若干關(guān)于調(diào)和數(shù)的等式

申玲玲，郜靜霞

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

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若干關(guān)于調(diào)和數(shù)的等式

申玲玲，郜靜霞

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

摘要本文利用發(fā)生函數(shù)理論的方法得到一個(gè)新的關(guān)于調(diào)和數(shù)的等式，此等式還包含貝爾多項(xiàng)式，其中定義的Hspan(m)是關(guān)于m和n的調(diào)和數(shù)，利用這個(gè)等式并用自然的方法可以得到一系列等式。

關(guān)鍵詞調(diào)和數(shù)；貝爾多項(xiàng)式；等式

關(guān)于貝爾多項(xiàng)式Y(jié)n=Yn(x1,x2,…,xn)有：

(1)

在Riordan[1]中就給出了一些相反的數(shù)對(duì)，本文就用到其中一個(gè)：

1一個(gè)新等式

在文獻(xiàn)[2]中Zave給了一個(gè)等式及證明，參照該方法將m的范圍擴(kuò)大得到了一個(gè)新的等式。

定理1.1若m∈R且m?{1,2,3,…}，r∈N,那么

(2)

證明利用發(fā)生函數(shù)理論和泰勒展開(kāi)式有：

當(dāng)m=(0, -1, -2, -3, …)可以得到定理1.1[3]。

其中

(3)

2應(yīng)用

定理2.1若n,u,v∈N,p,q∈R且p,q?{1,2,…},則

證明明顯地，可以得到：

將式(3)代入左右兩邊，對(duì)比兩邊的系數(shù)便可得到。

為了更好的展示定理2.1，給出一個(gè)特殊的例子：

當(dāng)u=v=0，有：

如果只分解一個(gè)因數(shù)(1-z)m-1可以得到另外的一個(gè)定理：

定理2.2若m,p∈R且m,p?{1,2,…}，則

證明由式(3)可得：

同理可得：

交換和的順序并對(duì)比系數(shù)便可得。

當(dāng)r=0,有：

定理2.3若r,k∈N,m∈R且m?{1,2,…}，n≥1,r≥1則

證明明顯地有

對(duì)比這兩個(gè)等式的系數(shù)即可。

特別地，當(dāng)r=1有

定理2.4若m∈R且m?{1,2,…}，r,s∈N,s≥1,則

證明將式(3)和定理2.4證明過(guò)程中的一個(gè)等式代入下面等式：

對(duì)比兩個(gè)等式的系數(shù)即得。

特別地，當(dāng)r=0,s=1有

利用數(shù)對(duì)(1)可得

以上定理是由分解因數(shù)得到的，在定理1.1的證明過(guò)程中，有一個(gè)特殊的等式，利用這個(gè)等式可以得到定理2.5。

定理2.5若r,k∈N,m∈R且m?{1,2,…}，r≥1,k≥1,則

(4)

證明在定理1.1的證明過(guò)程中有這樣一個(gè)結(jié)果

分解定理2.1中組合等式左邊的因數(shù)可以得到新的定理，在它的左邊添加一個(gè)特殊的因數(shù)也可以得到一個(gè)新的定理。

3結(jié)論

通過(guò)以上的方法得到了新的定理，但可以發(fā)現(xiàn)這些定理的限制條件太多，應(yīng)用也不夠廣泛。希望以后可以有一些新的方法來(lái)將這些限制條件去掉來(lái)使這些定理的應(yīng)用更加地廣泛。

參考文獻(xiàn):

[1]Riordan J. Combinatorial identities[J]. R E Krieger Pub Co,1979.

[2]Zave D A. A series expansion involving the harmonic numbers[J]. Information Processing Letters,1976,5(3):75-77.

[3]Spieβ J. Some identities involving harmonic numbers[J]. Mathematics of Computation, 1990,192:839-863.

編輯王菊平

Some equations involving harmonic numbers

SHEN Ling-ling, GAO Jing-xia

(School of Mathematics Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

AbstractIn this paper we get a new identity involving harmonic numbers by means of occurring functions, this equation includes Bell polynomial. LetHspan(m) denote them,nharmonic number. These identities are generalized in a natural way by means of generalized functions.

Key wordsharmonic numbers; Bell polynomial; equations

作者簡(jiǎn)介申玲玲，女，河南安陽(yáng)人，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

收稿日期2014-12-28

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.05

中圖分類號(hào)O1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1003-8078(2015)06-0019-04