隨機激勵下非線性空氣懸架系統(tǒng)的混沌振動分析

王靖岳， 王浩天， 郭立新

（1.沈陽理工大學 汽車與交通學院，遼寧 沈陽 110159；2.沈陽航空航天大學 自動化學院，遼寧 沈陽 110136；3.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819）

由于汽車懸架系統(tǒng)廣泛采用空氣彈簧、電流變阻尼、干摩擦阻尼和磁流變阻尼等元器件，所以系統(tǒng)具有明顯的非線性，可能導致懸架系統(tǒng)發(fā)生混沌振動，這已成為國內(nèi)外學者研究的熱點問題［1－5］。文獻［6］對非線性汽車懸架系統(tǒng)進行了近似線性處理，指出了發(fā)生Hopf分岔時線性系統(tǒng)失穩(wěn)，研究了周期擾動下系統(tǒng)的擬周期、分諧波和混沌運動；文獻［7］采用非線性曲線擬合方法代替氣體狀態(tài)方程，得到了工作條件下空氣彈簧剛度的工作曲線方程；文獻［8］考慮了汽車運行中重力項的影響，采用Melnikov函數(shù)研究了1／4汽車系統(tǒng)的全局同宿軌道分岔以及通往混沌的道路；文獻［9］在研究客車空氣懸架過程中提出了采用擬合的辦法確定空氣彈簧的變剛度；文獻［10］采用干摩擦理想模型模擬非線性彈簧力和阻尼力，并研究了汽車系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌運動；文獻［11］利用氣體狀態(tài)方程研究了空氣懸架的振動模型和剛度特性；文獻［12］利用空氣彈簧有限元模型擬合出其受力曲線，分析了單頻正弦激勵下汽車空氣彈簧懸架的四自由度半車模型的非線性行為。

本文在以上研究的基礎上，考慮阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性，建立1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)的單自由度非線性動力系統(tǒng)模型。以某客車為例，揭示路面不平度激勵幅值、激勵頻率、減振器阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)對系統(tǒng)中分岔和混沌運動的影響。

1 系統(tǒng)的模型和運動微分方程

當僅考慮汽車懸架系統(tǒng)的平順性時，可將汽車簡化成單自由度1／4汽車懸架模型，如圖1所示。該系統(tǒng)由簧載質(zhì)量、空氣彈簧和阻尼減振器組成。其中，m為車身質(zhì)量。

圖1 單自由度1／4汽車模型

在空氣懸架系統(tǒng)的下方施加一個隨機路面激勵作為輸入［13］，即

其中，a為路面不平度激勵幅值；σ為激勵頻率白噪聲強度；ξ（t）為標準正態(tài)白噪聲；ω為激勵頻率；x（t）為車身質(zhì)量上的位移輸出。則有：

其中，F(xiàn)c為阻尼力，且，c為阻尼系數(shù)，c1為非線性阻尼系數(shù)；Fk為空氣彈簧對車身質(zhì)量m的作用力，且有［14－16］：

其中，n為氣體多變指數(shù)；α為空氣彈簧體積變化率；p0為大氣壓力；pe為空氣彈簧壓力；δ為空氣彈簧的變形位移；Ve為空氣彈簧的體積；Ae為空氣彈簧有效面積。δ＝x0－x，可得˙δ＝˙x0－˙x，¨δ＝¨x0－¨x，代入（1）式，并令n＝1，整理后得到非線性空氣懸架系統(tǒng)振動的微分方程為：

其中，彈性力為：

當δ＝0時，f（0）＝peAe－p0Ae－mg，由于在平衡狀態(tài)時滿足peAe－p0Ae＝mg，即f（0）＝0。而，則f′（0）＞0。

利用泰勒公式將（2）式簡化，彈性力項f（δ）在δ＝0處進行泰勒展開，舍去高階無窮小項o（δ3），整理后得：

其中

平衡狀態(tài)時有peAe－p0Ae＝mg，所以k0－p0Ae－mg＝0，則（3）式可進一步簡化為：

令z1＝δ，z2＝˙δ，則（4）式的狀態(tài)方程為：

2 分岔與混沌分析

2.1 激勵幅值對系統(tǒng)分岔和混沌的影響

選 取 某 客 車 系 統(tǒng) 參 數(shù) 如 下［14，17］：m＝5 456kg，pe＝5×105Pa，Ae＝0.033 5m2，α＝1.8，Ve＝0.008 62m3，c＝7 400N／（m·s－1），c1＝650N／（m·s－3），ω＝12.56rad／s。初始條件為：z1（0）＝0，z2（0）＝0。用 4－5 階 Runge－Kutta法對（2）式進行數(shù)值積分，得到系統(tǒng)在路面不平度激勵幅值a∈（0，0.10）時的分岔圖，如圖2所示。當a∈（0，0.036）時，系統(tǒng)作周期1運動；取a＝0.02m時，如圖3所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為1個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝ － 0.675 272、λ2＝ － 0.683 154。 當a＝0.028 5m時，系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，振幅和速度發(fā)生巨大的變化，汽車的平順性和舒適性變差。隨著路面不平度激勵幅值a的增大，當a＝0.036 4m時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，開始作周期2運動；取a＝0.04m時，如圖4所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 621、λ2＝－0.685 011。當a＝0.043 7m時，系統(tǒng)又作周期1運動；取a＝0.06m時，可得系統(tǒng)的相圖、Poincaré映射圖、時間歷程曲線和功率譜圖，如圖5所示，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.677 860、λ2＝－0.684 910。當a＝0.069 3m時，系統(tǒng)再次發(fā)生跳躍現(xiàn)象。當a＝0.078 9m時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，從周期1運動轉遷為周期2運動；取a＝0.083m時，如圖6所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.566 086、λ2＝－0.576 651。當a＝0.084 4m時，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期2運動轉遷為周期4運動。隨著路面不平度激勵幅值a的增大，當a＝0.085 6m時，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期4運動變?yōu)榛煦邕\動；取a＝0.086m時，如圖7所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點集，時間歷程曲線無規(guī)律，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝0.565 287、λ2＝－0.577 094。當a＝0.086 8m時，系統(tǒng)由混沌運動退化為周期3運動；取a＝0.09m時，如圖8所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為3個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.666 329、λ2＝－0.695 184。當a＝0.091 2m時，系統(tǒng)由周期3運動變?yōu)榛煦邕\動。取a＝0.098m時，如圖9所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點集，時間歷程曲線無規(guī)律，功率譜圖為離散譜，λ1＝0.599 936、λ2＝－1.962 349。

以上分析表明，汽車在平坦的路面行駛不會發(fā)生混沌運動，當遇到凸凹不平的路面時會發(fā)生混沌運動，這與文獻［12］分析結果一致。

圖2 路面不平度激勵幅值a∈（0，0.10）時系統(tǒng)分岔圖

圖3 a＝0.02m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖4 a＝0.04m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖5 a＝0.06m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖6 a＝0.083m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖7 a＝0.086m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.2 激勵頻率對系統(tǒng)分岔和混沌的影響

圖8 a＝0.09m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖9 a＝0.098m時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

其他參數(shù)不變，路面不平度激勵幅值a取0.02m，以激勵頻率f為分岔參數(shù)，可得系統(tǒng)在f∈（0，5）時的分岔圖，如圖10所示。取f＝4.0Hz時，如圖11所示，相圖為封閉曲線、Poincaré映射圖為1個點、時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.679 888、λ2＝－0.687 029；可見，系統(tǒng)作周期1運動；從圖10可以看出，隨著激勵頻率f的減小，當f＝3.24Hz時系統(tǒng)經(jīng)過分岔作周期2運動；當f＝3.0Hz時，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 696、λ2＝－0.684 574。當f＝2.48時，系統(tǒng)又從周期2運動到周期1運動。取f＝1.0Hz時，系統(tǒng)相圖、Poincaré映射圖、時間歷程曲線和功率譜圖，如圖12所示；經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝ －0.673 944、λ2＝ －0.684 167。在（1.50，2.48）上，系統(tǒng)發(fā)生了跳躍現(xiàn)象，振幅突然變化。由于存在跳躍和分岔現(xiàn)象，因而參數(shù)的變化將引起系統(tǒng)不同的運動狀態(tài)，有必要對其他參數(shù)進行分析［12］。

圖10 以激勵頻率f為分岔參數(shù)的分岔圖

圖11 當f＝4.0Hz時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖12 f＝1.0Hz時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.3 阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，以阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)分岔圖，如圖13所示。當c∈（0，300）時，系統(tǒng)作混沌運動；取c＝100N／（m·s－1）時，如圖14所示，系統(tǒng)的相圖為不封閉曲線，Poincaré映射圖為自相似的點集，時間歷程曲線無規(guī)律，功率譜圖為連續(xù)譜，經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝0.604 113、λ2＝－0.627 275。

當c∈（300，10 000）時，系統(tǒng)作周期2運動；取c＝6 000N／（m·s－1）時，如圖15所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計算Lyapunov 指 數(shù)λ1＝ － 0.551 344、λ2＝－0.552 031?？梢娫谛∽枘岱秶鷥?nèi)，汽車容易出現(xiàn)混沌運動，這與文獻［12］分析結果一致。

圖13 阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)的分岔圖

圖14 c＝100N／（m·s－1）時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖15 c＝6 000N／（m·s－1）時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.4 非線性阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，f＝2.0Hz，以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖，如圖16所示。取c1＝500N／（m·s－3）時，如圖17所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個點，時間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.673 366、λ2＝－0.685 181，系統(tǒng)作周期2運動?？梢娫诖似噮?shù)下，非線性阻尼對汽車的分岔和混沌運動影響較小。

圖16 以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)分岔圖

圖17 c1＝500N／（m·s－3）時系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

3 結束語

基于阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性建立起來的1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)在隨機路面激勵作用下確實存在混沌和分岔現(xiàn)象。路面不平度激勵幅值越大，汽車發(fā)生混沌的可能性越大；激勵頻率在某個特定區(qū)間容易發(fā)生跳躍現(xiàn)象和分岔；減振器阻尼系數(shù)越小，系統(tǒng)越容易發(fā)生混沌；非線性阻尼系數(shù)對系統(tǒng)影響較小。通過合理選擇汽車結構參數(shù)，避開汽車發(fā)生分岔和混沌的區(qū)域，可以提高汽車的平順性和舒適性。本文可為汽車懸架參數(shù)的匹配設計提供參考。

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