高中數(shù)學教材例習題設計評價

呂　濤

( 黃岡師范學院 數(shù)理學院，湖北 黃州 438000)

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高中數(shù)學教材例習題設計評價

呂濤

( 黃岡師范學院 數(shù)理學院，湖北 黃州 438000)

摘要在我國教材一綱多本的背景下，研究高中數(shù)學不同版本教材例習題的比較問題。在分析高中數(shù)學教材例習題的評價指標后，介紹了不確定理論的基礎知識和不確定綜合評判方法，采用基于期望值的不確定綜合評價方法對兩版高中數(shù)學教材的例習題比較，最終比較出兩版教材例習題的優(yōu)劣。

關鍵詞例習題設計；不確定綜合評價；期望值

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出：教材是實現(xiàn)課程目標、實施教學的重要資源[1]。數(shù)學例題是數(shù)學教科書的重要組成部分，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源，是數(shù)學教科書中概念、命題與習題之間的橋梁和紐帶[2]。數(shù)學習題是在數(shù)學概念、定理、公式等數(shù)學知識與數(shù)學方法的運用與問題解決之間架構(gòu)橋梁的題目[3]。余元慶先生認為，習題是中學數(shù)學課本的重要組成部分，習題配備的好不好，直接影響到學生學習質(zhì)量的高低[4]。通過評價比較不同版本的教材例習題質(zhì)量，能為高中數(shù)學教材的習題設計提供借鑒，優(yōu)化教材的編寫，對提高教材的質(zhì)量和數(shù)學教育質(zhì)量具有重要意義[5]。

目前，有很多國內(nèi)外學者對高中數(shù)學教材的例習題進行評價研究。從比較范圍上來說，有把國內(nèi)教材例習題與國外的比較研究，例如路偉力[6]把中國人教版和美國的教材針對例題習題的比較研究。也有把國內(nèi)不同版本教材的例習題比較研究，例如李惠[7]把現(xiàn)行的人教A版和蘇教版的教材例習題比較研究。從比較內(nèi)容上來說，有針對例習題難度的研究，例如王建馨[8]比較了主要國家的數(shù)學教材例習題的難度。有針對例習題設計的比較研究，例如涂俊甫[9]對中日教材的例習題進行了整體比較。然而大部分教材評價方案中定性分析多，定量研究的比較少，尤其是缺乏整體的評價比較。

教材例習題評價是一個多目標多層次的復雜問題，雖然涉及面廣，含有不確定因素多，但應用恰當?shù)臄?shù)學評價方法可以降低主觀因素，提高評價的精度。劉寶碇[10]于2007年創(chuàng)立了不確定理論，之后在2010年對不確定理論[11]進行了提煉，這是基于規(guī)范性、自對偶性、次可數(shù)可加性以及乘積測度公理四條公理的一套合理的數(shù)學體系。在不確定理論框架下，又有很多學者研究了不確定綜合評價方法。比如劉建軍[12]在不確定理論的基礎上提出了不確定綜合評價方法，把評價指標的權(quán)重及評價因素的評價等級看作不確定變量。楊芳芳和付友華[13-14]提出一種新的不確定綜合評價方法，這種方法的好處就是對于同一等級的幾個評價對象很容易排序比較出誰更優(yōu)秀。目前我國高中數(shù)學教材有多種版本，使用較多的是人教A版高中數(shù)學實驗教科書與北師大版高中數(shù)學實驗教科書。

本文將運用這種方法來評價人教A版和北師大版的高一數(shù)學上冊教材例習題設計。按照這種方法，本文作者請幾位數(shù)學專家對這兩版教材進行打分，可以通過計算得出綜合評分，然后根據(jù)分數(shù)高低對評價對象進行排序。

1兩版教材簡介

1.1　比較對象

本文對人民教育出版社發(fā)行的《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(A版)》(簡稱“人教A版”)[15]和由北京師范大學出版社出版發(fā)行的《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》(簡稱北師大版)[16]的例習題設計進行比較研究。

1.2　教材評價指標分析

本文通過查閱資料，總結(jié)王健萍和邵光華[17]提出的中美數(shù)學教材例習題比較的維度以及盧萍和邵光華[18]提出的中德代數(shù)教材習題特色比較維度，提出評價高中數(shù)學教材例習題的指標體系。

(1)類型：題型是否多樣化；例題與習題在知識點上是否一致；變式練習，體現(xiàn)舉一反三；是否有探究性題目和綜合性題目。

(2)難度維度：難度系數(shù)是否分層，有梯度；是否體現(xiàn)教學目標要求和考試大綱要求；例題是否適合新課教學使用。

(3)選材維度：體現(xiàn)數(shù)學思想方法；以數(shù)學史為背景；以學生生活和社會為背景；融合其它學科知識程度。

(4)數(shù)量維度：例習題是否包含了所有的知識點；數(shù)量是否適中，達到鞏固作用。

2比較兩版數(shù)學教材例習題設計

2.1　不確定理論基礎知識

在介紹不確定綜合評價方法之前，要學習簡單的不確定理論基礎知識。

定義1.1(Liu[10])設Γ是一個非空集合，L是Γ上的一個σ-代數(shù)。對于任意元素Λ∈L稱為一個事件，M{Λ}是一個從L到[0,1]的集函數(shù)。如果M滿足以下三條公理：

公理1：(規(guī)范性)對于全集Γ，有M{Γ}=1；

公理2：(對偶性)對于任意事件Λ∈L，M{Λ}+M{Λc}=1；

定義1.2(Liu[10])一個不確定變量ξ是從一個不確定空間 (Γ，L，M)到實數(shù)集上的一個可測函數(shù)，即對于任意實數(shù)集上的Borel集，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一個事件。

定義1.4(Liu[10])不確定變量ξ的分布函數(shù)Φ定義為Φ(x)=M{ξ≤x}，x∈R。

它的反函數(shù)Φ-1稱為不確定變量ξ的逆分布。

定義1.5(Liu[10])若不確定變量ξ有不確定分布

則ξ稱作是線性的，記為ξ~L(a,b)，這里a,b∈R，且a

它的逆不確定分布為Φ-1(α)=(1-α)a+αb。

定義1.6(Liu[10])若不確定變量ξ有不確定分布

則ξ稱作之字形的，記為ξ~Z(a,b,c)，這里a,b,c∈R，且a

它的之字形逆不確定分布為

定理1.2(Liu[10])設ξ和η是兩個獨立的不確定變量，則對于任意實數(shù)a和b，有E[aξ+bη]=aE[ξ]+bE[η]。

2.2　不確定綜合評價方法

綜合評價首先建立評價指標體系，確定各指標的權(quán)重和評委的權(quán)重。然后要建立不確定評價矩陣，研究評價者如何對每項指標進行評價的問題。在這里把評價者給每項指標的不確定評價當作不確定變量，建立不確定綜合評價模型。這里的指標是互相獨立的。首先介紹符號的含義，見表1。

表1 符號的含義

不確定變量ξij(i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)組成的矩陣U，稱為不確定評價矩陣，表示如下：

然后，用上述矩陣U乘以指標的權(quán)重矩陣W，得到一個新的矩陣B，它的元素ξj(j=1,2,…,n)代表第j個評委對評級對象的的綜合不確定評價

接著，向量B乘以評委的權(quán)重向量V得到該評價對象的不確定綜合評價，即不確定變量ξ。

為了得到幾個評價對象之間的比較結(jié)果，我們需要使用一些比較準則[13-14]。

定義2.1[13-14](綜合評價期望值比較準則)假設ξ和η是兩個不確定變量，且都有有限的期望值，如果E[ξ]>E[η]，那么就稱ξ比η優(yōu)秀。

上述比較準則的性質(zhì)介紹如下：

2.3　不同版本高中數(shù)學教材的綜合評價

將上述不確定綜合評價方法應用于高中數(shù)學教材例習題設計評價中，邀請三位專家作評委，他們的權(quán)重相同，且相加之和為1。即V=(v1,v2,v3)T=(1/31/31/3)T。鑒于線性不確定變量是不確定變量中很常見的一種形式，在下面的例子中用線性不確定變量來描述評委對指標的不確定評價。

第一步 建立評價指標體系

根據(jù)上文的教材指標，將教材例習題設計綜合評價作為目標層，設立四個一級評價指標，分別標記為A、B、C和D。然后通過與10位一線教師交流，得出每位教師給出的一層指標權(quán)重如表2，得出平均值。為了使數(shù)據(jù)更加有效，去除最高權(quán)重和最低權(quán)重，然后算出平均值，根據(jù)指標和為1作出適當調(diào)整就得到了一層指標的權(quán)重。同樣的，根據(jù)這個方法，可以得到二層指標的權(quán)重，這里就不詳細給出了，具體見表3。

表2　教材例習題設計評價指標權(quán)重

第二步 建立不確定評價矩陣

用不確定變量ξ和η分別表示人教A版教材高一上冊例習題設計和北師大版教材高一上冊例習題設計的質(zhì)量。下面逐層進行評價，首先評委對指標層的二級指標進行評價，根據(jù)評價數(shù)據(jù)計算準則層的4個一級指標的評價情況，即先把4個一級指標作為4個小目標，根據(jù)對應的二級指標的不確定評價情況，利用上文提出的不確定綜合評價方法解決四個小的評價問題。然后，根據(jù)4個一級指標的評價情況計算目標層高中數(shù)學教材例習題設計的評價情況。

表3　教材例習題設計評價指標體系

人教A版教材高一上冊例習題：對于一級指標A下的四個二級指標的不確定評價矩陣

由定理1.2可計算矩陣R1中各個變量的期望值，以矩陣形式列出：

根據(jù)定理2.1計算一級指標的評價結(jié)果。

=79.90

對于一級指標B，其對應的二級指標的不確定評價矩陣U2,U3,U4分別為

按照指標A評價結(jié)果計算方法，可計算出EB=80.60，EC=80.60，ED=84.13，最后得到人教A版教材高一上冊例習題設計的不確定綜合評價結(jié)果為

=(0.30.30.30.2)·(79.9080.6080.6084.13)T

=81.10

經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)E[ξ]=81.10>E[η]=80.67，由定義2.1提出的綜合評價期望值比較準則可知，人教A版教材高一上冊的例習題設計比北師大版教材高一上冊的例習題設計稍好一些。

在評價不同版本的高中數(shù)學教材例習題的設計時，本文為評價教材例習題設計提供了一種分析工具，建立基于期望值的不確定綜合評判模型實施高中數(shù)學教材例習題評價，綜合考慮了各級因素對教材質(zhì)量評價產(chǎn)生的影響。該模型操作簡單、科學性強而且能夠更加公平公正的比較出兩本不同版本教材例習題的優(yōu)劣，具備較強的實用價值。

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編輯喻曉敏

作者簡介呂濤，男，湖北黃岡人，碩士研究生，主要研究方向為學科教學(數(shù)學)。

收稿日期2015-06-26

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.28

中圖分類號O29

文獻標志碼A

文章編號1003-8078(2015)06-0102-06