單向微波加熱木材內(nèi)溫度模型的熱源反演數(shù)值方法1)

吳曉婷 王行建 張春蕊

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

責(zé)任編輯:戴芳天。

木材加工處理過程中存在大量的傳熱過程，同時(shí)熱傳遞過程是研究該過程材料變化機(jī)理的一個(gè)重要切入點(diǎn)。近年來，隨著工藝技術(shù)水平的不斷提高和加熱新方法的不斷推出，微波加熱處理等方法更為廣泛地被使用，對(duì)其研究的內(nèi)容也更加深入。木材微波處理過程中，微波能量以電磁波的形式直接穿透到木材內(nèi)部，并通過微波電磁場(chǎng)與木材中水分子和其他極性基團(tuán)的相互作用而迅速產(chǎn)生大量的熱，實(shí)現(xiàn)木材的快速干燥和改性預(yù)處理［1］。對(duì)于微波干燥或預(yù)處理過程中木材內(nèi)部的溫度分布，學(xué)者曾提出不同的看法。文獻(xiàn)［2］中提到在微波干燥過程中，木材內(nèi)存在著內(nèi)高外低的溫度場(chǎng)，并認(rèn)為該溫度場(chǎng)的存在是使木材具有高干燥速率的主要原因。文獻(xiàn)［3］認(rèn)為在一定的輻射功率和厚度范圍內(nèi)，木材厚度方向溫度分布比較均勻，基本不呈現(xiàn)出內(nèi)高外低或外低內(nèi)高的溫度梯度。李賢軍等人從熱傳導(dǎo)的物理規(guī)律出發(fā)，建立了微波加熱過程中木材內(nèi)部的熱傳導(dǎo)模型，并且說明了不同微波加熱方式對(duì)木材內(nèi)部溫度分布有不同影響。該模型的熱傳導(dǎo)方程中包含熱源項(xiàng)，通常熱源的解析解是不容易得到的。文獻(xiàn)［4］運(yùn)用分離變量法，邊界條件齊次化，定義算子等相結(jié)合的方法求解了微波加熱過程中木材內(nèi)部的熱傳導(dǎo)模型中熱源的近似解析解。文獻(xiàn)［5］討論的是非線性熱傳導(dǎo)方程中未知系數(shù)反演，運(yùn)用中心差分離散方程得到迭代矩陣;然后通過建立牛頓迭代公式求解迭代增量，進(jìn)而反演出方程中未知系數(shù)。

筆者借鑒文獻(xiàn)［3］的方法來討論微波加熱過程中木材內(nèi)部熱傳導(dǎo)模型中熱源的數(shù)值解，最終得到了求解這一類熱傳導(dǎo)方程反問題的穩(wěn)定的數(shù)值解法。微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度分布隨時(shí)間變化的模型即為形如模型(1)［5］的熱傳導(dǎo)方程:

式中:U 指溫度值，未知的非齊次項(xiàng)Φ 即稱為熱源，求解熱源Φ 的過程即為熱源反演過程。

1 熱傳導(dǎo)方程的反演

1.1 模型離散

對(duì)模型(1)進(jìn)行離散，采用均勻的網(wǎng)格剖分如下:

對(duì)方程，在(xi，tj+1/2)處采用中心差分離散:

有簡(jiǎn)記形式如下:

則得到:

在x=0，x=l 處離散邊界條件得到:

當(dāng)把離散格式寫成矩陣方程組的形式，則可以得到迭代矩陣:

式中:Qj+1是(m+1)×(m+1)階嚴(yán)格三對(duì)角占優(yōu)陣;Wj+1是三對(duì)角矩陣，且有:

由此可得到迭代矩陣，并且可通過證明得到此格式穩(wěn)定，并且對(duì)于輸入條件的擾動(dòng)也是穩(wěn)定的。

1.2 迭代增量及牛頓迭代格式

首先選擇誤差函數(shù)為:

選擇熱源函數(shù)類為:

為了使T 最小，只需要令T 關(guān)于b0，b1，b2的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即

式中:Δb0，Δb1，Δb2分別為b0，b1，b2的迭代改善增量;dd 是偏導(dǎo)數(shù)的離散步長(zhǎng)，關(guān)于b0，b1，b2采用相同的離散步長(zhǎng)。

2 單向微波處理中木材內(nèi)部溫度分布模型的熱源數(shù)值反演

單向微波加熱時(shí)，微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度分布隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)模型如下:

式中:q0，λ，c，b 分別表示微波輻射功率、木材傳熱系數(shù)、熱容量、木材對(duì)微波的吸收系數(shù)，其取值由文獻(xiàn)［3］中的值確定，分別為:

即熱源函數(shù)系數(shù)的精確解為:

基于第一部分的方法，對(duì)模型(2)中的熱源進(jìn)行數(shù)值反演。在這里將熱源函數(shù)的系數(shù)初值選為:

在空間和時(shí)間上采用相同的m=n 等分的網(wǎng)格剖分，表1為取不同網(wǎng)格剖分時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

表1 不同網(wǎng)格剖分時(shí)的計(jì)算結(jié)果

當(dāng)m=n=20 選取時(shí)，第5 次反演得到的近似熱源函數(shù)為:

圖1為當(dāng)m=n=20 時(shí)，熱源實(shí)際值與選取的熱源初值反演得到的熱源值的對(duì)比圖像。圖1和表1顯示了經(jīng)過反演后的熱源值更接近于實(shí)際值，反演次數(shù)越多，反演值越接近實(shí)際值;而且網(wǎng)格剖分越細(xì)，反演效果越好，反演值越接近實(shí)際值。

圖1 熱源實(shí)際值與反演值對(duì)比圖

3 結(jié)論

研究了單項(xiàng)微波輻射時(shí)，微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)模型的熱源反演。對(duì)于這一類熱傳導(dǎo)模型，采用的方法是，首先用有限差分法將偏微分方程及其初邊值條件離散，得到迭代方程，用來求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的溫度值;經(jīng)過相應(yīng)的理論推導(dǎo)可得到此迭代方程是穩(wěn)定且收斂的。然后，運(yùn)用最小二乘法構(gòu)造誤差函數(shù)，對(duì)誤差函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行一階泰勒展開，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零，近似得到計(jì)算熱源的牛頓迭代格式。最后進(jìn)行反演，并將反演結(jié)果與實(shí)際值作比較，模擬結(jié)果表明該方法有很好的逼近效果，于是得到了求解這一類熱傳導(dǎo)方程反問題的穩(wěn)定的數(shù)值解法。

［1］ 李賢軍，孫偉勝，周濤，等.微波處理中木材內(nèi)溫度分布的數(shù)學(xué)模擬［J］.林業(yè)科學(xué)，2012，48(3):117－121.

［2］ 佟永會(huì).木材微波干燥工藝的研究［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1986，14(3):67－73.

［3］ 李賢軍，張璧光，李文軍，等.微波真空干燥過程中木材內(nèi)部的溫度分布［J］.北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28(6):128－131.

［4］ 劉暢，王行建，曹軍.微波處理中木材內(nèi)溫度分布模型的熱源反演［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)，2014，42(8):131－132.

［5］ 趙麗玲.一類非線性熱傳導(dǎo)方程的反演計(jì)算［D］.杭州:杭州師范大學(xué)，2013.