泰勒公式及其應(yīng)用

許雁琴

(河南機(jī)電高等?？茖W(xué)校,河南 新鄉(xiāng) 453000)

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泰勒公式及其應(yīng)用

許雁琴

(河南機(jī)電高等專科學(xué)校,河南 新鄉(xiāng) 453000)

摘要:泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,借助它可以解決很多問題.本文針對泰勒公式的應(yīng)用討論了9 個(gè)問題,即應(yīng)用泰勒公式定義某些非初等函數(shù),近似計(jì)算和誤差估計(jì),對某些定積分進(jìn)行近似計(jì)算,求某些復(fù)合函數(shù)的極限,求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值,研究函數(shù)的極值,證明不等式,利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性,求行列式的值。

關(guān)鍵詞:泰勒公式;非初等函數(shù);近似計(jì)算;極限;導(dǎo)數(shù);積分;不等式;斂散性

1引言

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,但一般教材中僅介紹了泰勒公式和求函數(shù)的泰勒展開式,而對泰勒公式在數(shù)學(xué)問題中的作用并未說明,在教學(xué)中學(xué)生常因?qū)W用脫離而難以理解。事實(shí)上,泰勒公式是極重要的數(shù)學(xué)工具,在許多數(shù)學(xué)問題中都有著重要的作用,甚至有時(shí)用它來解決問題,能使過程化繁為簡,起到事半功倍的效果。為此,本文將通過例子,總結(jié)歸納出泰勒公式在近似計(jì)算、極限運(yùn)算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等幾個(gè)重要方面的具體應(yīng)用。

2泰勒中值定理

泰勒(Taylor) 中值定理:如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)的導(dǎo)數(shù),則對任一x∈(a,b),有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+

(1)

注2.若Rn(x)=o[(x-x0)n],則稱為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。

注3.當(dāng)x0=0時(shí)稱為麥克勞林公式[1]。

3泰勒公式的應(yīng)用

3.1定義某些非初等函數(shù)

例如:函數(shù)f(x)=e-x2在R上連續(xù),因而它在R上存在原函數(shù),但它的原函數(shù)F(x)是非初等函數(shù),這時(shí)可采用下述方法:

由于它在任意閉區(qū)間上都一致收斂,于是對任意的x∈R,它的原函數(shù)

3.2利用泰勒公式近似計(jì)算和誤差估計(jì)

在微分的應(yīng)用中曾導(dǎo)出了函數(shù)的近似計(jì)算公式f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0),但它的精確度往往比較低,事實(shí)上它只是泰勒公式的一階近似,利用高階泰勒公式可以使精確度達(dá)到我們所要求的水平。如

|f(n+1)(x)|≤M,|x-x0|≤d,M,d都為定數(shù),

3.3對某些定積分進(jìn)行近似計(jì)算

能夠精確計(jì)算定積分的函數(shù)只是大量函數(shù)中很少的一部分,事實(shí)上,在實(shí)際計(jì)算定積分時(shí)大量采用的是近似計(jì)算的方法,而在這其中運(yùn)用泰勒公式對某些函數(shù)的定積分進(jìn)行近似計(jì)算不失為一種很好的方法。

解在ex的展開式中以-x2代x得

逐項(xiàng)積分,得

上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級數(shù),由其余項(xiàng)Rn的估計(jì)式知

所以

≈0.746 836

3.4求函數(shù)的極限

利用泰勒公式求極限的方法就是利用具有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式(麥克勞林公式)將函數(shù)展開后直接代入或經(jīng)過變形后代入要求的極限中,使得原來的極限問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式或有理分式的極限問題,這在計(jì)算未定式極限時(shí)是十分有效的。

故原式

3.5求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值

例4求函數(shù)f(x)=x2ln(1+x)在x=0的高階導(dǎo)數(shù)值f(100)(0)

分析如果直接求高階導(dǎo)數(shù)比較麻煩,并且規(guī)律性不是很強(qiáng),可以考慮利用函數(shù)在x=0處的麥克勞林展開式。

解先寫出ln(1+x)的98階麥克勞林展開式

于是f(x)的98階麥克勞林展開式為

f(x)=x2ln(1+x)

(1)

又f(x)的100階麥克勞林公式為

(2)

比較(1)和(2)中x100項(xiàng)的系數(shù),得

注這里,我們通過公式把求解一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)的高解導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)而后者的求解是非常簡單的。

3.6研究函數(shù)的極值

在討論函數(shù)的極值時(shí)通常的方法是:當(dāng)f′(x0)=0且f″(x0)>0(或f″(x0)<0),則f(x0)是函數(shù)的極小(或大)值。但如果此時(shí)f″(x0)=0，判斷x0是否極值點(diǎn)時(shí)必須利用f(x)的泰勒公式,例如如果f(x)在x0處的一、二、三階導(dǎo)數(shù)全為0,由泰勒公式

+o((x-x0)4)

即知,當(dāng)f(4)(x0)>0時(shí),f(x)在x0處取得極小值;f(4)(x0)<0時(shí),f(x)在x0處取得極大值。

例5已知函數(shù)f(x)在x=a鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),f″(a)≠0且當(dāng)x=a取得極小值f(a)=0,問g(x)=-3(x-a)2f(x)+1在x=a能否取得極值,如有極值,極值為多少?

解f(x)在x=a處的泰勒公式為

由于f(x)在x=a取得極值f(a)=0,故f′(a)=0,又由于取得極小值,故f″(a)>0,此時(shí)g(x)可表示為

所以g(x)在x=a時(shí)達(dá)到極大值,極大值為1。

3.7證明不等式

當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物時(shí),不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷。

例6設(shè)x∈(0,1),證明(1+x)ln2(1+x)

證明令f(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,x0=0

則f′(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x

f(0)=f′(0)=f″(0)=0

代入泰勒公式,其中n=3,得

一般若給出或能推知函數(shù)在某點(diǎn)x0的函數(shù)值f(x0)及在該點(diǎn)的低階導(dǎo)數(shù)值f′(x0),f″(x0),可考慮使用泰勒公式證其不等式。

另外當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號不易確定時(shí),用單調(diào)性證不等式并不簡單,也可考慮用泰勒公式證之。

3.8利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性

當(dāng)級數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式,且用一般的判定方法無從下手時(shí),往往利用泰勒公式將級數(shù)通項(xiàng)簡化成統(tǒng)一形式,然后判定。

3.9求行列式的值

若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)(一般是x的n次多項(xiàng)式),記作f(x),按泰勒公式在某處x0展開,用這一方法可求得一些行列式的值。

例8求下列n階行列式D的值,其中

(1)

解記fn(x)=D,按泰勒公式在z處展開:

(2)

易知D=

=z(z-y)k-1

(3)

由(3)得fk(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,…,n時(shí)都成立。

(4)

根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有

于是fn(x)在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式(4))

=nfn-1(z)=nz(z-y)n-2,

……

=n(n-1)z·…·2f(z)=n(n-1)z·…·2z,

把以上各導(dǎo)數(shù)代入(2)式中,有

fn(x)=z(z-y)n-1+nz(z-y)n-2

若z=y,有fn(x)=(x-y)n-1[x+(n-1)y]

以上我們就四個(gè)方面討論了泰勒公式的應(yīng)用,特別是用泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過,從而使行列式的求解又多了一種新方法,也為用數(shù)學(xué)分析手段研究高等代數(shù)問題做了一個(gè)初步探索,為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。

4結(jié)語

深入探討泰勒公式的應(yīng)用,用簡單的例子說明其應(yīng)用方法,并在課堂教學(xué)中予以靈活運(yùn)用,對學(xué)生深層次的理解和掌握抽象的泰勒公式內(nèi)容將起到事半功倍的效果。

(責(zé)任編輯呂春紅)

參考文獻(xiàn):

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊) [M].第6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2] 劉書田.高等數(shù)學(xué)專題分析與解題指導(dǎo)(上冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

[3] 潘勁松.泰勒公式的證明及應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010(4):16-21.

Talyor Formula and Its Applications

XU Yan-qin

(Henan Mechanical and Electrical Engineering College，Xinxiang 453000，China)

Abstract:Talyor Formula is of great importance in advanced mathematics, and very helpful to the solutions of many other mathematical problems. This article will discuss some applications of Talyor Formula, i.e. defining some elementary functions, approximate calculation and error estimation, approximately calculating of some definite integrals, getting the limits of some composite functions, getting the numerical value of some points in higher derivatives, studying the extremums of functions, proving the inequalities, testing of convergence and divergence of series, and getting the values of determinants.

Key words:Talyor Formula； non-elementary functions； approximate calculation； limits； derivatives； integrals； inequalities； convergence and divergence

中圖分類號：O174

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號：1008-2093(2015)06-0011-05

作者簡介：許雁琴(1963-),女,河南新鄉(xiāng)人,副教授,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

*收稿日期：2015-10-15