數(shù)學(xué)課堂：讓思維自然舒展

杜素芹　張大冬

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用?！边@段話凸顯了數(shù)學(xué)在培養(yǎng)“思維能力”和“創(chuàng)新能力”方面的學(xué)科教育特質(zhì)，是對數(shù)學(xué)教育核心價(jià)值的一個(gè)全新定位。數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)課堂是師生生命相遇、心靈敞開的地方，也是學(xué)生個(gè)性彰顯、思維生長的場所。我們要順應(yīng)學(xué)生內(nèi)在的自然天性，遵循學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生思維自然完滿地舒展。

一、回歸兒童本位——營造思維自然舒展的環(huán)境

1.舒展，要有花苞心態(tài)，靜待花開

課程改革以來，我們的課堂有了“交流”“對話”“展示”，其實(shí)熱鬧的背后更多的是少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生霸占了話語權(quán)，越來越多地侵占了其他學(xué)生的思維領(lǐng)地，使他們成了學(xué)習(xí)的旁觀者。身為教師，面對學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和教學(xué)中的意外，往往等不得，急于以自己的思路推進(jìn)，拽著、牽著、趕著學(xué)生走。教師給予學(xué)生的信號(hào)越多，學(xué)生的思維水平就越低。長此以往，導(dǎo)致學(xué)生思維力的喪失、好奇心的退化、創(chuàng)造力的泯滅。

學(xué)習(xí)必須伴隨著思考，必須經(jīng)歷感知、辨別、比較、概括、內(nèi)化、壓縮、轉(zhuǎn)化、更廣泛的遷移乃至創(chuàng)造等一系列思維過程。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，學(xué)生思維的生長必須通過自我建構(gòu)完成，沒有人能代替。因而，教要真正地從兒童立場出發(fā)，盡可能多地給學(xué)生提供思維自然舒展的時(shí)空，讓每一個(gè)孩子都能放松情緒，主動(dòng)思考，大膽探索、敢于展示、勇于創(chuàng)造。讓我們以呵護(hù)花苞的心態(tài)，慢慢等待花開的時(shí)節(jié)。

2.舒展，要蹲下身來，靜心傾聽

舒展體現(xiàn)了生命的一種狀態(tài)：不斷生長、不斷變化、不斷創(chuàng)新，并在這個(gè)過程中不斷走向成熟。學(xué)生總是用他們的眼睛看世界，有他們的觀察方式、思維方式、解釋方式和表達(dá)方式，他們的想法可能天真、可能拙樸、可能突兀、可能有錯(cuò)……在學(xué)習(xí)的過程中，教師的職責(zé)就在于觀察學(xué)生，以學(xué)生的年齡特點(diǎn)、思維特點(diǎn)為前提，用學(xué)生的眼光審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，蹲下身來傾聽學(xué)生的各種聲音，真正走進(jìn)學(xué)生的精神和心靈世界，獲得與學(xué)生思維上的同步和心理上的共鳴，幫助他們找到思維發(fā)展的最大可能和最好可能。思維自然舒展的課堂上，教師的靜心傾聽充滿了對生命的關(guān)注，讓學(xué)生的生命活力在課堂上得到充分展現(xiàn)，在問題的探索過程中點(diǎn)燃學(xué)生智慧的激情。

二、遵循思維規(guī)律——展現(xiàn)思維自然舒展的過程

最大限度地激活學(xué)生的思維離不開教師的有效引領(lǐng)，需要教師從學(xué)生的角度思考和看待問題，遵循思維發(fā)展的規(guī)律，因勢利導(dǎo)，幫助他們找到屬于自己的學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建屬于自己的學(xué)習(xí)思維。

1.找準(zhǔn)思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)是前后銜接、環(huán)環(huán)相扣的?？偸前凑瞻l(fā)生、發(fā)展、延伸的規(guī)律構(gòu)成每個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識(shí)體系。學(xué)生獲得知識(shí)的思維過程也是如此?！敖獭睉?yīng)當(dāng)基于學(xué)生的“學(xué)”，找準(zhǔn)學(xué)生的思維起點(diǎn)，確定“學(xué)生現(xiàn)在在哪里”和“學(xué)生能夠到哪里”，有效激發(fā)學(xué)生思維的內(nèi)驅(qū)力。

如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)，學(xué)生已學(xué)過“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，新舊知識(shí)之間屬于總分關(guān)系。學(xué)習(xí)時(shí)，和學(xué)生一起回顧：把一個(gè)物體或一個(gè)計(jì)量單位平均分成若干份，一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示。接著指出，我們也可以把許多物體看作一個(gè)整體，使學(xué)生明白新舊知識(shí)間的不同點(diǎn)。然后出示蘋果等圖，學(xué)生利用新舊知識(shí)間的相同因素，來操作、推理，最后對一個(gè)物體和一堆物體的情況作抽象化處理，概括出分?jǐn)?shù)的意義。在這個(gè)過程中，新知和舊知的共同因素固定到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，同時(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)又由于新舊知識(shí)之間的異同而得到發(fā)展。

2.把握思維方向

思維自然舒展的課堂是開放的課堂，課堂一旦開放，學(xué)生的思維就會(huì)活起來，往往也會(huì)出現(xiàn)方向不明、條理性差、容易受阻的現(xiàn)象，背離探究的方向。這時(shí)就需要教師對學(xué)生的問題和想法有高度的敏感，能及時(shí)疏通學(xué)生的思維流程，使之朝著正確的方向發(fā)展。

如教學(xué)《3的倍數(shù)的特征》時(shí)，學(xué)生有了“2的倍數(shù)的特征”的學(xué)習(xí)，自然會(huì)猜想3的倍數(shù)的特征也是看個(gè)位。當(dāng)學(xué)生通過舉例、驗(yàn)證否定了自己的猜想而又茫然不知所措時(shí)，教師及時(shí)站出來指出用眼睛觀察很難直接發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，得尋找新的研究思路。課前每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備了一個(gè)計(jì)數(shù)器，讓他們用計(jì)數(shù)器撥出一些3的倍數(shù)，再進(jìn)行觀察研究，看看有什么發(fā)現(xiàn)。教師的及時(shí)點(diǎn)撥為學(xué)生指引了一條新的探究途徑，學(xué)生積極地投身于新的探究活動(dòng)。

3.掌握思維方法

好的教師不是在教數(shù)學(xué)，而是能激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)數(shù)學(xué)。只有當(dāng)學(xué)生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學(xué)理解力時(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。同樣，學(xué)生在獨(dú)立思考以及與他人交流的過程中不斷積累思維經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成自己的、合理的思維方法，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

如在“3的倍數(shù)的特征”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生借助計(jì)數(shù)器研究發(fā)現(xiàn)了3的倍數(shù)的特征后，教師追問：“有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，我們能不能就說一個(gè)數(shù)，在計(jì)數(shù)器上所用算珠的顆數(shù)是3的倍數(shù)，它就是3的倍數(shù)？”“你認(rèn)為下面應(yīng)該怎么辦？”使學(xué)生意識(shí)到還要找一些不是3的倍數(shù)的數(shù)來研究，體驗(yàn)到研究問題的思路和方法——枚舉法以及從正反兩個(gè)方面驗(yàn)證結(jié)論的合理性等。在初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，教師沒有止步于此，而是繼續(xù)推進(jìn)：“有了這些研究，你是否認(rèn)為我們研究出的結(jié)論對所有的數(shù)都適用？”及時(shí)將數(shù)的范圍擴(kuò)大，并運(yùn)用不完全歸納法驗(yàn)證初步發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)到：要得出結(jié)論，只選擇某一個(gè)特定范圍內(nèi)的數(shù)進(jìn)行研究是有局限的，還需要選取更多的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。這樣的環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生收獲了研究問題的思路和方法，更獲得了終身有效的探究經(jīng)驗(yàn)和必要的思維方法。

三、引領(lǐng)思維發(fā)展——彰顯思維自然舒展的美妙

思維自然舒展的課堂有天真的追問在澎湃，有審美的直覺在跳躍，有靈動(dòng)的想象在飛翔。學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化歷程中熱情地體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)和再創(chuàng)造數(shù)學(xué)，詩意地棲息在思維自然舒展的課堂上。

1.體驗(yàn)獨(dú)立思考的價(jià)值

課堂教學(xué)的本質(zhì)不是教，而是讓學(xué)生動(dòng)起來，讓學(xué)生獨(dú)立思考。一個(gè)學(xué)生，如果只會(huì)理解和接受別人的觀點(diǎn)，只會(huì)人云亦云，沒有自己的獨(dú)立思考，或者不善于進(jìn)行獨(dú)立思考，那么，他是不可能成為創(chuàng)新型人才的。德國數(shù)學(xué)家康托爾曾指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的充分自由?！庇兴伎疾艜?huì)有問題，才會(huì)有反思，才會(huì)有思想，才能真正感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值，也才能感受到自身的價(jià)值。

如教學(xué)完“同分母和同分子分?jǐn)?shù)的大小比較”后，有一個(gè)學(xué)生提出：像和這樣的分?jǐn)?shù)，哪個(gè)大呢？異分母分?jǐn)?shù)的大小比較是建立在通分的基礎(chǔ)上的，可“通分”還沒學(xué)。如果搪塞過去，會(huì)影響學(xué)生以后提問題的積極性?？粗鴮W(xué)生疑惑而又期盼的眼神，我決定讓他們自己試試！逐漸地，學(xué)生的臉上露出了興奮的神情。多數(shù)學(xué)生想到了畫圖的方法，畫兩條一樣長的線段，分別表示出和，從而發(fā)現(xiàn)小于。也有個(gè)別學(xué)生在畫圖的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)和單位“1”相差一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，可以通過比較大于，從而得出小于。還有學(xué)生想到了把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)再比較。因?yàn)榻o了學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，在交流中，當(dāng)自己的方法得到了大家的肯定時(shí)，我看到學(xué)生的臉上自然地流露出自豪的成就感。取消告訴，讓學(xué)生生活在思考的世界里比什么都重要。

2.享受質(zhì)疑思辨的快樂

學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)和富有個(gè)性的過程。在這里，學(xué)生間通過交往獲取動(dòng)力，通過互動(dòng)得到創(chuàng)生。他們在學(xué)習(xí)的過程中有大量的參與和自由表達(dá)的機(jī)會(huì)。在思維碰撞中他們交流不同的觀點(diǎn)，彼此之間相互啟發(fā)、借鑒，學(xué)生的個(gè)性得到充分發(fā)揮，個(gè)人觀點(diǎn)、個(gè)人思維也從集體智慧中得到完善和發(fā)展。

如學(xué)習(xí)《軸對稱圖形》，在判斷平行四邊形是不是軸對稱圖形時(shí)，出現(xiàn)了兩種不同的意見。這時(shí)，我放手讓學(xué)生充分發(fā)表自己的想法。有的學(xué)生邊演示邊向大家介紹把平行四邊形對折再對折，就能完全重合，所以是軸對稱圖形。反對的學(xué)生認(rèn)為，第一次對折不能重合，說明這個(gè)平行四邊形不是軸對稱圖形。第二次再對折，對折的圖形已經(jīng)不是原來的平行四邊形。又有學(xué)生認(rèn)為，第一次對折后只要把對折后的圖形轉(zhuǎn)動(dòng)一下，這兩個(gè)圖形就可以完全重合。有學(xué)生反駁，軸對稱圖形只能是對折后兩個(gè)圖形完全重合，不可以將它們進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)……學(xué)生在質(zhì)疑爭辯的過程中對軸對稱圖形的概念內(nèi)涵有了更清晰的認(rèn)識(shí)。當(dāng)課堂上出現(xiàn)不同的聲音時(shí)，讓學(xué)生像小辯手一樣辯一辯、說一說，是行之有效的方法。學(xué)生的爭論不休，可以促進(jìn)學(xué)生間的眾多信息相互碰撞交織，使學(xué)生的思維由“表層”走向“深入”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

3.感受優(yōu)化思想的魅力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，沉淀下來的思維方式對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生積極影響。當(dāng)獨(dú)立解決問題時(shí)，學(xué)生有靈活選擇優(yōu)化方法的意識(shí)和行為。當(dāng)面對一個(gè)不確定的問題情境時(shí)，從思維方式的選擇、嘗試程序的設(shè)計(jì)與調(diào)整，再到用最優(yōu)化的思維方法解決問題，感受優(yōu)化思想的魅力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

如“雞兔同籠問題”這個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，蘊(yùn)含了畫圖、列舉、假設(shè)、方程等豐富的數(shù)學(xué)思想。我們學(xué)校開展了數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練課，這一訓(xùn)練內(nèi)容貫穿整個(gè)小學(xué)階段。一、二年級(jí)用畫圖的方法來解決，三、四年級(jí)用列舉的方法解決，五、六年級(jí)用假設(shè)法解決。針對學(xué)生的年齡特點(diǎn)，一節(jié)課突出一種核心思想。五年級(jí)教學(xué)假設(shè)法解決這一內(nèi)容時(shí)，在學(xué)生學(xué)會(huì)假設(shè)法之后，讓學(xué)生回顧一下以前用過的畫圖、列舉的方法，比較三種方法有什么共同的地方，并說說自己喜歡哪種方法。在對前后方法進(jìn)行對比、優(yōu)化的過程中，揭示其內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)就是“假設(shè)”，體會(huì)到直接用假設(shè)法解決雞兔同籠問題更簡單。

4.演繹自由創(chuàng)造的精彩

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是富有生命力的、具有自我生長力的活動(dòng)。學(xué)習(xí)不是知識(shí)的簡單增加，而是智慧的不斷開啟。巴西教育家保羅·弗萊雷說過：“學(xué)習(xí)，并不是去消化想法，而是來創(chuàng)造及再創(chuàng)造想法?！苯o學(xué)生思維自然舒展的時(shí)空，就給了學(xué)生更多自由創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，讓他們觸摸創(chuàng)造的萌芽，積淀更多具有創(chuàng)造潛質(zhì)和基質(zhì)的思維經(jīng)驗(yàn)。

如解決用一副三角板畫出15°角的問題，學(xué)生大多利用同一頂點(diǎn)的大角減小角得到15°。有一個(gè)學(xué)生說：“可以用一塊三角板畫出15°角?！蔽液荏@訝。他到黑板上先用三角板畫出30°角，再在三角板的中間那個(gè)三角形的頂點(diǎn)處輕輕點(diǎn)了一點(diǎn)，然后放下三角板，把兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，這個(gè)角就是15°角。原來三角板上有內(nèi)外兩個(gè)三角形，而且相對邊所相隔的距離相等，因而里面每個(gè)角的頂點(diǎn)正好在外面那個(gè)角的平分線上。學(xué)生雖然說不出這么多的數(shù)學(xué)名詞和其中的數(shù)學(xué)定理，但是直觀地注意到了三角板上的這個(gè)特征，從而輕松地突破了把角平分這一難點(diǎn)?？磥?，課堂上只要給學(xué)生思維自然舒展的時(shí)空，課堂上一定會(huì)有創(chuàng)新的火花閃現(xiàn)，也一定會(huì)創(chuàng)造出更多的精彩。

數(shù)學(xué)課堂讓思維自由舒展，不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的理念，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，更是對數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。讓學(xué)生們在數(shù)學(xué)課堂中，盡享思維自由舒展的快樂吧。