夠合理地處理結(jié)構(gòu)的邊界條件、載荷形式、模型細(xì)節(jié)、單元類型等影響因素，可以綜合考慮結(jié)構(gòu)的初始缺陷和材料的非線性特性，比較直觀地模擬結(jié)構(gòu)屈曲崩潰的過程并清晰地反映其后屈曲特性。

船體梁極限強度非線性有限元計算中，隱式算法較為常見，但其計算過程需要多次迭代，存在收斂問題，增量步長較大，總的增量步數(shù)較少。隱式算法對增量步的大小沒有限制，增量步大小主要取決于求解精度和收斂條件，每個增量步上需要進(jìn)行多次迭代，求解復(fù)雜非線性問題的計算代價較大。因此，有必要采用顯式算法，改變求解策略，提高計算效率。

1 顯示算法

顯式算法和隱式算法都是求解非線性問題強有力的工具。所謂顯式算法和隱式算法，是指求解策略的不同，即數(shù)學(xué)上的出發(fā)點不一樣。顯式算法中一般適用于求解應(yīng)力波效果顯著或模擬時間非常短暫 (一般小于1 s)的分析，如高度不連續(xù)的高速的動力學(xué)分析、復(fù)雜的接觸分析、復(fù)雜的后屈曲分析、高度非線性分析的準(zhǔn)靜態(tài)分析、邊界條件極度不連續(xù)的問題、材料磨損和材料失效等，其計算過程不需要迭代，不存在收斂問題，增量步很小，總的增量步很多，增量步的大小與模型的最大固有頻率有關(guān)，與載荷類型和載荷持續(xù)時間無關(guān)。

顯式算法一般采用中心差分法顯示地對運動方程在時間域上進(jìn)行積分，利用上一步增量步的平衡方程動態(tài)地計算下一步增量步的狀態(tài)。顯示求解器的中心差分算子在每一增量步的開始時刻t滿足動態(tài)平衡方程，通過計算t時刻的加速度，將速度的計算結(jié)果推進(jìn)到t+，將位移的計算結(jié)果推到t+Δt。每一增量步結(jié)束時刻的狀態(tài)完全由增量步開始時刻的位移、速度和加速度決定。

隱式算法是將一個分析步分解為多個增量步，載荷則以增量的形式逐步施加，在每個載荷增量步中都要進(jìn)行一系列迭代，在每次迭代中使用上一次的迭代得到的修正剛度矩陣進(jìn)行計算。這樣，對計算結(jié)果逐步修正，直到滿足平衡方程，達(dá)到收斂。在每一增量步內(nèi)都需要對平衡方程組 (隱式表達(dá)式)進(jìn)行迭代求解，每次都需要對非線性剛度矩陣求逆，計算成本相對較大，但是隱式算法的計算比較穩(wěn)定，大多數(shù)時候是無條件的穩(wěn)定，對步長的要求不高。

在計算復(fù)雜的船體梁極限強度時發(fā)現(xiàn)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，單元數(shù)量過多，或者材料的非線性、結(jié)構(gòu)幾何非線性、邊界非線性等的影響運用隱式算法常常不收斂，得不到可靠地數(shù)值解。因此，可考慮使用動態(tài)分析近似模擬靜力加載過程，即準(zhǔn)靜態(tài)分析，采用顯式算法進(jìn)行求解。

假設(shè)結(jié)構(gòu)的非線性靜態(tài)平衡方程為:

式中:P為載荷列陣;I為內(nèi)力列陣。

顯示有限元法運用中心差分法對在時間上對運動方程進(jìn)行積分，應(yīng)用一個增量步的動力學(xué)條件計算下一個增量步的動力學(xué)條件。在增量步開始時，程序求解動力學(xué)平衡方程，表示為節(jié)點質(zhì)量矩陣M和加速度u·的乘積等于節(jié)點的內(nèi)力，即施加的外力P與內(nèi)力I的差值:

在當(dāng)前增量步開始時，假設(shè)是t時刻，計算加速度為:

因為顯式算法總是采用對角的或者集中的質(zhì)量矩陣，所以求解加速度并不復(fù)雜，不需要同時求解兩聯(lián)立方程。任何節(jié)點的加速度完全取決于節(jié)點質(zhì)量和作用在節(jié)點的合力，使得節(jié)點計算成本非常低。

采用中心差分法對加速度在時間上進(jìn)行積分，在計算速度的變化時假設(shè)加速度為常數(shù)。應(yīng)用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度確定當(dāng)前增量步中點的速度:

速度對時間的積分加上增量步開始時的位移來確定在增量步結(jié)束時的位移:

這樣，在增量開始時提供了滿足動力學(xué)平衡條件的加速度。得到了加速度，在時間上“顯式地”前推速度和位移。所謂“顯式”是指在增量步結(jié)束時的狀態(tài)僅依靠于該增量步開始前的位移、速度和加速度。為了得到精確的結(jié)果，需要假定在載荷隨時間增長非常慢，這樣在增量步中的加速度幾乎為零，這就是所謂的準(zhǔn)靜態(tài)。下面給出顯示動力方法的總結(jié):

1)節(jié)點計算

①動力平衡方程

②對時間進(jìn)行顯示積分

2)單元計算

②根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計算應(yīng)力σ

③ 集成節(jié)點內(nèi)力I(t+Δt)，

3)設(shè)置時間t為t+Δt，返回到步驟1)。

2 顯示算法與隱式算法算例對比

利用大型通用軟件Abaqus，分別采用顯式算法和隱式算法對Nishihara箱型梁模型進(jìn)行對比計算，并將計算結(jié)果與試驗值［4］比較，驗證和比較隱式算法和顯示準(zhǔn)靜態(tài)算法在計算船體梁極限強度中的實用性和可靠性。

Nishihara箱型梁的結(jié)構(gòu)尺寸如表2，采用理想彈塑性材料，模型兩端采用多點約束，兩主節(jié)點簡支，施加垂向角位移。假設(shè)焊接殘余拉壓應(yīng)力影響相互抵消，忽略殘余應(yīng)力影響;初始變形采用一階屈曲模態(tài)來模擬，幅值為1.48 mm。箱型梁的有限元模型如圖1所示。

圖1 Nishihara箱型梁有限元模型Fig.1 The FEM model of Nishihara box girder

表2 箱型梁模型參數(shù)Tab.2 The parameter of box girder

圖2和圖3分別給出了隱式算法和顯式算法極限狀態(tài)下箱型梁應(yīng)力云圖，對比兩圖可看出，2種應(yīng)力分布云圖基本一致。

圖2 極限狀態(tài)應(yīng)力分布云圖 (隱式算法)Fig.2 The stress tensor of ultimate state(implicit algorithm)

圖3 極限狀態(tài)應(yīng)力分布云圖 (顯式算法)Fig.3 The stress tensor of ultimate state(explicit algorithm)

圖4給出了2種算法的載荷－位移曲線，2條彎矩－轉(zhuǎn)角曲線基本一致，在達(dá)到峰值點之前，結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，兩曲線重合;達(dá)到峰值后，進(jìn)入塑性的部件逐漸增加，顯式算法存在著能量損耗，與靜態(tài)分析存在細(xì)微差別，由此表現(xiàn)出來結(jié)構(gòu)的后屈曲性能存在稍微差別?？傮w而言，兩者計算的結(jié)果比較一致。

圖4 不同算法彎矩－轉(zhuǎn)角曲線Fig.4 Bending moment-angle curve of different algorithms

表3給出了2種算法的計算結(jié)果及試驗值。隱式算法與試驗結(jié)果比較的相對誤差為3.06%，顯式算法與試驗結(jié)果比較的相對誤差為5.44%;顯式算法相對隱式算法計算結(jié)果稍大，這是由于顯式算法屬于準(zhǔn)靜態(tài)求解，其求解步長稍大，以致結(jié)果存在稍許誤差;而顯式算法求解的時間約為隱式求解時間的一半，其計算效率較高。當(dāng)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時，隱式算法的計算時間將大大增加。

表3 箱型梁計算結(jié)果對比 (108 N·mm)Tab.3 The calculate result of box girder comparison(108N·mm)

對比分析2種計算的結(jié)果:隱式算法的計算精度較高，但其計算效率較低;顯式算法計算精度相對隱式算法稍低，但也滿足工程設(shè)計需要，其計算效率較高。當(dāng)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時，隱式算法的收斂性較差，往往不能得到收斂的結(jié)果，造成計算失敗;顯式算法其收斂性較好，選擇適當(dāng)?shù)挠嬎悴介L，能夠得到滿足要求的收斂解。綜合考慮計算的精度和效率，基于顯式算法的船體梁極限強度計算具有較高的優(yōu)勢。

3 目標(biāo)實船計算

Dow's 1/3 test hull模型［5］具有較高的代表性，許多學(xué)者對其進(jìn)行了對比計算，其結(jié)果常被用來檢驗計算方法的精度和適用性。Dow試驗?zāi)Ｐ统叽缛鐖D5所示。

圖5 Dow's test hull剖面Fig.5 The section of Dow's test hull

圖6 有限元模型Fig.6 The FEM model

運用顯式算法，采用單跨模型計算其極限承載能力。模型初始變形形狀采用其一階模態(tài)，其變形幅值為試驗測得變形量;忽略殘余應(yīng)力的影響，其有限元模型如圖6所示。采用理想彈塑性材料，模型兩端采用多點約束，兩主節(jié)點簡支，施加垂向轉(zhuǎn)角位移。

圖7和圖8分別給出了Dow模型中拱和中垂2種極限狀態(tài)下的應(yīng)力分布云圖，圖9給出了模型的端面彎矩－轉(zhuǎn)角曲線。

圖7 中拱極限狀態(tài)下應(yīng)力分布云圖Fig.7 The stress tensor of hog ultimate state

圖8 中垂極限狀態(tài)下應(yīng)力分布云圖Fig.8 The stress tensor of sag ultimate state

圖9 Dow模型 (1/2)彎矩－轉(zhuǎn)角曲線Fig.9 Bending moment-angle curve of Dow model(1/2)

表4給出了2種極限狀態(tài)下模型的極限強度值，并與其他學(xué)者的計算結(jié)果進(jìn)行比較。顯示計算的結(jié)果稍微偏大，這是因為采用1/2對稱模型，約束強化結(jié)構(gòu)，并且未考慮殘余應(yīng)力的影響。

表4 Dow's test hull計算結(jié)果比較Tab.4 The comparison for the result of Dow's test hull

4 結(jié)語

本文對有限元計算中的顯示算法進(jìn)行了介紹，并采用顯式算法和隱式算法對Nishihara模型的極限強度的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)顯式算法具有較好的精度且計算效率較高;基于顯式算法對Dow船體梁模型的極限強度進(jìn)行計算，并與相關(guān)研究結(jié)果比較，結(jié)果表明該方法具有良好的計算精度，可以用于實船的極限強度分析，為船體結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供參考。

［1］ IACS．Common Structural Rules for Bulk Carriers［S］．2008．

［2］ ABS Rules for Building and Classing Steel Vessel Rules［S］．Houston，2013．

［3］ DNV Rules for Classification of Ships［S］．Norway，2013．

［4］ Nishihara S．Ultimate longitudinal strength of midship cross section［J］．Naval Arch．Ocean Eng，1984，22:200 －214．

［5］ ISSC report of special task committee VI．2，ultimate hull girder strength．In:Ohtsubo H， Sumi Y， editors．Proceedings of the 14th international ship and offshore structures congress，Nagasaki，Japan;October 2000．