多內(nèi)積空間的性質(zhì)

李武明，許 寧

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

1 引言

作為正定內(nèi)積空間的Euclidean空間(E-空間)與作為不定內(nèi)積空間的Minkowski空間(M-空間)，在數(shù)學(xué)與物理中均有廣泛的應(yīng)用.由于Euclidean空間可看作(p,q)型Minkowski空間的子空間，故Euclidean空間理論的研究可納入Minkowski空間理論研究框架中進(jìn)行.然而，僅由Minkowski空間理論卻不能完全刻劃M(mǎn)inkowski空間中向量的性質(zhì).例如，任意類(lèi)光向量的Minkowski內(nèi)積(M-內(nèi)積)為零，故由M-內(nèi)積無(wú)法刻劃非零類(lèi)光向量的空間位置.再如，M-空間的非退化三角形，既不滿(mǎn)足三角不等式，也不滿(mǎn)足反向三角不等式.M-空間中三點(diǎn)問(wèn)題既與點(diǎn)的位置有關(guān)，也與點(diǎn)的順序有關(guān)[1-9].關(guān)注如上事實(shí)，本文引入以Euclidean空間與Minkowski空間等單內(nèi)積空間為其特例的半序多內(nèi)積空間(簡(jiǎn)稱(chēng)多內(nèi)積空間)的概念，并應(yīng)用于考察數(shù)學(xué)與物理中的問(wèn)題.下文只在有限維實(shí)線(xiàn)性空間中討論問(wèn)題.

2 定義與例子

對(duì)應(yīng)于E-內(nèi)積空間與M-內(nèi)積空間，還存在一個(gè)有別于兩者的G-內(nèi)積空間(一種半正定內(nèi)積空間).設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的n維線(xiàn)性空間，存在V上實(shí)對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)ρ:V×V→R,和一組基向量e1,…,ep,ep+1,…,ep+q=en,滿(mǎn)足

則稱(chēng)ρ為V的G(M，E)-內(nèi)積，V稱(chēng)為n維(p,q)型G(M，E)-內(nèi)積空間，記為(V,ρ),并將ρ(u,v)記為(u,v)G((u,v)M,(u,v)E).若(1)式改為

則得到負(fù)定(半負(fù)定)內(nèi)積空間：E*(G*)-內(nèi)積空間.

例1 設(shè)n維實(shí)線(xiàn)性空間Rn=L(e1,…,ep,ep+1,…,ep+q=en),ei為單位矩陣En的第i個(gè)行向量，定義實(shí)對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)ρ:Rn×Rn→R

ρ(x,y)=x1y1+…+xpyp+

(xp+1yp+1+…+xp+qyp+q),

ρ(x,y)=-x1y1-…-xpyp-

(xp+1yp+1+…+xp+qyp+q),

本文論及的單內(nèi)積空間為如上五種內(nèi)積空間，論及的內(nèi)積也自然是如上五種內(nèi)積.

定義1 設(shè)V為實(shí)域R上的線(xiàn)性空間，?1,?2,…,?m是V的半序關(guān)系，ρ1,ρ2,…,ρm是與半序關(guān)系對(duì)應(yīng)的V的內(nèi)積.若(V,?i,ρi),i=1,2,…,m均為半序內(nèi)積空間，且m>0,則稱(chēng)V為R上的A型多內(nèi)積空間，記為

(V,?i,ρi)i∈1,2,…,m或

(V,?1,ρ1;?1,ρ1;…;?m,ρm).

(1)

在如上定義中，若V的內(nèi)積有m+1個(gè)：ρ0,ρ1,ρ2.…,ρm,則稱(chēng)V為實(shí)域R上的B型多內(nèi)積空間，記為

(V,ρ0;?i,ρi)i∈{1,2,…,m}

或(V,ρ0;?1,ρ1;?1,ρ1;…;?m,ρm).

(2)

A型與B型多內(nèi)積空間，統(tǒng)稱(chēng)為多內(nèi)積空間.

顯然，m=0時(shí)，B型多內(nèi)積空間退化為單內(nèi)積空間；m=1時(shí)，A型多內(nèi)積空間退化為半序單內(nèi)積空間.

例2 時(shí)空平面R1,1={xe1+ye2}的基向量e1,e2關(guān)于Clifford代數(shù)Cl1,1的內(nèi)積滿(mǎn)足e1·e1=-e2·e2=1,e1·e2=0,R1,1關(guān)于該內(nèi)積作成Minkowski平面[1,3,4,6].任取w1,w2∈R1,1,定義w1?w2?w2-w1∈D={w=xe1+ye2|e·e=x2-y2=0}.則(R1,1,(,)M;?,(,)E)構(gòu)成B型半序雙內(nèi)積空間[4,10].

多內(nèi)積空間的一種特殊情形是，與各種不同半序關(guān)系對(duì)應(yīng)的內(nèi)積都相同.這時(shí)稱(chēng)其為多半序單內(nèi)積空間.具體定義如下

定義2 設(shè)(V,ρ0;?1,ρ1;?1,ρ1;…;?m,ρm)為半序多內(nèi)積空間，且有ρ0=ρ1=…=ρm，則稱(chēng)其為多半序單內(nèi)積空間，并簡(jiǎn)記為

(V,ρ0;?i,)i∈{1,2,…,m}或(V,ρ0;?1;?2;…;?m,).

(3)

例3 任取w1,w2∈R1,1,定義

w1?1w2?|x2-x1|

|y2-y1|

則

(R1,1,?1,(,)M;?2,(,)M)=

(R1,1,(,)M,?i)i∈{1,2}

(4)

為雙半序單內(nèi)積空間.

定義3 設(shè)(V,ρ0;?i,ρi)i∈{1,2,…,m}為半序多內(nèi)積空間，稱(chēng)

(V,ρ0;?ik,ρik)ik∈{1,2,…,m|k=1,2,…,n≤m}及

(V,?ik,ρik)ik∈{1,2,…,m|k=1,2,…,n≤m}

(5)

為(V,ρ0;?i,ρi)i∈{1,2,…,m}的一個(gè)限序子空間.

例4 在例3中，(R1,1,?1,(,)M)與(R1,1,?2,(,)M)均為(R1,1,?1,(,)M;?2,(,)M)的限序子空間.

定義4 設(shè)(V,ρ0;?i,ρi)i∈{1,2,…,m}為半序多內(nèi)積空間，設(shè)di是由ρi(i=1,2,…,m)導(dǎo)出的距離函數(shù)，則稱(chēng)(V,d0;?i,di)i∈{1,2,…,m}為由(V,ρ0;?i,ρi)i∈{1,2,…,m}導(dǎo)出的(半序)多距離空間.

3 應(yīng)用

本節(jié)將給出多內(nèi)積空間應(yīng)用于(1，1)型M-內(nèi)積空間(Minkowski平面，時(shí)空平面)的實(shí)例，得到的相關(guān)結(jié)果可向一般的(p,q)型M-內(nèi)積空間推廣.

3.1 類(lèi)時(shí)向量、類(lèi)空向量及類(lèi)光向量的統(tǒng)一表達(dá)式

在例5所述的由半序雙內(nèi)積空間(R1,1,(,)M;?,(,)E)導(dǎo)出的半序雙距離空間(R1,1,σM;?,σE)中，任取w∈R1,1,w可表為w=σ(w)δ(w)exp(e12θε)，

其中σ(w)可表為

exp(e12θε)可表為

即ε∈{0,1},當(dāng)σM(w)≠0時(shí)，ε=1,當(dāng)σM(w)=0時(shí)，ε=0.非類(lèi)光向量的幅角θ=arctanh(sgn(xy)min{|x|,|y|/max|x|,|y|}).w的示向向量δ(w)可表為

(6)

稱(chēng)為w的示向向量.如此，利用多內(nèi)積空間的性質(zhì)，給出了(1，1)型M-內(nèi)積空間中三種向量的統(tǒng)一表達(dá)式.

3.2 依序反向三角不等式

參照例3，給出如下多半序單內(nèi)積空間(R1，1，(，)M，?i)i∈{1,2,3,4},其中?i(i∈{1,2,3,4})定義為?w2-w1∈R1,1(i),其中

?w1,w1∈R1,1.

先由限序子空間(R1，1，(，)M，?2)展開(kāi)相關(guān)問(wèn)題的討論.

任取w0,w1,w2∈R1,1，若有w0?2w1,w2?2w2,則有

σM(w1+w2-2w0)≥σM(w1-w0)+σM(w2-w0).

特別地，w0=0時(shí)，有如下反向三角不等式

σM(w1+w2)≥σM(w1)+σM(w2).

(7)

易知，當(dāng)w1,w2∈R1,1(i)(i∈{1,2,3,4})時(shí)，對(duì)R1,1(i),上式總是成立的.當(dāng)然，也有如下的反向Schwarz不等式

(8)

及依序反向三角不等式

σM(w3-w1)≥σM(w2-w1)+

σM(w3-w3),w1?w2?w3

(9)

成立.

由(7)式，?w1,w2,…,wn∈R1,1,若w1?iw2?i…?iwn,i∈{1,2,3,4}則有如下不等式

σM(w1+w2+…+wn)≥σM(w1)+

σM(w2)+σM(wn)

(10)

記L[AB]為R1,1上以A為起點(diǎn)以B為終點(diǎn)的所有類(lèi)時(shí)曲線(xiàn)所成集，LAB為L(zhǎng)[AB]中直線(xiàn)段，wAB為以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的向量.任取L∈L[AB]由σM(L)表示其長(zhǎng)度，則有如下線(xiàn)段最長(zhǎng)定理

σM(L)≤σM(LAB).

(11)

事實(shí)上任取L∈L[AB]，由L的連續(xù)性知，在L上可由A至B順次取到點(diǎn)

A0(=A),A1,…,Am-1,Am(=B),

使得m→∞時(shí)有max{wA0A1,…,wAm-1Am}→0，從而有

(12)

其幾何意義為：在連接兩點(diǎn)的所有類(lèi)時(shí)曲線(xiàn)中，線(xiàn)段最長(zhǎng).

例6 在R1,1中定義三內(nèi)積空間

(R1,1,?1,(,)M;?2,(,)E;?3,(,)G),

其中w1?1w2?w2-w1∈R1,1(2);w1?2w2?w2-w1∈R1,1;w1?3w2?x2-x1≥0,?w1=x1e1+y1e2,?w2=x2e1+y2e2∈R1,1.則其單序子空間(R1,1,?3,(,)G)具有與(11)相對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段與曲線(xiàn)等長(zhǎng)定理

σM(L)=σ(LAB).

(13)

而單序子空間(R1,1,?1,(,)M)及(R1,1,?2,(,)E)=(R1,1,(,)E)則具有線(xiàn)段最長(zhǎng)定理及熟知的線(xiàn)段最短定理.

參考文獻(xiàn)：

[1]Lounesto P.Clifford algebra and spinord[M].Cambridge University Press,2001.

[2]Li Wuming,Yang Fan,N-dimensional Minkowski space and space-time algebra[J].New Zealand Journal of Mathematics,2004,159-164.

[3]李武明，Clifford代數(shù)與Minkowski空間的性質(zhì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，13(4)：13-16.

[4]李武明，時(shí)空平面的Clifford代數(shù)與Abel復(fù)數(shù)系統(tǒng)[J].吉林大學(xué)：自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，(5)：13-16.

[5]吳亞波，Clifford代數(shù)中的雙曲相位變換群及其在四維相對(duì)論時(shí)空中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào)，2005，(11).

[6]Baylis W E.Clifford(Geometric) algebra with applications to Physics,mathematics,and engineering[M].New York:Birkhauser Boston,1996.

[7]紀(jì)鳳輝，三維Minkowski空間中的螺旋面和偽全臍曲面[D].大連：大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，2006.

[8]夏道行，嚴(yán)紹宗.線(xiàn)性算子譜理論Ⅱ不定度規(guī)空間上的算子理論[M].北京：科學(xué)出版社，1987.

[9]Zhang Shuna.Clifford Algebra and the Lorentz Transformation with(p,q) From[J].Advances in Applied Clifford Algebra,2005,(2):39-43.

[10]謝祥云.序半群引論[M].北京：科學(xué)出版社，2001.