Spar平臺(tái)月池水晃動(dòng)的等效力學(xué)模型及模型參數(shù)研究*

劉利琴 滿金雙 周斌 張若瑜

(1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)(2.中海油能源發(fā)展采油服務(wù)公司，塘沽 300457)

引言

Spar平臺(tái)是深海油氣田開發(fā)的重要平臺(tái)形式之一，目前對(duì)Spar平臺(tái)的研究主要集中在主體波浪載荷與水動(dòng)力特性、平臺(tái)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算、垂蕩與縱搖運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性分析、系泊系統(tǒng)與立管系統(tǒng)的模擬以及渦激振動(dòng)等方面［1-2］.有關(guān)Spar平臺(tái)月池內(nèi)部流體的運(yùn)動(dòng)及平臺(tái)與月池流體之間的耦合運(yùn)動(dòng)研究較少.Spar平臺(tái)的中央井自下而上貫穿整個(gè)主體，其內(nèi)按照一定的方式布置立管和其它重要鉆井設(shè)施，構(gòu)成Spar平臺(tái)的月池.若采用頂張緊器張緊立管，則月池內(nèi)海水的質(zhì)量與平臺(tái)整體質(zhì)量量級(jí)相當(dāng)，月池內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)與平臺(tái)主體運(yùn)動(dòng)耦合顯著［3］.

Spar平臺(tái)月池內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)與儲(chǔ)液容器或液艙中流體流動(dòng)有一定的相似之處，存在兩類固有振蕩形式，即沿深度方向的“活塞(Piston)”振動(dòng)和流體液面的左右“晃蕩(sloshing)”運(yùn)動(dòng).人們基于理論分析及數(shù)值模擬的方研究了儲(chǔ)液容器及液艙中流體運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型及流體與結(jié)構(gòu)的耦合運(yùn)動(dòng).Molin應(yīng)用模態(tài)分解法將船舶艙內(nèi)液體運(yùn)動(dòng)處理為一系列彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，建立了橫浪中駁船與艙液耦合運(yùn)動(dòng)的半解析模型，研究了艙內(nèi)液體晃動(dòng)與船舶的耦合運(yùn)動(dòng)［4］.Faltinsen考慮非線性自由表面條件，基于建立在Bateman-Luke變分原理基礎(chǔ)之上的變分方法，創(chuàng)立了多維模態(tài)方法，研究了任意運(yùn)動(dòng)情形下二維和三維矩形容器中各種不同充液深度、不同激勵(lì)幅值和不同激勵(lì)頻率下的共振晃動(dòng)問題［5-7］.包光偉等采用有限元數(shù)值計(jì)算方法研究了液體的三維晃動(dòng)特征問題，得到了任意剛性容器內(nèi)液體三維晃動(dòng)的固有頻率和模態(tài)［8］.李青等研究了非軸對(duì)稱貯箱液體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型，確定了液體晃動(dòng)的等效力學(xué)參數(shù)并計(jì)算出了液體晃動(dòng)產(chǎn)生的作用力與力矩［9］.

本文基于線性勢(shì)流理論，借鑒儲(chǔ)液容器晃蕩問題的研究方法［9］建立Spar平臺(tái)月池流體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型，確定其模型參數(shù)，為進(jìn)一步研究Spar平臺(tái)-月池流體的耦合運(yùn)動(dòng)建模及耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性奠定基礎(chǔ).

1 基于勢(shì)流理論建立月池內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為平臺(tái)月池結(jié)構(gòu)示意圖，選取OOXYZ為慣性坐標(biāo)系，Oxyz為固定在平臺(tái)上的本體坐標(biāo)系.其中Ω為月池流體的內(nèi)部區(qū)域，Σ為月池流體的自由液面，S為平臺(tái)硬艙與月池流體的交界區(qū)域.

圖1 Spar平臺(tái)月池結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Moonpool structure andcoordinate system of Spar platform

當(dāng)平臺(tái)作三維運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于本體坐標(biāo)系O點(diǎn)矢徑為r的流體質(zhì)點(diǎn)的速度v可以寫成

其中vs，ωs分別為平臺(tái)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)速度以及轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，u為月池內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度.

將平臺(tái)月池底部處理為全封閉，假定月池內(nèi)流體為不可壓縮、無旋、無粘性的理想流體，且平臺(tái)運(yùn)動(dòng)為小幅運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用線性勢(shì)流理論，建立月池流體的運(yùn)動(dòng)方程為:

其中，Φ為速度勢(shì)，n為交界區(qū)域的外法向單位矢量.采用Stokes-Zhukovskiy勢(shì)函數(shù)將速度勢(shì)寫為:

其中，ψ為Stokes-Zhukovskiy勢(shì)函數(shù)，φi為第i階流體晃動(dòng)模態(tài)函數(shù)，qi為第i階流體晃動(dòng)廣義坐標(biāo)，則式(2)～(4)可以化簡為以下邊值問題:

其中，ωi為第i階模態(tài)特征頻率，根據(jù)勢(shì)函數(shù)ψ的定義，有:

根據(jù)伯努利方程計(jì)算月池內(nèi)流體流場(chǎng)動(dòng)壓力為:

對(duì)上式的壓力積分，得到月池內(nèi)流體對(duì)平臺(tái)的作用力、作用力矩及動(dòng)能分別為:

其中，m為月池內(nèi)流體的總質(zhì)量，rc為月池內(nèi)流體質(zhì)心矢徑，λi和λ0i分別為流體第i階晃蕩對(duì)平臺(tái)的作用力系數(shù)以及作用力矩系數(shù)，J*為流體等效剛體相對(duì)O點(diǎn)的慣性張量.定義μi為廣義晃動(dòng)質(zhì)量［10］，有:

2 月池內(nèi)流體晃動(dòng)等效力學(xué)模型建立

對(duì)于底部封閉的貯液容器，容器運(yùn)動(dòng)時(shí)，容器內(nèi)靠近自由液面附近的流體發(fā)生明顯晃動(dòng)，其它流體隨容器一起做剛體運(yùn)動(dòng)，這部分流體可等效為隨容器運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量塊.容器內(nèi)晃動(dòng)流體的動(dòng)力學(xué)特性可用單擺模型或彈簧-質(zhì)量模型來描述［11］.本文研究的平臺(tái)月池底部為半開口，對(duì)于吃水很大的深海平臺(tái)，底部開口對(duì)月池內(nèi)流體晃動(dòng)的固有振動(dòng)特性影響不大［12］.基于此，本文采用等效力學(xué)模型理論研究深海平臺(tái)半開口月池內(nèi)流體的動(dòng)力學(xué)特性，為進(jìn)一步研究平臺(tái)-月池流體的耦合運(yùn)動(dòng)奠定基礎(chǔ).以下采用單擺等效月池內(nèi)流體的晃蕩，如圖2所示.

構(gòu)建等效力學(xué)模型的條件如下［11］:(1)等效力學(xué)模型的質(zhì)量及慣量與原流體質(zhì)量及慣量保持一致;(2)保持重心位置不變;(3)特征頻率及流體產(chǎn)生的作用力與力矩相等;(4)等效力學(xué)模型的動(dòng)能與原系統(tǒng)的動(dòng)能相同.假設(shè)不同模態(tài)間不耦合，根據(jù)以上等效條件，可以求得等效力學(xué)模型中的固定質(zhì)量塊及各階單擺的質(zhì)量、擺長和掛點(diǎn)位置等力學(xué)參數(shù).

圖2 單擺模型示意圖Fig.2 Pendulum model

根據(jù)剛體動(dòng)理論寫出單擺系統(tǒng)的動(dòng)能為:

根據(jù)拉格朗日方程，等效單擺系統(tǒng)對(duì)平臺(tái)主體產(chǎn)生的作用力及力矩分別為:

其中，m0、r0、I0分別為固定質(zhì)量塊的質(zhì)量、相對(duì)于O點(diǎn)的矢徑及對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mi、ri分別為第i階單擺質(zhì)量以及平衡位置相對(duì)于O點(diǎn)的矢徑;li、αi、τi分別為第i階單擺的擺長、擺角以及單擺晃動(dòng)方向的單位矢量;ωi為由勢(shì)流理論計(jì)算得到的流體晃動(dòng)的第i階晃動(dòng)固有頻率.相應(yīng)的等效條件為:

上式中，λix、λiy和λ0ix、λ0iy、λ0iz分別為λi、λ0i的分量;hc為月池內(nèi)流體的重心位置，為已知量;h0和hi分別為等效力學(xué)模型中質(zhì)量塊及單擺的重心位置.xi、yi并不唯一，滿足如下關(guān)系式:

由質(zhì)心rc=(xc，yc，zc)到公式(29)所示直線的距離最短原則求得［9］:

可以看出，等效參數(shù)由Stokes-Zhukovskiy勢(shì)函數(shù)ψ、第i階流體晃動(dòng)模態(tài)函數(shù)φi以及特征頻率ωi決定，因此想要獲得等效參數(shù)，需對(duì)勢(shì)函數(shù)、模態(tài)函數(shù)以及特征頻率進(jìn)行求解.

3 有限元方法數(shù)值求解

對(duì)于截面為規(guī)則的矩形或圓形容器，可由勢(shì)流方程直接求得其內(nèi)部流體晃動(dòng)的勢(shì)函數(shù)ψ、模態(tài)函數(shù)φi及特征頻率ωi的解析表達(dá)式，從而獲得等效單擺模型參數(shù)的解析解，詳見文獻(xiàn)［11］.本文采用有限元方法數(shù)值求解勢(shì)流方程，求解流體晃動(dòng)的勢(shì)函數(shù)、模態(tài)函數(shù)及特征頻率的數(shù)值解，并確定等效力學(xué)模型參數(shù)，該數(shù)值方法能夠用于不規(guī)則的結(jié)構(gòu)形式.

對(duì)方程(6)～(10)采用伽遼金變分法，有:

將月池流體進(jìn)行網(wǎng)格劃分、離散，即將每個(gè)單元?jiǎng)莺瘮?shù)以及模態(tài)函數(shù)離散成和帶入到式(30)和式(31)中.本文計(jì)算中，在自由液面以及邊界面處采用三角形單元，其它采用四面體單元進(jìn)行劃分，并應(yīng)用格林公式進(jìn)行化簡，得到如下求解的基本方程:

對(duì)式(30)和式(31)進(jìn)行求解，得到相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)ψ、第i階流體晃動(dòng)模態(tài)函數(shù)φi以及特征頻率ωi，從而可確定等效力學(xué)模型參數(shù).

4 算例

平臺(tái)參數(shù)如表1所示［13］.先用ANSYS軟件進(jìn)行前處理，建立月池內(nèi)流體模型并劃分網(wǎng)格;之后，將結(jié)點(diǎn)編號(hào)坐標(biāo)以及單元結(jié)點(diǎn)信息輸出到MATLAB進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算.月池內(nèi)流體采用四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，六個(gè)邊界面上采用三角形單元?jiǎng)澐郑ㄟ^APDL參數(shù)化編程命令將整體的四面體單元信息按照單元編號(hào)、單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行輸出;將結(jié)點(diǎn)信息按照結(jié)點(diǎn)編號(hào)、結(jié)點(diǎn)空間坐標(biāo)進(jìn)行輸出;將月池流體模型六個(gè)邊界面的三角形單元信息按照單元編號(hào)、單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行輸出.

運(yùn)用Matlab編輯有限元程序，應(yīng)用Ansys輸出的單元信息進(jìn)行計(jì)算，得到月池內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)的固有頻率及其對(duì)應(yīng)的等效單擺模型參數(shù).本文計(jì)算的月池截面形狀為正方形，為驗(yàn)證有限元計(jì)算過程的正確性，將數(shù)值結(jié)果與按照文獻(xiàn)［11］中得到的解析解進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2～表4所示.

表1 平臺(tái)參數(shù)Table 1 The parameters of the Spar platform

表2 月池內(nèi)流體晃動(dòng)固有頻率(rad/s)Table 2 Natural sloshing frequencies of the water inside the moonpool(rad/s)

表3 第一階等效單擺模型參數(shù)Table 3 The model parameters of the first orderequivalent pendulum

表4 等效質(zhì)量塊參數(shù)Table 4 The parameters of the equivalent mass

可以看出，計(jì)算誤差隨著等效模型階次的增加而增大，這與單元?jiǎng)澐值臄?shù)目以及單元類型有關(guān).增加單元的數(shù)目并選擇高精度的單元類型有助于提高計(jì)算精度.數(shù)值解法與解析解法對(duì)比的誤差很小，證明了有限元數(shù)值程序的正確性.

當(dāng)月池底部開口時(shí)，隨著平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)，月池內(nèi)外流體產(chǎn)生交換，月池內(nèi)液面高度也隨之變化.下面運(yùn)用上述有限元方法建立月池內(nèi)不同液面高度時(shí)流體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型參數(shù)庫.選取不同的自由液面高度，計(jì)算月池內(nèi)流體晃動(dòng)等效單擺模型第一階單擺參數(shù)，結(jié)果如表5所示.

表5表明，隨著月池內(nèi)液面高度的增加，第一階單擺模型的質(zhì)量及懸掛點(diǎn)高度增加，但單擺的擺長隨平臺(tái)吃水的增加變化不大.

表5 不同吃水時(shí)的第一階等效單擺模型參數(shù)Table 5 The model parameters of the first orderequivalent pendulum with different draft

5 結(jié)語

本文建立了Spar平臺(tái)月池內(nèi)流體晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了月池內(nèi)流體晃動(dòng)的等效單擺模型，通過兩個(gè)模型的等效關(guān)系確定了等效力學(xué)模型參數(shù).采用ANSYS軟件作為模型建立及網(wǎng)格劃分的前處理軟件;運(yùn)用Galerkin有限元方法求解月池內(nèi)流體晃動(dòng)的固有頻率、模態(tài)函數(shù)以及勢(shì)函數(shù)離散解;應(yīng)用Matlab軟件編制了月池流體晃動(dòng)的計(jì)算程序.數(shù)值模擬結(jié)果與解析解進(jìn)行了比較，表明了有限元數(shù)值計(jì)算方法的正確性.另外，建立了不同月池液面高度的等效力學(xué)模型參數(shù)庫，為進(jìn)一步研究平臺(tái)-月池內(nèi)流體的耦合運(yùn)動(dòng)奠定了基礎(chǔ).

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