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    環(huán)Z4+vZ4上的斜循環(huán)碼

    2015-03-11 03:49:44劉清清
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積對偶偶數(shù)

    劉清清, 劉 麗

    (合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230009)

    0 引 言

    20世紀90年代,文獻[1]證明了某些高效二元非線性碼可以看作Z4-線性碼的Gray象,自此人們對有限環(huán)上編碼理論的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣,尤其是環(huán)上的循環(huán)碼和常循環(huán)碼的研究成為編碼理論的熱點。文獻[2-4]第1次提出了利用非交換的斜多項式環(huán)來構(gòu)造一種更廣義的循環(huán)碼,稱之為斜循環(huán)碼,并通過斜多項式環(huán)上的碼構(gòu)造出了許多好碼;文獻[5-6]將有限域上的斜循環(huán)碼推廣到伽羅瓦環(huán)和有限鏈環(huán)上;文獻[7]通過斜多項式環(huán)上模來研究斜循環(huán)碼及其對偶碼的相關(guān)性質(zhì);文獻[8]研究了環(huán)F2+vF2上的斜多項式環(huán)的結(jié)構(gòu),并給出了斜循環(huán)碼及其對偶碼的生成元;文獻[9]利用Gray映射討論了F4+vF4上斜循環(huán)碼和環(huán)F2+vF2以及F4上的斜循環(huán)碼的關(guān)系;文獻[10]介紹了Fp+vFp上斜循環(huán)碼的性質(zhì);文獻[11-12]研究了有限環(huán)Z4+vZ4(v2=v)的結(jié)構(gòu)以及該環(huán)上的線性碼的性質(zhì)。

    本文對環(huán)Z4+vZ4(v2=v)上的斜循環(huán)碼進行研究,給出了斜多項式環(huán)R[x;θ]的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)以及斜循環(huán)碼的定義,并證明了R上長度為n的斜循環(huán)碼C 為R[x;θ]/(xn-1)的左R[x;θ]-子模。最后給出了斜循環(huán)碼的歐幾里得對偶碼和厄米特對偶碼的定義及其生成多項式,并討論了斜循環(huán)自對偶碼存在的條件。

    1 預備知識

    設(shè)R為有限交換環(huán),Rn為環(huán)R上n維向量組成的集合。R上長為n的碼為Rn的一個非空子集,若它是Rn的一個加法子群或者Rn的R-子容模,則該碼為線性碼。對于R上長為n的線性碼C 中任意的碼字c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,它的循環(huán)移位(cn-1,c0,…,cn-2)∈C,則稱該碼為循環(huán)碼。碼C 中每個碼字c=(c0,c1,…,cn-1)均可以對應(yīng)于R[x]中的一個碼字多項式,即

    c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1。設(shè)環(huán)R=Z4+vZ4={a+vb|a,b∈Z4},其中v2=v,該環(huán)與多項式環(huán)Z4[v]/(v2)同構(gòu)。環(huán)R的單位群U(R)={1,3,1+2v,3+2v},且R中的非單位元均為零因子。環(huán)R為半局部的有限非鏈環(huán),通過計算R只有2個極大理想〈v+1〉和〈v+2〉。故由中國剩余定理知,R=〈v+1〉8〈v+2〉,那么對于任意的α∈R,α可唯一表示成a(v+1)+b(v+2),其中a,b∈Z4。

    2 斜循環(huán)碼

    定義環(huán)R上非平凡的自同構(gòu)如下:

    對于任意的α∈R,都有θ2(α)=α,即θ是階為2的環(huán)自同構(gòu)。對于任意的e∈Z4,有θ(e)=e,所以Z4為θ的固定環(huán)。

    定義1 環(huán)R上的多項式集合R[x;θ]={a0+a1x+…+anxn|ai∈R,0≤i≤n,n∈N}為斜多項式環(huán),其中加法定義為通常的多項式加法,乘法定義如下:

    其中,fs、gt為R 中的單位,則存在R[x;θ]中唯一的多項式p(x)、q(x)使得:

    其中,deg(q(x))<deg(g(x))或者q(x)=0。若q(x)=0,則稱g(x)為f(x)的右因式,g(x)右整除f(x)。

    定理 1 R[x;θ]的 中 心 Z(R[x;θ])是Z4[x2]。

    證明 θ是階為2的環(huán)自同構(gòu),對于?r∈R有x2i*r=(θ2)i(r)x2i=r*x2i。因此 x2i∈Z(R[x;θ])。由Z4為θ的固定環(huán)可知,f(x)=f0+f1x2+…+fkx2k為R[x;θ]中心中的一元,其中fj∈Z4,0≤j≤k。反之,對?f(x)∈Z(R[x;θ]),r∈R,有f(x)*r=r*f(x),x*f(x)=f(x)*x,則

    推論1 若xn-1∈Z(R[x;θ]),當且僅當n為偶數(shù)。

    推論2 若n為偶數(shù),且在R[x;θ]中,xn-1=g(x)*h(x),則

    xn-1=g(x)*h(x)=h(x)*g(x)。

    證明 參考文獻[3]中定理10的證明。

    定義2 Rn的子集C叫做斜循環(huán)碼(也稱θ-循環(huán)碼),若C滿足以下條件:

    (1)C為Rn的R-子容模。

    (2)若 (c0,c1,…,cn-1)∈C,則 (θ(cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C。

    若θ為R上平凡的自同構(gòu),則定義2的碼C為循環(huán)碼。

    令Rn=R[x;θ]/(xn-1),Rn中的加法為通常的多項式加法,乘法定義如下:

    設(shè)f(x)∈Rn,對于任意的r(x)∈R[x;θ],r(x)*(f(x)+(xn-1))=r(x)*f(x)+(xn-1),稱Rn是左R[x;θ]-模。

    定理2 碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,當且僅當碼C是左R[x;θ]-模Rn的左R[x;θ]-子容模。

    證明 若碼C為斜循環(huán)碼,則對于?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,有(θ(cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C,即f(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈C,則x*f(x)∈C。由線性可得?g(x)∈R[x;θ],g(x)*f(x)∈C。所以C是左R[x;θ]-模Rn的左R[x;θ]-子容模。

    若碼C 是左R[x;θ]模Rn的左R[x;θ]-子模,則?f(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈C,x*f(x)=θ(cn-1)+θ(c0)x+…+θ(cn-2)xn-1∈C,即對于任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,(θ(cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C,所以碼C為斜循環(huán)碼。

    定理3 設(shè)碼C是Rn中的斜循環(huán)碼,f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式。若f(x)為首一多項式,則C=(f(x))={r(x)*f(x)|r(x)∈Rn},其中f(x)為xn-1的右因式。

    證明 對于任意的c(x)∈C存在q(x),r(x)∈Rn,使得c(x)=q(x)*f(x)+r(x),其中r(x)=0或deg(r)<deg(f)。因為碼C 是線性的,r(x)=c(x)-q(x)*f(x)∈C。而f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式,所以r(x)=0,即c(x)=q(x)*f(x)。因此C=(f(x))。

    再證f(x)為xn-1的右因式。存在q1(x),r1(x)∈R[x;θ],使xn-1=q1(x)*f(x)+r1(x),其中r1(x)=0或deg(r1)<deg(f)。所以在Rn中,r1(x)=-q1(x)*f(x)∈C。由f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式得r1(x)=0,所以f(x)為xn-1的右因式。

    引理1 若f(x)是碼C中次數(shù)最低的但不是首一的多項式,則f(x)=fkf1(x),其中fk∈R但fk?U(R),f1(x)為R 中首一多項式。

    證明 設(shè)f(x)=f0+f1x+…+fkxk,若fk為單位,則碼C中必存在k次首一的多項式,所以fk不為單位。由于環(huán)R中的不可逆元均為零因子,可設(shè)S={u|u∈R,ufk=0}。對?a∈S,有af(x)=af0+…+afkxk=af0+…+afk-1xk-1,又由于f(x)是碼C中最低次數(shù)多項式,af(x)=0。對?a∈S,afi=0,其中0≤i≤k-1,即fi=fkbi(bi∈R)。故f(x)=fkf1(x),f1(x)為 R 中首一多項式。

    定理4 設(shè)碼C為環(huán)R上的斜循環(huán)碼,f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式,如果碼C中沒有首一多項式,則C=(f(x)),其中f(x)=fkf1(x),fk∈R\U(R)。f1為R 中首一多項式,且f1是xn-1的右因式。

    證明 對于?c(x)∈C,存在R[x;θ]中多項式q(x)和r(x),使c(x)=q(x)*f(x)+r(x),其中r(x)=0或者deg(r)<deg(f)。由于f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式,碼C中沒有首一多項式,所以r(x)=0,即C=(f(x))。

    令xn-1=Q(x)*f1(x)+R(x),其中Q(x),R(x)∈R[x;θ],R(x)=0或者deg(R)<deg(f1),易知Q(x)為首一多項式。再令Q(x)=Q1(x)+Q2(x),Q1(x)為Q(x)中所有的奇次項,Q2(x)為Q(x)中所有的偶次項,fk=a(1+v)+b(2+v)。若Q1(x)為首一多項式,那么有:

    fk(xn-1)=fk(Q(x)*f1(x))+fkR(x)=fkQ1(x)*f1(x)+fkQ2(x)*f1(x)+fkR(x)=Q1(x)*θ(fk)f1(x)+Q2(x)*fkf1(x)+fkR(x)=Q1(x)*fkf1(x)+Q2(x)*fkf1(x)+fkR(x)+Q1(x)*((a+b)(1+2v))f1(x)。

    由于碼C是斜循環(huán)碼,在Rn中p(x)=Q1(x)*[(a+b)(1+2v)]f1(x)+fkR(x)∈C,所以存在s(x)∈Rn滿足p(x)=s(x)*fkf1(x),又因為Q1(x)、f1(x)首一且碼C 中沒有首一的多項式,所以a+b≠1或3。若a+b=2,fk?U(R),則a=0,b=2,fk=2v或a=2,b=0,fk=2+2v。當a=0,b=2,fk=2v時,p(x)的最高項系數(shù)為2,那么存在r∈R,使得r·θ(2v)=2或者r·2v=2,矛盾。當a=2,b=0,fk=2+2v時,同樣是矛盾的。所以a+b=0,即p(x)=fkR(x)∈C。又由f(x)為碼C中次數(shù)最低的多項式得R(x)=0。若Q2(x)為首一的多項式,可以通過討論θ(fk)*(xn-1)同理可得R(x)=0,所以f1(x)為xn-1的右因式。

    定理5 設(shè)碼C為Rn中的含有部分首一多項式的斜循環(huán)碼。假設(shè)碼C中次數(shù)最低的多項式f(x)不為首一多項式,則C=(f(x),g(x)),其中g(shù)(x)是在碼C內(nèi)的首一多項式中次數(shù)最低的多項式。

    證明 對于任意的c(x)∈C,存在唯一的多項式q(x),r(x)∈R[x;θ],使得c(x)=q(x)*g(x)+r(x),其中r(x)=0或者 deg(r(x))<deg(g(x))。由碼C 為斜循環(huán)碼,g(x)∈C 可知r(x)∈C。如果r(x)=0,則c(x)∈(f(x),g(x))。如果r(x)≠0,則r(x)不為首一多項式,令r(x)=q1(x)*f(x)+r1(x),其中r1(x)=0或者deg(r1)<deg(f),由f(x)是碼C中次數(shù)最低的多項式知r1(x)=0,所以c(x)=q(x)*g(x)+q1(x)*f(x)∈ (f(x),g(x)),故 C=(f(x),g(x))。

    定理6 設(shè)碼C是R上長度為n的斜循環(huán)碼,若n為偶數(shù),則碼C等價于R上長度為n、指數(shù)為2的準循環(huán)碼;若n為奇數(shù),則碼C等價于R上長度為n的循環(huán)碼。

    證明 若n為偶數(shù),對于?c=(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C,由θ2=1可知:

    θ2(c)= (θ2(cn-2),θ2(cn-1),θ2(c0),…,θ2(cn-3))=(cn-2,cn-1,c0,…,cn-3)∈C。

    再由準循環(huán)碼的定義知,C等價于R上長度為n、指數(shù)為2的準循環(huán)碼。

    若n為奇數(shù),對于任意的c=(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C,由斜循環(huán)碼的定義知:

    (θn(c0),θn(c1),…,θn(cn-1))∈C,

    進而有(θn+1(cn-1),θn+1(c0),…,θn+1(cn-2))∈C,又因 為n 為奇 數(shù) 且θ2=1,所以 (cn-1,c0,…,cn-2)∈C,故C是R上長度為n的循環(huán)碼。

    3 環(huán)R上斜循環(huán)碼的對偶碼

    定義3 設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)為Rn中的2個元素。x與y的歐幾里得內(nèi)積定義為:

    〈x,y〉=x1y1+x2y2+…+xnyn,x與y的厄米特內(nèi)積定義為:

    [x,y]=x1θ(y1)+x2θ(y2)+ … +xnθ(yn)。

    定義4 設(shè)碼C是R上長度為n的線性碼,碼C在歐幾里得內(nèi)積下的對偶碼為:

    C⊥={x∈Rn|〈x,c〉=0,?c∈C}。碼C在厄米特內(nèi)積下的對偶碼為:

    C*= {x∈Rn|[x,c]=0,?c∈C}。若C⊥=C,則稱碼C為歐幾里得自對偶碼;若C*=C,則稱碼C為厄米特自對偶碼。

    定理7 設(shè)碼C是R上長度n的斜循環(huán)碼,則C⊥和C*也為斜循環(huán)碼。

    證明 對?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C⊥,a=(a0,a1,…,an-1)∈C,有〈c,a〉=0。若n為偶數(shù),由斜循環(huán)碼的定義知:

    (θn-1(a1),θn-1(a2),…,θn-1(a0))∈C,c0θn-1(a1)+c1θn-1(a2)+…+cn-1θn-1(a0)=0,

    即有θ(c0)θn(a1)+θ(c1)θn(a2)+ … +θ(cn-1)θn(a0)=0。因為n為偶數(shù),則有:

    θ(cn-1)a0+θ(c0)a1+θ(c1)a2+ …

    +θ(cn-2)an-1=0,

    (θ(cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C⊥,所以C⊥為斜循環(huán)碼。

    若n 為奇數(shù),可知(θn-1(a1),θn-1(a2),…,θn-1(a0))=(a1,a2,…,a0)∈C,則a1c0+a2c1+…+a0cn-1=0,即(cn-1,c0,…,cn-2)∈C⊥,由于

    (θn(a0),θn(a1),…,θn(an-1))=(θ(a0),θ(a1),…,θ(an-1))∈C,

    cn-1θ(a0)+c0θ(a1)+ … +cn-2θ(an-1)=0,即a0θ(cn-1)+…+an-1θ(cn-2)=0,所以有:(θ(cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C⊥。同理可證C*也為斜循環(huán)碼。

    引理2 如果n為偶數(shù),且xn-1=h(x)*g(x),其中g(shù)(x)、h(x)為R[x;θ]中首一的多項式,碼C=(g(x))是Rn中的斜循環(huán)碼,那么對于任意的c∈C,當且僅當在Rn中c(x)*h(x)=0。

    證明 當c∈C時存在p(x)∈Rn使c(x)=p(x)*g(x)。由推論2知,在Rn中有:

    c(x)*h(x)= (p(x)*g(x))*h(x)=

    p(x)*(h(x)*g(x))=0。

    反之若在Rn中c(x)*h(x)=0,則

    c(x)*h(x)=p(x)*(xn-1)=p(x)*(h(x)*g(x))=(p(x)*g(x))*h(x),

    又因為h(x)不為零因子,所以有c(x)=p(x)*g(x)∈C。

    定理8 設(shè)C=(g(x))為R上偶長度n、維數(shù)為k的斜循環(huán)碼。假設(shè)xn-1=h(x)*g(x),其中g(shù)(x)=g0+g1x+…+gn-k-1xn-k-1+xn-k,h(x)=h0+h1x+…+hk-1xk-1+xk,則其對偶碼C⊥=(h(x)),h(x)=θk(h0)xk+θk-1(h1)xk-1+…+1。

    證明 由 引理2知,對 ?c= (c0,c1,…,cn-1)∈C,f(x)=c(x)*h(x)=0。所以f(x)中xs(1≤s≤n-1)項的系數(shù)為0,即其中,hk=1;ht=0;k+1≤t≤n-1。

    令β=(hs,θ(hs),…,θs(h0),θs+1(hn-1),…,θn-1(hs-1)),那么〈c,β〉=0,且c與β 及其所有的循環(huán)移位歐幾里得正交,所以(h(x))?C⊥。

    若k 為 奇 數(shù),令g(x)=1+gn-k-1x +θ(gn-k-2)x2+…+θ(g1)xn-k-1+g0xn-k。

    若k為偶數(shù),令g(x)=1+θ(gn-k-1)x+gn-k-2x2+…+θ(g1)xn-k-1+g0xn-k。

    由于h(x)*g(x)=xn-1,在Rn中g(shù)(x)*h(x)=0,所以h(x)為xn-1的右因式。又|(h(x))|=|R|n-k=|C⊥|,故C⊥=(h(x))。

    定理9 設(shè)xn-1=h(x)*g(x),其中h(x)、g(x)為首一的多項式。C=(g(x))為R上偶長度n、維數(shù)為k的斜循環(huán)碼,則

    證明 與定理8的證明類似。

    推論3 若環(huán)R上的斜循環(huán)碼為歐幾里得自對偶碼,那么該循環(huán)碼的常數(shù)項系數(shù)和長度要滿足:①g0=1+2v或3+2v;②n=2k,其中k為奇數(shù)。

    證明 設(shè)碼C=(g(x))是環(huán)R上長度為n的斜循環(huán)自對偶碼,其中,

    g(x)=g0+g1x+…+gk-1xk-1+xk,g0≠0。易知n=2k,由定理8知(h(x))=(g(x)),那么g0為單位,且

    又因為在R[x;θ]中h(x)*g(x)=xn-1,故θk(g0)=-g0,所以g0=1+2v或3+2v,k為奇數(shù)。由此得n=4,8,12時沒有斜循環(huán)自對偶碼,進一步得n=2,6,10時也沒有斜循環(huán)自對偶碼,所以當n≤12時環(huán)R上沒有斜循環(huán)自對偶碼。

    4 結(jié)束語

    本文給出了環(huán)Z4+vZ4上的自同構(gòu),討論了該環(huán)上斜循環(huán)碼C的生成多項式,進一步證明了偶長度的斜循環(huán)碼等價于指數(shù)為2的準循環(huán)碼,奇長度的斜循環(huán)碼等價于循環(huán)碼。并給出了在歐幾里得內(nèi)積和厄米特內(nèi)積下環(huán)R上偶長度斜循環(huán)碼的對偶碼的生成多項式。由于Z4+vZ4上斜循環(huán)碼是廣義的循環(huán)碼,其個數(shù)比循環(huán)碼要多,從而通過斜循環(huán)碼有利于得出一些性質(zhì)好的碼。

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