導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索

董世壯（遼寧師范大學(xué)　數(shù)學(xué)學(xué)院　2014級教育碩士　大連市金州高級中學(xué)，遼寧大連　116100）

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索

董世壯
（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2014級教育碩士大連市金州高級中學(xué)，遼寧大連116100）

導(dǎo)數(shù)是解決高中數(shù)學(xué)的有力工具，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的重要思想，還為學(xué)生解決問題，特別是實(shí)際問題，提供了有效的工具?？紤]到導(dǎo)數(shù)在理解中存在一定的難度，因此，在教學(xué)中，需要結(jié)合實(shí)例，進(jìn)行充分解析，才可以讓學(xué)生更容易掌握。

導(dǎo)數(shù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位越來越突出，其作為數(shù)學(xué)解題當(dāng)中重要的輔助工具受到了數(shù)學(xué)教師的廣泛的關(guān)注，其已經(jīng)逐漸的成為數(shù)學(xué)解題當(dāng)中不可缺少的工具。當(dāng)前對于學(xué)生使用綜合的知識(shí)解決問題的能力考察逐漸的加強(qiáng)，所以在教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題已經(jīng)成為一個(gè)教學(xué)中重要的組成部分。

一、導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于解析幾何的問題利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題時(shí)，首先應(yīng)該理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，然后注意判斷點(diǎn)M（x0，y0）與已知曲線的位置關(guān)系，這樣在解題時(shí)就能夠快速準(zhǔn)確的解出問題，如例1所示：已知曲線y=f（x），求曲線在點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程。針對這道題目在采用導(dǎo)數(shù)解題時(shí)，首先應(yīng)該求出導(dǎo)數(shù)f′（x），然后將x-x0代入導(dǎo)數(shù)f′（x），為k=f′（x0），最后就能夠方便的算出曲線y=f（x），在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例：求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′＞0或y′＜0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′＞0得3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2。

由y′＜0得3x2-6x＜0，解得0＜x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為 （-∞，0） ∪（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）。

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f （x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間。若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)在解不等式問題時(shí)應(yīng)用最多的就是不等式證明題。在不等式證明題解題的過程中，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)可以對整個(gè)函數(shù)判斷單調(diào)性，最終能夠證明整個(gè)不等式。下面我們通過具體的例題進(jìn)行分析導(dǎo)數(shù)在不等式證明題中的應(yīng)用：已知函數(shù)

f（x）=xlnx（0＜a＜b），證明：0＜f（a）+f（b） -2f［（a+b）/2］。

解析：在解題前，當(dāng)我們看到題目時(shí)會(huì)感覺一頭霧水，不知道應(yīng)該從何下手，但是如果我們能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，則會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題時(shí)，首先應(yīng)該明確導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后進(jìn)行判斷ab值的范圍，進(jìn)而能夠通過分析證明你明不等式。

解題：

將f（x）=xlnx（0＜a＜b）進(jìn)行求導(dǎo)可以得出：f′（x）=lnx+1，假如設(shè)

A（x）=f（x）-2f（x+a/2），則

A′（x）=f′（x）-2f′（a+x/2）=lnx-ln（a+x/2）

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，則A′（x）＜0，因此我們可以得知A（x）在（0，a）的區(qū)間上為減函數(shù)。當(dāng)x＞a時(shí)，A′（x）＞0，則可以得知A（x）在（a，+∞）上為增函數(shù)，最終可以判斷出當(dāng)x=a時(shí)，b＞a時(shí)，b＞a，所以可以得出，A（b）＞0即0＜f（a）+f（b）-2f（a+b）/2成立。

四、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在判斷單調(diào)性中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)能夠求出可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其實(shí)質(zhì)就如同解不等式f′（x）＞0或者f′（x）＜0在區(qū)間的端點(diǎn)上有意義，則也可以寫成閉區(qū)間的形式，具體的解題思路及方法如下例題所示：例：分析函數(shù)f（x）=x3-3x在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)間為減函數(shù)？

分析：在進(jìn)行判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先可以對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)讓，求解出不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0的解，從而可以得到f′（x）＞0的解為單調(diào)增函數(shù)區(qū)間，而f′（x）＜0的解為單調(diào)減函數(shù)區(qū)間。

解題：由題目可以得知，f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3=3 （x-1） （x+1），設(shè)f′（x）＞0，則可以得出x＜1或者x＞1，因此可以得出單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）和（-∞，-1）。然后設(shè)f′（x）＜0，則可以得出-1＜x＜1，所以可以得出f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）2.導(dǎo)數(shù)在求解極值中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，極值是高中函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)也是重點(diǎn)，其涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)各個(gè)方面的運(yùn)用。在解析函數(shù)最值問題時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不僅能夠簡化解題過程，而且步驟簡單，容易掌握。一般情況下，如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上可導(dǎo)，則f（x）在閉區(qū)間［a，b］上的最值求法分為兩步就能夠完成：第一步：求出函數(shù)f（x）在（a，b）上的駐點(diǎn)，第二步：計(jì)算f（x）在駐點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，然后進(jìn)行比較可以得知，最小的為函數(shù)的最小值，最大的為函數(shù)的最大值。這種方法還可以運(yùn)用到函數(shù)圖像中，因?yàn)樵诋嫼瘮?shù)圖像時(shí)也要求出函數(shù)的極值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)能夠輕松的進(jìn)行解題。

二、在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中需要注意的問題

在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，要把握其教學(xué)的要求，為了使教學(xué)的效率得到有效的提高，可以在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)當(dāng)中，抓住其教學(xué)的重點(diǎn)。在導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)中，在其學(xué)習(xí)的過程中要注重其實(shí)際背景的側(cè)重點(diǎn)，使用相應(yīng)的光滑曲線的切線斜率作為相應(yīng)的輔助材料。對于導(dǎo)數(shù)的公式和兩個(gè)函數(shù)之間的和、差、積、商的求導(dǎo)的法則，不需要經(jīng)過補(bǔ)充和證明，但是要熟悉的記住相應(yīng)的法則和公式，最主要的是讓學(xué)生能夠正確的使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)題的求解，避免在求解過程中使用比較復(fù)雜的方法進(jìn)行相應(yīng)的求解過程，把簡單的問題復(fù)雜化。在進(jìn)行相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的時(shí)候，要準(zhǔn)確的掌握其計(jì)算的法則，這此過程的學(xué)習(xí)中教師要掌握好練習(xí)題的難度。在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的部分，要學(xué)生們重點(diǎn)的掌握簡單函數(shù)的極值和相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的方法，結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖像，利用直觀的方式讓學(xué)生理解相應(yīng)的函數(shù)的極值和相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。在相應(yīng)的知識(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候，要注意知識(shí)的連續(xù)性，要全面的了解知識(shí)的結(jié)構(gòu)構(gòu)架，要注重和其他知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，注重知識(shí)的綜合性的學(xué)習(xí)。

總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題時(shí)，最重要的就是在理解其定義的基礎(chǔ)上，熟練掌握其本質(zhì)，進(jìn)而正確運(yùn)用來解決各種問題。不能單純地只知道導(dǎo)數(shù)的公式及其簡單的求導(dǎo)方法，這在解題過程中會(huì)出現(xiàn)本質(zhì)性的錯(cuò)誤，還會(huì)阻礙思維的擴(kuò)散。只有將其內(nèi)在的本質(zhì)理解透徹，在解決問題時(shí)才能有正確的方法，從而能夠提高靈活解題的能力。

［1］吳龍福。例析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)大世界，2012

［2］陳鵬。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用［J］.新課程，2012