中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)中高中函數(shù)內(nèi)容的比較

嚴(yán) 卿，胡典順，2，汪鈺雯，紀(jì)靜萍，黃舒嫻

（1.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，湖北 武漢 430079）

中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)中高中函數(shù)內(nèi)容的比較

嚴(yán) 卿1，胡典順1，2，汪鈺雯1，紀(jì)靜萍1，黃舒嫻1

（1.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，湖北 武漢 430079）

摘要：美國于2010年頒布了《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》，其高中函數(shù)部分的內(nèi)容與中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》相比，二者的知識(shí)點(diǎn)都有比較清晰、具體的要求，都重視函數(shù)的應(yīng)用以及與信息技術(shù)的結(jié)合；而在課程實(shí)施的靈活性、內(nèi)容編排的邏輯性與具體知識(shí)點(diǎn)的要求等多方面都有一定的區(qū)別.比較中美兩國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的高中函數(shù)內(nèi)容，可以得到不少啟示，在未來的課程改革中要處理好數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)內(nèi)容的限定與自主的關(guān)系，函數(shù)知識(shí)的理解與應(yīng)用的關(guān)系，函數(shù)知識(shí)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)；函數(shù)；中美比較

1　引 言

長期以來，美國認(rèn)識(shí)到如果不提高基礎(chǔ)教育，特別是數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，美國就會(huì)失去全球化競爭力.強(qiáng)烈的危機(jī)感以及學(xué)生在第三次國際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育研究（TIMSS），國際學(xué)生評(píng)估計(jì)劃（Program for International Student Assessment，簡稱PISA）等國際比較項(xiàng)目中表現(xiàn)不佳，促使美國數(shù)學(xué)教育界不斷地反思、比較，以改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)教育[1].近年來，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公布了一系列的數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，如《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（2000）、《課程焦點(diǎn)》（2006）、《高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)：推理與意義建構(gòu)》（2009）等.這些課程與標(biāo)準(zhǔn)的出臺(tái)旨在提高美國學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，建立具有國際競爭力的全美統(tǒng)一的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教育.2010年，全美州長協(xié)會(huì)（National Governors Association，NGA）和各州教育長官理事會(huì)（The Council of Chief State School Officers，CCSSO）共同推出了《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（Common Core State Standards for Mathematics，簡稱CCSSM），標(biāo)準(zhǔn)的出臺(tái)在美國引起了很大的反響[2~4].

進(jìn)入新世紀(jì)，中國也相繼成立了義務(wù)教育和普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)研制小組.2003年4月，出臺(tái)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》.縱觀兩國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，可以找到許多值得相互借鑒的地方.在《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》中就明確指出借鑒了中國的課程標(biāo)準(zhǔn)；而在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中雖然沒有專門注明，但注重提供知識(shí)的實(shí)際背景、對(duì)于活動(dòng)過程與問題解決的重視等都能看出對(duì)于美國數(shù)學(xué)教育的借鑒.以上也就體現(xiàn)了東西方教育“相向運(yùn)動(dòng)”的態(tài)勢[5].目前，國內(nèi)學(xué)者關(guān)于美國數(shù)學(xué)教育的研究有不少成果[6~14]，中美兩國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較及其相關(guān)研究也是研究的熱點(diǎn)問題之一[15~19].顯然，借鑒美國經(jīng)驗(yàn)，既能為解決中國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的問題提供參考，又能給課程改革以啟示.

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.通過函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以理解數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活、而又應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，能夠加深對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).和《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM，2000）相比，《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》中的函數(shù)部分脫離了代數(shù)而單獨(dú)列出，足見其所受到的重視.中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中，函數(shù)也占據(jù)著重要的地位.在編排順序上，函數(shù)是必修數(shù)學(xué)1中的主要內(nèi)容，數(shù)學(xué)1又是其它內(nèi)容的基礎(chǔ)，且專門提到“函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終”[20].距離《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》頒布已有10年，其中函數(shù)部分的相關(guān)內(nèi)容始終是研究關(guān)注的重點(diǎn)領(lǐng)域[21~24].以中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)中的“函數(shù)”內(nèi)容為例，對(duì)中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（2003）（以下簡稱“中國《標(biāo)準(zhǔn)》”）和美國《共同核心州立數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（2010）（以下簡稱“美國《標(biāo)準(zhǔn)》”）進(jìn)行比較.希望通過比較研究能給中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂與教學(xué)改革提供一些參考.

2　函數(shù)具體內(nèi)容的比較

美國《標(biāo)準(zhǔn)》函數(shù)部分的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)分為4大板塊：

（1）理解函數(shù)；（2）建立函數(shù)；（3）線性函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)模型；（4）三角函數(shù).

中國《標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于函數(shù)的內(nèi)容來自數(shù)學(xué)1中函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ以及數(shù)學(xué)4中的三角函數(shù).主要內(nèi)容包括：

（1）函數(shù)；（2）指數(shù)函數(shù)；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)；（4）冪函數(shù)；（5）函數(shù)與方程；（6）函數(shù)模型及其應(yīng)用；（7）實(shí)習(xí)作業(yè)；（8）三角函數(shù)等8個(gè)部分，以及“說明與建議”部分中相應(yīng)內(nèi)容的補(bǔ)充.

下面以美國《標(biāo)準(zhǔn)》的劃分維度為依據(jù)進(jìn)行比較.

2.1理解函數(shù)

理解函數(shù)見表1.

表1　理解函數(shù)

美國《標(biāo)準(zhǔn)》中的“理解函數(shù)”部分涵蓋內(nèi)容很廣，既包含了函數(shù)的概念、性質(zhì)等，又涉及從線性函數(shù)、二次函數(shù)到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等各初等函數(shù)的性質(zhì).與此同時(shí)，美國《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有專門涉及各初等函數(shù)的板塊.因此，在這里把中國《標(biāo)準(zhǔn)》中（1）至（5）板塊都?xì)w入該維度.

從而，這種結(jié)構(gòu)上的不同帶來的一個(gè)主要區(qū)別即是對(duì)于具體初等函數(shù)要求的不同.以指數(shù)函數(shù)為例，中國《標(biāo)準(zhǔn)》中包括引入，概念、性質(zhì)以及解決簡單實(shí)際問題，強(qiáng)調(diào)連貫、全面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù).而在《美國》標(biāo)準(zhǔn)中，則有“會(huì)畫指數(shù)函數(shù)圖象，會(huì)求截距和極端情況”“會(huì)根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)去理解指數(shù)函數(shù)的意義”等，主要側(cè)重于對(duì)于指數(shù)函數(shù)特點(diǎn)的分析.此外，美國《標(biāo)準(zhǔn)》將各初等函數(shù)的分析放在同一板塊中，有利于對(duì)其進(jìn)行比較.

對(duì)于函數(shù)特點(diǎn)的分析，美國《標(biāo)準(zhǔn)》的要求更加豐富、具體.中國《標(biāo)準(zhǔn)》中所涉及的特點(diǎn)包括定義域、值域、單調(diào)性、最大（?。┲怠⑵媾夹?、特殊點(diǎn)，美國《標(biāo)準(zhǔn)》中則多出了截距、正（負(fù)）區(qū)間、對(duì)稱性、極端情況（當(dāng)x趨向于無窮時(shí)的情況）、周期性、指定區(qū)間上的平均變化率、漸近線等.

對(duì)于函數(shù)的表征，兩國《標(biāo)準(zhǔn)》都強(qiáng)調(diào)了繪制函數(shù)圖象以及利用圖象研究函數(shù)性質(zhì).中國《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求會(huì)畫指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，美國《標(biāo)準(zhǔn)》除此之外還要求會(huì)畫平方根、立方根、分段函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)等的圖象.此外中國《標(biāo)準(zhǔn)》只是提出“根據(jù)需要選擇恰當(dāng)方法表示函數(shù)”.美國《標(biāo)準(zhǔn)》指出運(yùn)用因式分解、配方等方法研究函數(shù)性質(zhì)，并“會(huì)比較兩個(gè)使用不同形式表征的函數(shù)的性質(zhì)”，這就要求能夠熟練地在不同表征間轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯，要求更加具體也更高.

在結(jié)合實(shí)際方面，中國《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)通過實(shí)例引出函數(shù)及初等函數(shù)內(nèi)容，并利用實(shí)例幫助理解概念和性質(zhì).美國《標(biāo)準(zhǔn)》則側(cè)重于實(shí)際背景下函數(shù)的運(yùn)用，例如“在實(shí)際問題中根據(jù)實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域”.

最后，在與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系方面，兩國《標(biāo)準(zhǔn)》都提到了函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，美國《標(biāo)準(zhǔn)》簡單指出二者圖象上的關(guān)系，中國《標(biāo)準(zhǔn)》則專門利用一個(gè)板塊，介紹利用函數(shù)零點(diǎn)來判斷方程根的情況，以及根據(jù)圖象，利用二分法求解方程.此外，美國《標(biāo)準(zhǔn)》還通過函數(shù)引出了數(shù)列的基本內(nèi)容.

2.2建立函數(shù)

建立函數(shù)見表2.

美國《標(biāo)準(zhǔn)》中“建立函數(shù)”板塊主要包括函數(shù)的運(yùn)算、復(fù)合、變換以及反函數(shù)等.中國《標(biāo)準(zhǔn)》中相關(guān)內(nèi)容較少，在此僅把“說明與建議”部分中反函數(shù)相關(guān)要求歸入本維度.

反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)概念之一[25]，對(duì)于該部分的內(nèi)容，中國《標(biāo)準(zhǔn)》只是要求“以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解”，與之相比，美國《標(biāo)準(zhǔn)》具體列出了關(guān)于反函數(shù)的幾條標(biāo)準(zhǔn)，例如求反函數(shù)在特定點(diǎn)的值、反函數(shù)的存在條件等，并要求能求已知函數(shù)的反函數(shù).兩國《標(biāo)準(zhǔn)》都提到了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這一對(duì)重要反函數(shù)，美國《標(biāo)準(zhǔn)》還要求會(huì)將其用于解決現(xiàn)實(shí)問題.

美國《標(biāo)準(zhǔn)》要求會(huì)進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)算與復(fù)合，對(duì)于函數(shù)的變換要求會(huì)識(shí)別當(dāng)解析式變化時(shí)圖象的變化情況，并利用計(jì)算機(jī)研究參數(shù)改變時(shí)函數(shù)圖象的變化.從“*”標(biāo)記的情況與所給例子來看，美國《標(biāo)準(zhǔn)》這一板塊的內(nèi)容很重視函數(shù)與現(xiàn)實(shí)情境的聯(lián)系.現(xiàn)實(shí)世界中的問題如果要轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，往往不可能由某一種函數(shù)簡單描繪，因此函數(shù)的運(yùn)算、復(fù)合乃至變換就十分重要.

此外，雖然中國《標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)列部分提到了其與函數(shù)的聯(lián)系，但數(shù)列安排在了數(shù)學(xué)5中.而美國《標(biāo)準(zhǔn)》繼“理解函數(shù)”部分提出數(shù)列概念后，這里又進(jìn)一步涉及了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列既是函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用、又是函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，美國《標(biāo)準(zhǔn)》很好地詮釋了這一點(diǎn).

2.3線性函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù)模型

線性函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)模型見表3.

表2　建立函數(shù)

表3　線性函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù)模型

美國《標(biāo)準(zhǔn)》中該板塊要求在現(xiàn)實(shí)情境中，根據(jù)需要，在理解線性、二次和指數(shù)模型增長情況的前提下能夠選擇并利用合適的函數(shù)模型，重點(diǎn)在于能夠識(shí)別這幾種函數(shù)模型增長的差異.相應(yīng)的，中國《標(biāo)準(zhǔn)》中“（6）函數(shù)模型及其應(yīng)用”也包含了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等增長差異的比較以及初等函數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容，故歸入此維度.

兩國《標(biāo)準(zhǔn)》都注意到了對(duì)幾種增長型函數(shù)進(jìn)行比較分析的必要性，也都認(rèn)識(shí)到這種比較是基于實(shí)際應(yīng)用中的需要，其中美國《標(biāo)準(zhǔn)》在這一板塊的標(biāo)題上直接標(biāo)注了“*”，開宗明義地指出了這部分就是為函數(shù)模型服務(wù)的，例如“根據(jù)具體情境理解線性函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中參數(shù)的意義”，正是由于現(xiàn)實(shí)情境的千差萬別，導(dǎo)致會(huì)面對(duì)同種函數(shù)不同參數(shù)的情況，因此安排該知識(shí)點(diǎn)正是考慮到了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，與此同時(shí)，這種結(jié)合具體情境的安排對(duì)于學(xué)習(xí)者來說也是十分合理的，否則學(xué)習(xí)者恐怕難以理解為何要研究參數(shù)變化的情況.類似的，中國《標(biāo)準(zhǔn)》也提到“結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義”.

具體到條目中的要求，美國《標(biāo)準(zhǔn)》的表述更加詳細(xì).例如，對(duì)于線性函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，要求證明二者在相等區(qū)間長度上函數(shù)值增長情況的不同；會(huì)在給定圖象、關(guān)系描述或數(shù)據(jù)的情況下建立線性函數(shù)或指數(shù)函數(shù)模型；能夠從圖象或數(shù)表觀察函數(shù)增長情況的區(qū)別.既有嚴(yán)格證明方面的要求，又要會(huì)識(shí)別圖象或數(shù)據(jù)信息.相對(duì)而言，中國《標(biāo)準(zhǔn)》中只是簡單提出要“比較差異”、“體會(huì)不同增長的含義”，沒有具體說明要比較幾種函數(shù)的哪些方面，要求不明確.“收集函數(shù)模型實(shí)例、了解函數(shù)的廣泛應(yīng)用”作為一條標(biāo)準(zhǔn)，很難界定需要怎樣執(zhí)行才算達(dá)到要求.

2.4三角函數(shù)

三角函數(shù)見表4.

表4　三角函數(shù)

在美國《標(biāo)準(zhǔn)》中，三角函數(shù)是唯一單獨(dú)列出的初等函數(shù)，中國標(biāo)準(zhǔn)中更是將其安排在了數(shù)學(xué)4中，體現(xiàn)了對(duì)其特殊性的認(rèn)識(shí)與重要性的認(rèn)可.

就具體內(nèi)容來說，兩國《標(biāo)準(zhǔn)》都由弧度制的定義入手，借助單位圓理解三角函數(shù)并推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，對(duì)于同角三角函數(shù)的關(guān)系式也做出了類似要求.對(duì)于三角函數(shù)的性質(zhì)，兩國《標(biāo)準(zhǔn)》共同關(guān)注的都有周期性.此外中國《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了單調(diào)性、最值以及圖象與x軸的交點(diǎn)，美國《標(biāo)準(zhǔn)》則更重視三角函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性.中國《標(biāo)準(zhǔn)》要求利用計(jì)算機(jī)畫出三角函數(shù)圖象，并研究參數(shù)變化時(shí)對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.美國《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)反三角函數(shù)提出了明確要求，能夠求解反三角函數(shù)，并使用計(jì)算器求出數(shù)值.美國《標(biāo)準(zhǔn)》包含了和角與差角公式，相關(guān)內(nèi)容中國《標(biāo)準(zhǔn)》則安排在了三角恒等變換中，由向量數(shù)量積引出.

在三角函數(shù)的應(yīng)用方面，美國《標(biāo)準(zhǔn)》要求能根據(jù)給定周期現(xiàn)象的特點(diǎn)選擇合適的三角函數(shù)模型，根據(jù)具體情境列出三角方程；中國《標(biāo)準(zhǔn)》只提到用三角函數(shù)解決簡單實(shí)際問題，缺乏更加細(xì)致的要求.

3　結(jié) 論

中美《標(biāo)準(zhǔn)》中“函數(shù)”部分內(nèi)容有很多相似之處，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）知識(shí)點(diǎn)的要求都比較清晰、具體.中國《標(biāo)準(zhǔn)》中體現(xiàn)在“指數(shù)函數(shù)”、“對(duì)數(shù)函數(shù)”以及“函數(shù)與方程”部分的內(nèi)容比較細(xì)致，美國《標(biāo)準(zhǔn)》在函數(shù)的表征、函數(shù)的運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)比較等方面都有十分詳盡的要求.另外，兩國標(biāo)準(zhǔn)都提供了一些具體例子來配合說明，例如，美國《標(biāo)準(zhǔn)》在談到數(shù)列是定義在整數(shù)子集上的特殊函數(shù)時(shí)聯(lián)系了斐波那契數(shù)列的例子，中國《標(biāo)準(zhǔn)》在“運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”時(shí)也附加了一個(gè)關(guān)于變速跑步的參考案例.

（2）都很重視函數(shù)的應(yīng)用.中國《標(biāo)準(zhǔn)》中函數(shù)、初等函數(shù)的概念強(qiáng)調(diào)了解其實(shí)際背景，對(duì)于指數(shù)函數(shù)具體給出了幾個(gè)背景實(shí)例如細(xì)胞分裂等，對(duì)于指數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)、三角函數(shù)等也都要求能夠簡單應(yīng)用，并且安排了“函數(shù)模型及其應(yīng)用”板塊，要求收集函數(shù)模型實(shí)例，體會(huì)其廣泛應(yīng)用.美國《標(biāo)準(zhǔn)》直觀上通過“*”標(biāo)記了大量與函數(shù)模型有關(guān)的內(nèi)容，并且在涉及這些內(nèi)容的地方安排了具體實(shí)例，如在復(fù)合函數(shù)部分安排了這樣一個(gè)例子：隨著時(shí)間變化的氣球溫度的函數(shù)由隨著時(shí)間變化的高度函數(shù)與隨著高度變化的溫度函數(shù)合成.這種例子的安排能夠幫助學(xué)生了解該知識(shí)點(diǎn)是如何應(yīng)用于實(shí)際的.

（3）都強(qiáng)調(diào)利用信息技術(shù)幫助理解和分析函數(shù)性質(zhì).例如美國《標(biāo)準(zhǔn)》要求“會(huì)使用計(jì)算機(jī)繪制復(fù)雜函數(shù)的圖象，并會(huì)從圖象中得到函數(shù)的主要特征”、“會(huì)使用計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證和解釋參數(shù)對(duì)于函數(shù)圖象的影響”以及使用計(jì)算器求解反三角函數(shù)；中國《標(biāo)準(zhǔn)》中也有“能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)”、“利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異”以及借助計(jì)算機(jī)研究參數(shù)對(duì)于三角函數(shù)圖象變化的影響等.

兩國《標(biāo)準(zhǔn)》“函數(shù)”部分內(nèi)容也有很多不同之處，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施中的靈活程度不同.美國《標(biāo)準(zhǔn)》雖然規(guī)定了函數(shù)部分的內(nèi)容及要求，但并沒有限定哪一個(gè)年級(jí)必須執(zhí)行哪些知識(shí)點(diǎn)，課程設(shè)置有一定的自由度.中國《標(biāo)準(zhǔn)》則把除三角函數(shù)外的內(nèi)容都列入了數(shù)學(xué)1中.數(shù)學(xué)1是數(shù)學(xué)2至數(shù)學(xué)5的基礎(chǔ)，這樣一來，函數(shù)課程的開設(shè)時(shí)間就相對(duì)被限定了.

（2）板塊（或內(nèi)容）間的邏輯關(guān)系不同.兩國《標(biāo)準(zhǔn)》中三角函數(shù)部分都被相對(duì)獨(dú)立地安排，其余板塊以及之間聯(lián)系都有很大不同.美國《標(biāo)準(zhǔn)》“理解函數(shù)”部分側(cè)重整個(gè)函數(shù)內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，之后的“建立函數(shù)”與“線性函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)模型”則是在此基礎(chǔ)上的深入，且明顯立足于函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，即這3個(gè)板塊體現(xiàn)了從學(xué)習(xí)知識(shí)到應(yīng)用知識(shí)的遞進(jìn)過程，反映了由理解知識(shí)到在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用知識(shí)，并在應(yīng)用中加深理解的構(gòu)想.與之不同，中國《標(biāo)準(zhǔn)》將幾種基本初等函數(shù)單獨(dú)設(shè)立了板塊，前4個(gè)板塊都主要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的理解，第五板塊“函數(shù)與方程”是函數(shù)在數(shù)學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用，其后才又專門設(shè)置了“函數(shù)模型及其應(yīng)用”.

（3）知識(shí)點(diǎn)的廣度、深度不同.廣度上，主要體現(xiàn)在美國《標(biāo)準(zhǔn)》相比中國《標(biāo)準(zhǔn)》多出了函數(shù)的運(yùn)算、復(fù)合及變換這部分的內(nèi)容，以及在繪制函數(shù)圖象方面，要求能畫平方根、立方根、多項(xiàng)式函數(shù)等的圖象；中國《標(biāo)準(zhǔn)》則多出了用二分法求相應(yīng)方程近似解.另外，美國《標(biāo)準(zhǔn)》沒有涉及映射的概念.深度方面，美國《標(biāo)準(zhǔn)》在反函數(shù)與表征方面有較高要求，如求已知函數(shù)的反函數(shù)（包括反三角函數(shù)）以及比較兩個(gè)使用不同形式表征的函數(shù)的性質(zhì)等.而中國《標(biāo)準(zhǔn)》則在對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)與方程等內(nèi)容上有更高的要求.

4　討 論

4.1處理好函數(shù)內(nèi)容的限定與自主的關(guān)系

美國《標(biāo)準(zhǔn)》是基于當(dāng)前各州教育水平參差不齊，內(nèi)容廣而淺的現(xiàn)狀而制定.要通過一部標(biāo)準(zhǔn)解決這些問題，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)中的知識(shí)點(diǎn)做出多大程度上的限定是關(guān)鍵.針對(duì)教育水平參差不齊的現(xiàn)狀，《標(biāo)準(zhǔn)》中知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)十分具體、詳細(xì)的特點(diǎn)；針對(duì)內(nèi)容淺顯的問題，《標(biāo)準(zhǔn)》中很多知識(shí)點(diǎn)的要求也都有一定的難度.這樣一來，內(nèi)容比較固定，內(nèi)容上允許的自由度較小.與此同時(shí)，美國《標(biāo)準(zhǔn)》并沒有規(guī)定該部分內(nèi)容在課程實(shí)施中的時(shí)間、順序，就這一點(diǎn)來說，又留出了一定的自主空間，使得各州可以靈活安排實(shí)施.

而在中國《標(biāo)準(zhǔn)》中，內(nèi)容上同樣比較固定，但相比美國《標(biāo)準(zhǔn)》多了按照模塊劃分的限制.函數(shù)所在的數(shù)學(xué)1作為其它必修內(nèi)容的基礎(chǔ)，被限定在高中數(shù)學(xué)課程的最開始，相關(guān)內(nèi)容則分散在不同模塊中，給教學(xué)帶來了一些問題.例如，不等式是函數(shù)的基礎(chǔ)，但卻被安排在數(shù)學(xué)5，因此不得不提前給學(xué)習(xí)者講授這一部分的內(nèi)容[26].又如，三角函數(shù)和三角恒等變換安排在數(shù)學(xué)4中，而解三角形則被安排在數(shù)學(xué)5中，和數(shù)列、不等式放在一起，而數(shù)列也由此與函數(shù)分割開.歸根結(jié)底，模塊化的安排是為了讓知識(shí)編排呈現(xiàn)螺旋形上升，幫助學(xué)習(xí)者逐步理解.然而，根據(jù)美國《標(biāo)準(zhǔn)》的附錄A——《基于共同核心州立標(biāo)準(zhǔn)的高中數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)》（Designing High School Mathematics Courses Based on the Common Core State Standards）所給出的4種課程編排模式，單是“理解函數(shù)”部分的知識(shí)點(diǎn)就被分散到了不同年級(jí)的內(nèi)容當(dāng)中[27]，螺旋上升的程度相比中國《標(biāo)準(zhǔn)》有過之而無不及.既然如此，又何必要作出模塊化的限定呢？

4.2處理好函數(shù)知識(shí)的理解與應(yīng)用的關(guān)系

重視函數(shù)模型是兩國《標(biāo)準(zhǔn)》共同的特點(diǎn)，如何貫徹這一點(diǎn)，處理好知識(shí)理解與應(yīng)用的關(guān)系，兩國《標(biāo)準(zhǔn)》的方式有所不同，主要體現(xiàn)在“結(jié)論”部分所指出的兩國《標(biāo)準(zhǔn)》板塊間邏輯關(guān)系的區(qū)別上.美國《標(biāo)準(zhǔn)》的編排從總體上看呈現(xiàn)由理解知識(shí)到應(yīng)用知識(shí)的遞進(jìn)過程，具體到其中側(cè)重于應(yīng)用的兩個(gè)部分（“建立函數(shù)”，“線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型”），也體現(xiàn)了知識(shí)理解與應(yīng)用的結(jié)合——由實(shí)際情境中運(yùn)用函數(shù)的需求引出了復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的比較等知識(shí)點(diǎn)，詳細(xì)而有條理，內(nèi)容充實(shí)，而不是空談應(yīng)用.

中國《標(biāo)準(zhǔn)》在理解函數(shù)的內(nèi)容中并沒有忽視應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)由實(shí)例引出函數(shù)和初等函數(shù)的概念，這是該《標(biāo)準(zhǔn)》的一個(gè)特點(diǎn)，但落腳點(diǎn)仍在幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的概念與性質(zhì).至于之后安排的“函數(shù)模型及其應(yīng)用”部分，其一內(nèi)容太少，涉及的現(xiàn)實(shí)問題單一；其二缺乏具體相關(guān)知識(shí)點(diǎn)支撐，難以達(dá)到一定深度；其三該部分被放到最后，與其它內(nèi)容割裂，容易流于形式.據(jù)此，建議聯(lián)系具體函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)增加現(xiàn)實(shí)情境中運(yùn)用函數(shù)的內(nèi)容，并力求詳細(xì)、清晰，從而為函數(shù)模型的深入學(xué)習(xí)與運(yùn)用創(chuàng)造條件.

4.3處理好函數(shù)知識(shí)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系

函數(shù)的思想方法貫穿了高中數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn).F·克萊因曾提出，用函數(shù)的思想方法統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容.聯(lián)系函數(shù)與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅對(duì)后者的學(xué)習(xí)有所幫助，也能加深對(duì)函數(shù)本身的理解.美國《標(biāo)準(zhǔn)》把“數(shù)列”的內(nèi)容納入函數(shù)中，此外還涉及了導(dǎo)數(shù)、方程等內(nèi)容，并用“（+）”標(biāo)明了與高等數(shù)學(xué)（如微積分，高級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)，離散數(shù)學(xué)等）有聯(lián)系的部分.相對(duì)而言，中國《標(biāo)準(zhǔn)》只是安排了“函數(shù)與方程”這一板塊.雖然在選修與必修中的大量內(nèi)容（方程、不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列、算法、信息安全與密碼、優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)等）中都蘊(yùn)含了函數(shù)的思想方法，但由于模塊化的安排所限，難以及時(shí)、靈活地與函數(shù)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行互動(dòng).因此，在函數(shù)內(nèi)容中，對(duì)于這些部分，不妨做出適當(dāng)引申，簡單指出其與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系.此外，由于這些內(nèi)容相比函數(shù)本身往往更加接近現(xiàn)實(shí)情境，也可以結(jié)合函數(shù)的應(yīng)用來一并考慮.

［參 考 文 獻(xiàn)］

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Comparison in the Field of “Function” on Senior High School between Chinese and American Mathematics Curriculum Standards

YAN Qing1, HU Dian-shun1, 2, WANG Yu-wen1, JI Jing-ping1, HUANG Shu-xian1
(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China; 2. School of Teacher Education, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Abstract:American Common Core State Standards for Mathematics was issued in 2010. The content standards of function in high school, compared with which in Chinese mathematics curriculum standards, have something in common. Both of the standards have distinct and concrete requirements, and they both attach importance to the application of function and its combination with information technology. The two standards have some differences in flexibility of implementation, logic of content arrangement and standards of specific knowledge. We can get a great revelation from the comparison. In future curriculum reform, we should pay attention to the relationship of limitation and self regulation, of understanding and application, of function and other knowledge in the field of function.

Key words:Common Core State Standards for Mathematics; function; comparison between China and America

中圖分類號(hào)：G40-059.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-9894（2015）04-0019-06

作者簡介：嚴(yán)卿（1987—），男，湖北武漢人，碩士，主要從事數(shù)學(xué)課程和教學(xué)論研究.

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助——數(shù)學(xué)問題提出與數(shù)學(xué)教育改革：跨國比較研究（CCNU13F021）；湖北省教學(xué)研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)師范生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的理論與實(shí)踐；華中師范大學(xué)研究生教學(xué)改革研究項(xiàng)目——免費(fèi)師范生攻讀教育碩士培養(yǎng)模式的改革研究與實(shí)踐（2013018）；華中師范大學(xué)教師教育學(xué)院研究專項(xiàng)資助（2012JS07）；湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2012年度立項(xiàng)課題——中學(xué)教師數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的理論與實(shí)踐研究（2012B010）

收稿日期：2015-03-03