三因素方差分析的原理及應用

郭　萍

(青島理工大學琴島學院 基礎部, 山東 青島　266106)

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三因素方差分析的原理及應用

郭萍

(青島理工大學琴島學院 基礎部, 山東 青島266106)

摘要:基于雙因素方差分析,推導出三因素方差分析的原理,給出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表,并將推導的結果應用在具體的數(shù)學建模案例中,同時利用MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解. 求解結果的一致性說明了原理推導的正確性.

關鍵詞:三因素方差分析; 數(shù)學建模; MATLAB

當今社會是一個信息高度發(fā)達、人們的社會經(jīng)濟活動日益頻繁的社會,大量的信息、數(shù)據(jù)需要人們處理. 如何從這些海量的信息中提取有用的信息,指導人們的社會實踐活動,越發(fā)顯得必要而迫切,從而為數(shù)理統(tǒng)計提供了日益廣闊的舞臺[1].

方差分析是數(shù)理統(tǒng)計中非常重要的內(nèi)容. 方差分析又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗”,是由 R A Fisher 發(fā)明的,用于對兩個及兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗[2]. 三因素方差分析是檢驗在三種因素影響下,三個以上總體的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)計方法. 文獻[3]給出了單因素及雙因素方差分析的原理,但并未給出三因素方差分析的相關內(nèi)容. 本文詳細推導了無交互影響的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式,由此給出了三因素方差分析表,利用該分析表解決了一個具體的數(shù)學建模案例,并通過MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解. 求解結果的一致性說明了原理推導的正確性.

1無交互影響的三因素方差分析原理

1.1　模型建立

設有三個因素A,B,C,因素A取r個水平,分別記為A1,A2,…,Ar;因素B取s個水平,分別記為B1,B2,…,Bs;因素C取t個水平,分別記為C1,C2,…,Ct. 在水平組合(Ai,Bj,Ck)下樣本相互獨立,且

Xijk~N(μijk,σ2)

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t).

記

其中,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t. 稱μ為一般平均,αi為因素A的第i個水平的效應,βj為因素B的第j個水平的效應,γk為因素C的第k個水平的效應. 顯然,αi,βj,γk滿足如下關系式:

若μijk=μ+αi+βj+γk,則數(shù)學模型為

1.2　假設檢驗

假設檢驗如下:

1.3　偏差平方和分解式

記

故

1.4　無交互影響的三因素方差分析表

無交互影響的三因素方差分析表如表1所示.

表1　無交互影響的三因素方差分析表

1.5　檢驗規(guī)則

(1) 若FA>F1-α(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H01,表示在因素A的各水平下的效應有顯著差異;

(2) 若FB>F1-α(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H02,表示在因素B的各水平下的效應有顯著差異;

(3) 若FC>F1-α(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),則拒絕H03,表示在因素C的各水平下的效應有顯著差異.

2三因素方差分析表的應用

2.1　數(shù)學建模案例

某集團為了研究商品銷售點所在的地理位置、銷售點處的廣告和銷售點的裝潢這三個因素對商品的影響程度,選了三個位置(如市中心黃金地段、非中心的地段、城鄉(xiāng)結合部)、兩種廣告形式、兩種裝潢檔次在四個城市進行了搭配試驗. 表2是銷售量的數(shù)據(jù).試在顯著性水平0.05下,檢驗不同地理位置、不同廣告、不同裝潢下的銷售量是否有顯著差異[4].

表2　銷售量的數(shù)據(jù)

2.2　數(shù)學建模案例的求解

解法1按照推導出的偏差平方和分解式,計算求得方差分析表,如表3所示.

表3　方差分析表

由于FA≈13.915 8>F0.95(2,7)=4.74,FB≈15.596 6>F0.95(1,7)=5.59,FC≈12.323 2>F0.95(1,7)=5.59,因此,在顯著性水平α=0.05下,因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響. 為了使該商品的銷售情況更好,地理位置、廣告、裝潢都需要進行合理的選擇.

解法2MATLAB實現(xiàn).

統(tǒng)計工具箱中用anovan作多因素方差分析. 無交互影響的三因素方差分析命令為[p,t]=anovan(x,group). 返回值p是三個概率. 當p>α時接受H0,說明因素有顯著影響;當p<α時拒絕H0,說明因素無顯著影響. t是方差分析表.

編寫程序如下:

clc,clear

x=[955 927 905 855 880 860 870 830 875 870 870 821];

group={[′A1′;′A1′;′A1′;′A1′;′A2′;′A2′;′A2′;′A2′;′A3′;′A3′;′A3′;′A3′;];

[′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;];

[′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;]};

[p,t]=anovan(x,group)

求得p的值分別為0.003 6,0.005 5,0.009 9,方差分析表如表4所示.

表4　MATLAB實現(xiàn)的方差分析表

第一個p值是在因素A(即地理位置)的影響下得到的,第二個p值是在因素B(即廣告)的影響下得到的,第三個p值是在因素C(即裝潢)的影響下得到的. 由于三個p值均小于0.05,故拒絕原假設,說明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響.

MATLAB實現(xiàn)的結果與利用偏差平方和分解式得到的結果是一致的,說明偏差平方和分解式及無交互影響的三因素方差分析表的推導都是正確的.

3結語

近年來, 隨著計算機技術的發(fā)展和普及, 借助于計算機及MATLAB[5]軟件完成統(tǒng)計計算、分析統(tǒng)計結果、作出統(tǒng)計推斷已經(jīng)成為必然趨勢. 但是沒有理論支撐的應用, 就如空中樓閣.

對無交互影響的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推導, 對數(shù)據(jù)較少的實際問題, 不僅可以通過動手計算, 分析問題的結果; 而且有了理論的支撐, 可以更好地理解MATLAB軟件中程序的意義, 同時對統(tǒng)計結果作出更透徹的分析.

參考文獻:

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(Yi Kunnan,Cheng Xunjie. A Frequently Mistaken Concept in “Hypothesis Test”: A Dispute Triggered by China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling[J]. Journal of Chongqing University of Technology: Natural Science, 2013,27(4):106-109.)

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(Wei Zongshu,et al. The Course of Probability Theory and Mathematical Statistics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001:372-391.)

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(Si Shoukui. Algorithm and Program of Mathematical Modeling[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2007:225.)

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【責任編輯: 李艷】

(Ji Lili,Ma Ji. Simulating Research of Rotor Winding Machine Control System Regulator based on MATLAB[J]. Journal of Shenyang University: Natural Science, 2012,24(1):25-27.)

Principle and Application of Three Factors Analysis of Variance

GuoPing

(Qindao College,Qingdao University of Technology, Qingdao 266106, China)

Abstract:The principle of three factors analysis of variance is derived based on two factors analysis of variance. The factorization of the sum of squared deviations and the table of the three factors analysis of variance are presented; the result is applied in a specific mathematical modeling case, while using MATLAB to solve this case. The consistency of the results illustrates the correctness of the derivation of the principle.

Key words:three factor analysis of variance; mathematical modeling; MATLAB

收稿日期:2014-08-26

中圖分類號:O 29

文獻標志碼:A

作者簡介:郭萍(1981-),女,山西陽泉人,青島理工大學琴島學院講師.

文章編號:2095-5456(2015)01-0040-04