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    衛(wèi)星導(dǎo)航接收機延遲鎖定環(huán)鑒相器有限字長分析*

    2015-03-09 01:22:00劉小匯李崢嶸
    國防科技大學學報 2015年3期
    關(guān)鍵詞:鑒相器偽碼概率密度

    劉小匯,李崢嶸,歐 鋼

    (國防科技大學電子科學與工程學院,湖南長沙410073)

    衛(wèi)星導(dǎo)航接收機在跟蹤階段對擴頻碼的跟蹤,將影響測距和定位精度以及電文解調(diào)的誤碼率,通常使用延遲鎖定環(huán)(Delay-Locked Loop,DLL)完成偽碼跟蹤[1]。延遲鎖定環(huán)由環(huán)路鑒相器和環(huán)路濾波器、數(shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator,NCO)組成[2]。其中環(huán)路鑒相器利用預(yù)檢測積分器輸出的相關(guān)結(jié)果,計算輸入相關(guān)信號中的碼延遲相位,進而估計得到本地碼相位與接收碼相位的偏差,誤差用以調(diào)整本地碼生成器,完成對接收偽碼的精確跟蹤。環(huán)路鑒相器是DLL的重要組成部分,它直接決定了碼環(huán)的跟蹤精度,根據(jù)鑒相器是否需要載波信息,將延遲鎖定環(huán)分為相干延遲鎖定環(huán)和非相干延遲鎖定環(huán)[3]。

    一般的非相干延遲鎖定環(huán)鑒相器有點積(Dot Product,DP)鑒相器、早遲功率(Early Minus Late Power,EMLP)鑒相器、早遲幅度(Early Minus Late Amplitude,EMLA)鑒相器和歸一化的早遲幅度(unified EMLA)[3]鑒相器。其中歸一化的早遲幅度鑒相器,去除了DLL環(huán)路對信號幅度的敏感性,能有效改善在脈沖干擾等情況下的接收性能[3]。

    由于鑒相器對延遲鎖定環(huán)的性能具有重要影響,因此如何提高其輸出的碼延遲精度,是許多學者研究的內(nèi)容[4-6]。然而除了算法本身性能外,在使用數(shù)字信號處理器實現(xiàn)由無限精度向有限精度轉(zhuǎn)換時,引入的精度損失是否可以忽略?鑒相器的有限字長問題包括系統(tǒng)輸出有限字長、運算過程的有限字長、輸入數(shù)據(jù)有限字長等。前兩種情況,系統(tǒng)輸出字長影響相對單一,易于分析;運算過程有限字長問題,由于與具體的運算方法緊密相關(guān),多數(shù)的文獻均假設(shè)有足夠的長度表示數(shù)據(jù)高位和低位,使得計算過程沒有溢出,由舍入操作產(chǎn)生的局部量化誤差功率遠小于輸入數(shù)據(jù)的量化噪聲功率[7]。對于輸入數(shù)據(jù)的有限字長問題,Widrow建立了目前通用的字長分析噪聲模型[8]:系統(tǒng)輸入的有限字長信號可以看成全精度信號與隨機噪聲的疊加,字長誤差(或噪聲)是與信號本身完全不相關(guān)的白噪聲,字長誤差在線性系統(tǒng)中具有線性疊加特性。這種假設(shè)使得線性系統(tǒng)有限字長的問題易于分解為信號與噪聲的疊加,已使其得到了很好的解決。而對于如鑒相器般的非線性系統(tǒng),由于字長誤差在非線性系統(tǒng)中不再具有疊加特性,且誤差有可能反饋至輸入端,使得線性系統(tǒng)的分析方法將不再適用。對于延遲鎖定環(huán)路中鑒相器的有限字長效應(yīng)的研究,文獻[9]分析了鑒相器輸出的有限字長與偽距精度損失的關(guān)系,由于假設(shè)輸出量化噪聲與鑒相器的熱噪聲不相關(guān),因此總的噪聲為熱噪聲與量化噪聲的疊加,使得分析難度大大降低。然而對于輸入信號有限字長,其量化噪聲在非線性計算的鑒相器中不能簡單疊加得到輸出噪聲,因此分析難度大,目前還未有文獻對此進行報道。

    本文將以常用的歸一化早遲幅度鑒相器為例,分析延遲鎖定環(huán)鑒相器的輸入信號有限字長對輸出性能的影響,其余類型鑒相器的分析方法類似。

    1 誤差建模與統(tǒng)計特性分析

    1.1 字長誤差模型

    圖1為鑒相器的字長誤差模型,由于硬件實現(xiàn)的局限性,常對輸入鑒相器的相關(guān)累加和信號與輸出鑒相器的相位值進行舍入,鑒相器噪聲由鑒相輸出的噪聲nPD和量化噪聲組成。量化噪聲可以分為輸入信號的量化噪聲ne1和輸出相位的量化噪聲ne2。對于輸出相位的量化噪聲,可認為量化誤差是平穩(wěn)隨機序列并且與輸出相位不相關(guān),因此對總噪聲的影響可以采取直接累加的方法;對于輸入信號的舍入量化噪聲ne1,因為鑒相操作是一個非線性的過程,對鑒相器噪聲的影響不能簡單地累加。假設(shè)輸入信號的字長為b1,則鑒相器輸出方差是b1的非線性函數(shù),同理假設(shè)輸出相位的字長為b2,則鑒相器在舍入量化效應(yīng)下總的輸出噪聲為:

    圖1 鑒相器的字長誤差模型Fig.1 Error model of word-length effect for code discriminator

    1.2 輸入信號的有限字長效應(yīng)分析

    為了計算輸入信號在b1位字長下鑒相器輸出噪聲,首先分析輸入信號量化后的統(tǒng)計特性。不考慮偽碼相位跟蹤誤差,在中頻信號經(jīng)過解調(diào)、積分清零器后的相關(guān)累加值I、Q信號可以分別寫成[11]:

    式中:A為信號幅度;dk為調(diào)制的導(dǎo)航電文;θk為殘留的載波相位誤差;ni,k和nq,k為噪聲且相互獨立,方差均為σ2。相關(guān)累加值Ik、Qk的聯(lián)合概率密度函數(shù)為[12]:

    對I、Q信號進行b1 bit舍入量化,等效于引入了一個均勻等概率分布的白噪聲,分別記為eI和eQ。則輸入信號舍入量化后的表達式為:

    可知量化噪聲eI和eQ的概率密度、均值和方差分別為有效位遠大于舍入位數(shù)時),量化間隔為q=2-b1。

    由I、Q的聯(lián)合概率密度表達式(4)可知I、Q的概率密度分別為:

    同理:

    顯然I、Q為相互獨立的隨機變量。假設(shè)舍入誤差eI與信號Ik不相關(guān),其聯(lián)合概率密度為:

    同理,eQ與Qk的聯(lián)合概率密度為:

    同理可以求出的概率密度:

    1.3 鑒相器的統(tǒng)計特性

    歸一化早遲幅度鑒相器的表達式為:

    式中,Δτ為輸出的碼片誤差E,L分別為超前、滯后相關(guān)器輸出的包絡(luò)值,超前、滯后間隔的碼片數(shù)d一般取值0.5個碼片。由上一節(jié)已知相關(guān)輸出信號I、Q為正(余)弦信號加上高斯白噪聲,則I、Q的包絡(luò)值E、L服從萊斯分布(Rice distribution),于是超前、滯后包絡(luò)E、L的概率密度為:

    其中:I0(·)為0階第一類貝賽爾函數(shù),且x〉0;α2/2σ2為輸入信號的信噪比,σ2為輸入噪聲的方差。由E、L的概率密度,可以計算出隨機變量Z=L/E的概率密度為:

    于是全精度下的鑒別器輸出的均值和方差分別為:

    對輸入鑒相器的信號I、Q進行有限字長的量化后,設(shè)分別為量化后早、遲碼的包絡(luò),由上一節(jié)可知超前支路輸入信號IE量化后的概率密度函數(shù)為:

    式中,q為量化間隔,μI為信號均值,σ為噪聲方差。同理QE量化后的概率密度函數(shù)為:

    于是量化后的早碼包絡(luò)的概率密度為:

    在離散的點…,±(M-1))上取值。量化后遲碼的包絡(luò)可以同理求得:

    其中k=i/j為非整數(shù),有種組合的取值k(1),k(2),…,k(w),于是量化后鑒相器輸出的碼相位的均值和方差為:

    式(23)和式(24)顯示了輸入信號有限字長對鑒相器輸出均值和方差的影響。

    2 鑒相器性能分析

    2.1 字長效應(yīng)對鑒相器方差的影響

    圖2為相關(guān)輸出信號信噪比為8~18dB時,在不同量化條件下,鑒相器輸出的方差理論計算與仿真結(jié)果的對比。由圖可知,理論分析與仿真結(jié)果基本吻合,輸入鑒相器的信號進行4bit及以上的量化時,其輸出碼相位方差與全精度相比差別不大。

    2.2 字長效應(yīng)對環(huán)路性能分析及仿真驗證

    鑒相器對延遲鎖定環(huán)環(huán)路偽碼相位精度的影響為[13]:

    式中,Bn為環(huán)路的等效噪聲帶寬,kτ為鑒相器的增益,Tco為鑒相器的相干積分時間。由于文獻[9]已經(jīng)分析了鑒相器輸出字長對偽碼精度損失的影響,本文將忽略這一影響,將輸出量化噪聲設(shè)置為0。因此可以定義偽碼相位精度損失為輸入有限字長的環(huán)路跟蹤誤差與全精度下的跟蹤誤差之比[14]:

    圖2 不同量化條件下的方差Fig.2 Discriminator's variance caused by different quantization

    圖3 不同量化下的偽距精度損失Fig.3 Pseudo-range accuracy loss caused by different quantization

    圖3為輸入信號在3,4,5,6bit量化下,相干積分時間為1ms,環(huán)路帶寬為2Hz,鑒相增益為1,采用GPS的C/A碼時,理論計算與仿真實驗的偽碼精度損失情況對比。從圖中可以看出,在低信噪比下,不同量化造成的精度損失差別不明顯,因為這時是信號中的白噪聲占主導(dǎo)。然而隨著信噪比的增加,量化噪聲將超過信號中的白噪聲,由量化導(dǎo)致的精度損失將有明顯區(qū)別。另外,隨著輸入信號信噪比的增大,精度損失將增大,但對于4bit及以上量化,隨著信噪比的增加,其損失增加并不明顯,如信噪比18dB時,5bit量化帶來的精度損失為1.05(0.2dB),忽略動態(tài)應(yīng)力等其他測量誤差,與全精度下的偽距測量值相差0.029 3m;6bit量化帶來的精度損失為1.005(0.02dB),與全精度測量下的偽距測量值相差0.011m,輸入信號有限字長帶來的偽碼精度損失將可以忽略。

    3 結(jié)論

    通過對鑒相器字長誤差的建模,分析了輸入信號有限字長下的鑒相器輸出誤差以及字長對環(huán)路偽碼跟蹤精度的影響。理論推導(dǎo)與仿真實驗結(jié)果表明:對于歸一化早遲幅度鑒相器,輸入信號有限字長越大對輸出誤差影響越小;輸入信號字長對環(huán)路偽碼跟蹤精度亦有影響,在輸入信號高信噪比下尤為明顯,隨著輸入信號信噪比的增加,偽碼精度損失將增加;而當輸入信號采用4bit及以上量化時,即使信噪比增大,由量化帶來的偽碼跟蹤精度損失也可忽略。以上結(jié)論能為基于軟件無線電的定點數(shù)字信號處理接收機的設(shè)計提供參考。

    References)

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