基于有限元和模態(tài)法的輪軌動力對比分析

米 洋，劉永孝

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

眾所周知，現(xiàn)代鐵路交通運(yùn)輸事業(yè)發(fā)展迅速，特別是列車運(yùn)行速度、運(yùn)載重量和運(yùn)輸密度的大幅度提高，使得鐵路車輛和軌道系統(tǒng)動力學(xué)的問題更加突出，也更趨復(fù)雜。列車行車速度越高，車輛與軌道之間的動態(tài)相互作用越強(qiáng)。因此，車輛－軌道耦合動力學(xué)的研究刻不容緩。

近十年來，國內(nèi)外關(guān)于輪軌相互作用的研究十分活躍，建立了各種繁簡不一的模型，從轉(zhuǎn)向架－軌道雙層分布參數(shù)模型，到整車—軌道相互作用模型。最終，在國內(nèi)基本確定了兩種不同的建模思想:有限元法和模態(tài)法。與此同時，國內(nèi)許多學(xué)者也對這兩種方法進(jìn)行了不同深度地研究。文獻(xiàn)［2－3］利用有限元的方法，建立了車輛－軌道耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，討論了軌道高低隨機(jī)不平順對系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)［4］從模態(tài)法的角度另辟蹊徑，分析了軌道高低不平順下輪軌垂向接觸的動態(tài)關(guān)系。文獻(xiàn)［5］采用周期圖法估計(jì)出車輛－軌道垂向和橫向隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度PSD，并進(jìn)行譜分析。最終得到其隨機(jī)振動的基本規(guī)律。文獻(xiàn)［6］概括地介紹了模態(tài)法的研究現(xiàn)狀和進(jìn)一步需要解決的問題。但是，國內(nèi)學(xué)者很少對這兩種方法進(jìn)行比較，本文就分別用有限元法和模態(tài)法建模，對這兩種方法所獲得的輪軌動力特性進(jìn)行比較，從而找出它們的特點(diǎn)。

1 模型的對比分析

1.1 有限元法和模態(tài)法的相同

1）有限元法和模態(tài)法均采用帶有一系、二系懸掛剛度的整車模型，將鋼軌看成連續(xù)彈性離散點(diǎn)支撐上的Euler梁。在鋼軌下，分別把軌枕和路床進(jìn)行離散，視作離散的軌枕塊和道床塊，其質(zhì)量處理成為集中質(zhì)量。下部結(jié)構(gòu)均視作三層（鋼軌—軌枕—道床—路基）彈簧－阻尼振動模型。該模型可以充分反映體系垂向的功能及其相互作用關(guān)系。輪軌接觸部分均采用了Hertz非線性彈性接觸理論，假設(shè)在車輪－軌道之間設(shè)置Hertz彈簧，以此起到聯(lián)系上部車體和下部軌道系統(tǒng)的作用（如圖1所示）。

圖1 車輛—軌道系統(tǒng)模型

2）由于研究的都是動力學(xué)問題，這兩種方法都借鑒了Hamilton原理方程

式中:［M］為廣義質(zhì)量矩陣，［C］為廣義阻尼矩陣，［K］為廣義剛度矩陣，f為廣義荷載陣。

1.2 有限元法和模態(tài)法的不同

這兩種方法在建模方面有著一個本質(zhì)的不同點(diǎn)，有限單元法將鋼軌分成了無數(shù)個單元，這些單元的左右兩個節(jié)點(diǎn)是鋼軌與軌枕的扣壓點(diǎn)（即軌枕支撐點(diǎn)）。而模態(tài)法將鋼軌視作一根連續(xù)長的梁，并不將其分解為無數(shù)個小單元，其利用Ritz法引入振形函數(shù)Yk（x）

這是一個僅與模態(tài)階數(shù)和位置變量有關(guān)的函數(shù)。同時令鋼軌的豎向位移

式中:qk（t）為鋼軌正則振形坐標(biāo)。

從該本質(zhì)的不同點(diǎn)出發(fā)，研究發(fā)現(xiàn)這兩種方法在計(jì)算過程中存在差別，在計(jì)算結(jié)果上具有些許差異。另外，二者在許多方面還有著不同。例如:模態(tài)法分析的物理模型充分考慮了道床離散塊之間的橫向剪切剛度Kw和阻尼Cw。但是有限元法卻忽略了道床塊之間的橫向連接。本文針對這兩種方法的不同，將其列入表1，以供讀者比較。

表1 有限元法和模態(tài)法的比較

2 實(shí)例驗(yàn)證及分析

本文參考文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［3］分別列出車輛－軌道豎向耦合動力學(xué)的模態(tài)法和有限元法數(shù)學(xué)模型方程，采用文獻(xiàn)［1］新型顯示積分方法求解系統(tǒng)振動方程組，并利用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)，將兩種計(jì)算結(jié)果畫于一張圖中進(jìn)行比較。仿真計(jì)算文獻(xiàn)［7］附錄所提供的長春客車廠250km／h高速客車以160km／h的速度通過有砟軌道上美國6級軌道譜時的輪軌垂向作用力P，加速度A，速度V，位移X。

在有限元計(jì)算中，在鋼軌上選取300個單元，一個節(jié)點(diǎn)有兩個自由度，那么總共就有1 214個自由度。相反模態(tài)仿真過程中自由度僅有762，這是因?yàn)榻刂鼓B(tài)階數(shù)取150，僅為鋼軌上自由度604的四分之一。模態(tài)法的這個優(yōu)勢很明顯的表現(xiàn)在了計(jì)算時間上，相比較有限元法32min的運(yùn)行時間，模態(tài)法只用了18min，節(jié)省了將近一半。

為了進(jìn)一步對兩種方法進(jìn)行比較，下面將計(jì)算的部分結(jié)果表示如圖2所示。

圖2 部分計(jì)算結(jié)果

比較圖2中輪軌作用力，車體位移和鋼軌位移的時間響應(yīng)曲線。顯而易見的是，經(jīng)過有限元法和模態(tài)法建立的方程并求解之后的結(jié)果是極為近似的，兩者的圖形幾乎吻合。為了進(jìn)一步證明這兩種方法具有同樣的結(jié)果，對采用不同方法計(jì)算所得的位移最大值進(jìn)行比較。見表2。

表2 位移比較

在表2中輪軌作用力相差0.06kN，車體位移，鋼軌位移和軌枕位移的差值都在0.2mm以內(nèi)。由此可見，這兩種方法在車輛－軌道垂向耦合動力學(xué)研究當(dāng)中具有同等的效果。

在動力學(xué)分析中，相對于位移和速度而言，加速度是最具敏感性的。也就是說如果用兩種方法分別計(jì)算的加速度時程響應(yīng)曲線再次吻合，基本就可以說明兩種方法是近似的。為了證明以上假設(shè)，系統(tǒng)各個部位的加速度時程響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3中，用有限元法計(jì)算得出的加速度響應(yīng)顯然和模態(tài)法的計(jì)算結(jié)果趨于重合。用有限元法計(jì)算得出的車體加速度峰值，鋼軌加速度峰值，軌枕加速度峰值和道床加速度最大值分別為0.1g、0.96 g、1.01g和 0.95g。這與模態(tài)法計(jì)算的結(jié)果:0.101g、1.43g、0.89g、0.65g 相 差 0.001g、0.47g、0.12g、0.30g。車體加速度最大值極為接近，但是鋼軌，軌枕和道床的加速度卻相差明顯。

圖3 各部位加速度時程響應(yīng)曲線

正是由于有限單元法將鋼軌從頭到尾劃分為許多個有限長單元，充分考慮了各個單元之間的相互影響，得到的在美國6級譜高低不平順上的輪軌沖擊效應(yīng)比模態(tài)法僅將鋼軌作為一條整體歐拉梁進(jìn)行分析計(jì)算得出的結(jié)果更為明顯，影響的軌道范圍更廣泛。這就是說，就求解結(jié)果而言，有限元法要比模態(tài)法更加精確。

3 結(jié) 論

通過本文對有限元法和模態(tài)法的比較，可以看出有限元法和模態(tài)法在解決車輛－軌道耦合動力學(xué)的建模方面是等效的，它們得出的結(jié)果具有相似性。但是，模態(tài)法由于自由度數(shù)較少，所以相比有限元法，計(jì)算速度更快。而有限元法由于充分考慮了單元之間的相互影響，并且單元的劃分更加詳細(xì)，所以有限元法要比模態(tài)法更加精確。

基于以上兩種方法的特點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)的自由度數(shù)較少時，有限元法和模態(tài)法計(jì)算時間相差不多，但是有限元法計(jì)算結(jié)果更加精確，所以前者顯然更加適用。隨著鋼軌長度的增加，自由度數(shù)的增多，這時模態(tài)法和有限元法的計(jì)算時間差會成倍的增多，模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn)將逐漸凸顯出來。模態(tài)法此時明顯更加方便。這將在我們?nèi)蘸蟮难芯抗ぷ髦刑峁﹨⒖?。接下來，我們會對不同參?shù)影響下兩種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，以進(jìn)一步對這兩種方法的適用性進(jìn)行界定。

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