小子樣下火炮連發(fā)密集度的分析與評(píng)估

楊杰，趙保偉，劉林，孫義陽(yáng)

（華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西華陰714200）

小子樣下火炮連發(fā)密集度的分析與評(píng)估

楊杰，趙保偉，劉林，孫義陽(yáng)

（華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西華陰714200）

針對(duì)火炮連發(fā)模式下射彈散布不完全服從正態(tài)分布，而缺乏有效密集度估計(jì)方法的問(wèn)題，提出了基于二維云模型和蒙特卡羅方法相結(jié)合的火炮連發(fā)密集度估計(jì)新方法。首先應(yīng)用蒙特卡羅抽樣解決火炮射擊樣本量少的問(wèn)題，然后應(yīng)用二維逆向云算法對(duì)火炮射擊結(jié)果進(jìn)行密集度估計(jì)，最后用二維正向云發(fā)生器模擬生成新的射彈散布數(shù)據(jù)，進(jìn)而直觀地看出彈點(diǎn)分布情況。實(shí)例分析表明，該方法更符合火炮連發(fā)射彈散布真實(shí)情形，分析結(jié)果更準(zhǔn)確可靠，從而為基地火炮連發(fā)密集度試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析與評(píng)估提供了一種有效的方法。

連發(fā)密集度，小子樣，二維云模型，蒙特卡羅方法

0 引言

立靶密集度是武器直射精度的重要表征量，是火炮射擊精度試驗(yàn)評(píng)估的一個(gè)重要指標(biāo)。國(guó)軍標(biāo)中規(guī)定的立靶密集度估計(jì)方法是在假定彈著點(diǎn)呈正態(tài)分布的前提下進(jìn)行的［1］，當(dāng)火炮采用單發(fā)射擊模式時(shí)，同種彈一組中每發(fā)彈符合獨(dú)立同分布的特性，故其密集度可按正態(tài)分布處理；但在連發(fā)射擊模式下，由于火炮射速高，后發(fā)彈是在前發(fā)彈炮口運(yùn)動(dòng)尚未恢復(fù)射前狀態(tài)時(shí)即射出，其散布特性不再嚴(yán)格服從正態(tài)分布，而且已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，火炮連發(fā)立靶數(shù)據(jù)未通過(guò)正態(tài)性檢驗(yàn)的現(xiàn)象在已定型航炮中普遍存在，它反映了試驗(yàn)數(shù)據(jù)不滿足獨(dú)立同分布正態(tài)模型的條件，如果再用正態(tài)分布來(lái)處理就會(huì)帶來(lái)較大誤差。

因此，需要建立新的、能反映火炮連發(fā)射擊射彈散布特征的分布模型。李德毅教授1995年提出的云模型［2］是一種定性定量轉(zhuǎn)換模型，其中正態(tài)云分布（又稱泛正態(tài)分布）是最具普適性的一種云模型，泛正態(tài)分布的產(chǎn)生條件比正態(tài)分布更寬松，又比概率理論中一般意義的聯(lián)合分布直觀、簡(jiǎn)便、可行?；鹋诰仍囼?yàn)一次三組，根據(jù)火炮口徑大小的不同每組試驗(yàn)發(fā)數(shù)不盡相同，最多不超過(guò)10發(fā)，從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度屬小樣本。為此，本文將正態(tài)云模型和蒙特卡羅（Monte-carlo）方法相結(jié)合，提出了一種小子樣下火炮連發(fā)密集度的分析與評(píng)估的新方法。

1 火炮單發(fā)立靶密集度估計(jì)

火炮立靶密集度測(cè)量就是通過(guò)射擊試驗(yàn)，獲取彈丸散布坐標(biāo)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，得到射彈散布概率誤差和散布中心。設(shè)有一組射彈，其立靶散布坐標(biāo)隨機(jī)數(shù)為（Yi，Zi），i=1，2，…，n，n為一組射彈總數(shù)，Yi表示高低散布坐標(biāo)，Zi表示方位散布坐標(biāo)。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，小樣本量時(shí)立靶射彈散布坐標(biāo)的均方差為：

Y、Z表示每組試驗(yàn)的平均彈著點(diǎn)坐標(biāo)。立靶射彈散布坐標(biāo)的概率誤差與均方差之間的關(guān)系為［3］：

該數(shù)據(jù)處理方法按彈著點(diǎn)符合正態(tài)分布的特性進(jìn)行計(jì)算。很明顯，單發(fā)射擊時(shí)，每發(fā)彈相互獨(dú)立，采用正態(tài)分布很容易得到公認(rèn)；但連發(fā)射擊時(shí)，由于武器射速高，在前發(fā)射擊引起的身管振動(dòng)狀態(tài)下，次發(fā)彈即射出，在此情況下，彈著點(diǎn)是否仍然符合正態(tài)分布，需要進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)驗(yàn)證。

此外，由上述計(jì)算方法可以看出，對(duì)火炮密集度的評(píng)定分別從高低和方向上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，即在一維論域上進(jìn)行處理，而實(shí)際上火炮彈著點(diǎn)位于二維平面上，這種做法人為地割裂了彈著點(diǎn)在高低和方向上的關(guān)聯(lián)性，從而不能全面反映火炮的射擊水平。

2 云模型方法

2.1 基本概念

李德毅院士提出云模型目的是同時(shí)處理自然語(yǔ)言中的隨機(jī)性和模糊性，云用期望Ex、熵En和超熵He 3個(gè)數(shù)字特征來(lái)整體表征一個(gè)概念。

定義1:設(shè)U是一個(gè)普通集合U={x}，稱為論域，T為U上的一個(gè)概念，CT（x）是U到閉區(qū)間［0，1］的映射，對(duì)于任意元素x∈U，都存在一個(gè)有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)CT（x），則稱CT（x）在U上的分布為云模型，即：

每一個(gè)x稱為一個(gè)云滴。

2.2 正態(tài)云模型

正態(tài)云是云模型中最具普適性的一種，正態(tài)云模型是在正態(tài)分布和鐘形隸屬函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的全新模型。正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、人類社會(huì)、科學(xué)技術(shù)及生產(chǎn)等領(lǐng)域之中，正態(tài)分布的前提條件是：如果某一現(xiàn)象決定于若干獨(dú)立的、微小的隨機(jī)因素的總和，并且各個(gè)因素的單獨(dú)作用相對(duì)均勻地小，那么這一現(xiàn)象一般近似于正態(tài)分布。但是，在很多情況下，影響結(jié)果的諸多因素中，常?？赡苣骋环N或幾種因素的作用比較突出，也未必相互獨(dú)立，此時(shí)如果簡(jiǎn)單地用正態(tài)分布來(lái)分析問(wèn)題，就不能真實(shí)地反映客觀情況。對(duì)此，正態(tài)云提供了一個(gè)弱化形成正態(tài)分布條件的參數(shù)He。

在火炮連發(fā)密集度試驗(yàn)中，He可以用來(lái)反映炮口振動(dòng)因素對(duì)射擊結(jié)果的影響。如果炮口振動(dòng)因素影響小，He就較小，En2+He2和En2差距就小，連發(fā)射彈散布接近于正態(tài)分布；而如果炮口振動(dòng)因素影響大，He就較大，En2+He2和En2差距也大，連發(fā)射彈散布不再服從正態(tài)分布。當(dāng)He=0時(shí)，正態(tài)云退化為正態(tài)分布。正態(tài)云如圖1所示。

圖1 正態(tài)云圖

定性概念到定量表示的轉(zhuǎn)換過(guò)程稱為正向云發(fā)生器，由定量表示到定性概念的轉(zhuǎn)換過(guò)程稱為逆向云發(fā)生器。正向云發(fā)生器是由云的3個(gè)數(shù)字特征產(chǎn)生滿足條件的云滴drop（x，μ），逆向云發(fā)生器則是通過(guò)已知一定數(shù)量的云滴drop（x，μ）來(lái)得到描述定性知識(shí)的云的3個(gè)數(shù)字特征（Ex，En，He）的過(guò)程。

3 火炮連發(fā)密集度估計(jì)新方法

3.1 射彈散布正態(tài)性檢驗(yàn)

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織統(tǒng)計(jì)分委會(huì)對(duì)比各種檢驗(yàn)方法后，認(rèn)為W檢驗(yàn)和EP檢驗(yàn)是最好的，原因是它們犯第二類錯(cuò)誤的概率最小?；鹋诹忻芗仍囼?yàn)，按照國(guó)軍標(biāo)規(guī)定，每種條件下射擊3組，每組最多10發(fā)，從統(tǒng)計(jì)的角度屬小樣本，故本文選用W檢驗(yàn)作為火炮連發(fā)立靶彈著點(diǎn)是否符合正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法。W檢驗(yàn)的操作步驟是：

假設(shè)H0：總體為正態(tài)分布。

（1）樣本排序x（1）≤x（2）≤…≤x（n）

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W=s2/nm2

其中，m2為樣本的二階中心距，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，d=n/2；n為奇數(shù)時(shí)，d=（n-1）/2。系數(shù)ak根據(jù)n大小查表獲得。

（3）確定顯著性水平α，根據(jù)α和樣本量n查表得統(tǒng)計(jì)量W的α分位數(shù)Wα。

（4）判斷：若W≤Wα，則拒絕原假設(shè)，否則保留原假設(shè)。

3.2 蒙特卡羅抽樣

火炮密集度試驗(yàn)中，在分布未知的情況下，如何確定其分布，用高低或方向僅有的10個(gè)數(shù)據(jù)，顯然是很難保證推斷或檢驗(yàn)的精度的。為解決試驗(yàn)樣本量少不能準(zhǔn)確估計(jì)分布的問(wèn)題，本文引入蒙特卡羅方法進(jìn)行重抽樣。

蒙特卡羅方法［4］以隨機(jī)模擬和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)為手段，從隨機(jī)變量的概率分布中，通過(guò)隨機(jī)選擇數(shù)字的方法產(chǎn)生一種符合該隨機(jī)變量概率分布特性的隨機(jī)數(shù)值序列，作為輸入變量序列進(jìn)行特定的模擬試驗(yàn)、求解。

記x=（x1，x2，…，xn）為試驗(yàn)獲得的樣本值，依據(jù)樣本值作抽樣分布Fn，即：

式中，x（1）≤x（2）≤…≤x（n）為x1，x2，…，xn按從小到大排序后所得的統(tǒng)計(jì)量，從抽樣分布Fn中重新抽樣的方法如下：

（1）產(chǎn)生［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)r。

（2）求出p=（n-1）r，確定正整數(shù)I，這里I=［p］+1，其中［p］是取p的整數(shù)部分。

（3）令x=x（I）+（p-I+1）（x（I+1）-x（I）），則x～Fn，即為所求的隨機(jī)數(shù)。這種方法不需要求出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)取值區(qū)間為［x（1），x（n）］。

對(duì)于二維分布來(lái)說(shuō)，分別生成每個(gè)維度的隨機(jī)數(shù)分量，然后組合成二維隨機(jī)數(shù)向量即可得到服從聯(lián)合分布的隨機(jī)數(shù)。

3.3 基于二維逆向云的連發(fā)密集度估計(jì)

二維云算法是在一維云的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，本文引入二維逆向云算法對(duì)火炮射擊密集度進(jìn)行分析，在云模型中，火炮每次射擊的彈著點(diǎn)可以看作是一個(gè)云滴，射擊若干次后形成的云團(tuán)的整體特征反映了火炮射擊的總體水平。二維逆向云用{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}這6個(gè)數(shù)字特征來(lái)表示，其中，期望值（Ex1，Ex2）表示射彈散布中心，（En1，En2）表示彈著點(diǎn)相對(duì)于平均點(diǎn)的離散度，超熵（He1，He2）表示熵的離散程度，反映了射擊穩(wěn)定性。

二維逆向云模型對(duì)應(yīng)算法如下［5］：

圖2 二維逆向云發(fā)生器

算法1：二維逆向云發(fā)生器的實(shí)現(xiàn)

輸入：樣本點(diǎn)（x1i，x2i），其中i=1，2，…，N

輸出：二維云的數(shù)字特征（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2）

（1）由云滴的平均值，估算出Ex1，Ex2，求標(biāo)準(zhǔn)差估算出En1，En2；

（2）在（Ex1-5%En1）＜X＜（Ex1+5%En1）內(nèi)截得云滴映射到Y(jié)Z平面上；

（3）在YZ平面上由曲線擬合法，得到Ex2；

（5）求En2的標(biāo)準(zhǔn)差得He2；

（6）同理可得Ex1，En1，He1。

由于立靶密集度試驗(yàn)是分組進(jìn)行的，最后要綜合三組試驗(yàn)結(jié)果才是最終結(jié)果，記第i組試驗(yàn)結(jié)果的云數(shù)字特征為（Exi1，Exi2；Eni1，Eni2；Hei1，Hei2），設(shè)En11＜En21，引入如下云運(yùn)算：

首先進(jìn)行第一組和第二組的計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果和第三組進(jìn)行計(jì)算，得三組數(shù)據(jù)的融合結(jié)果（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2），最后，由云模型的數(shù)字特征計(jì)算中間誤差的公式為：

式中：EY、EZ分別為射彈的方向和高低中間誤差。

3.4 基于二維正向云的連發(fā)密集度還原

通過(guò)二維逆向云發(fā)生器獲得了彈點(diǎn)散布特征后，即可用二維正向云發(fā)生器模擬生成新的彈點(diǎn)散布數(shù)據(jù)，進(jìn)而直觀地看出彈點(diǎn)分布情況。二維云的實(shí)現(xiàn)算法如下［6］：

圖3 二維正向云發(fā)生器

算法2：二維正向云發(fā)生器算法

輸入：（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2，n）。

輸出：drop（x1i，x2i，μi），i=1，2，…，n。

（1）產(chǎn)生一個(gè)期望值為（En1，En2），方差為（He1，He2）的二維正態(tài)隨機(jī)數(shù)（En1i'，En2i'）；

（2）產(chǎn)生一個(gè)期望值為（Ex1，Ex2），方差為（En1i'，En2i'）的二維正態(tài)隨機(jī)數(shù)（x1i，x2i）；

（4）令（x1i，x2i，μi）為一個(gè)云滴；

（5）重復(fù)步驟（1）到（4），直到產(chǎn)生n個(gè)云滴為止。

4 實(shí)例

某航炮立靶密集度指標(biāo)為連發(fā)Ey、Ez不大于2.6 mrad，采用本文提出的火炮連發(fā)密集度分析方法對(duì)其立靶密集度試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。榴彈和穿甲彈的立靶密集度測(cè)試數(shù)據(jù)如表1所示。

正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果表明，每種彈均有未通過(guò)正態(tài)性的情況出現(xiàn)，如果仍然采用正態(tài)方法處理數(shù)據(jù)，并作為評(píng)價(jià)產(chǎn)品立靶密集度的依據(jù)，必將影響試驗(yàn)結(jié)論的可信性。下面應(yīng)用本文方法對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

表1 航炮立靶密集度測(cè)試數(shù)據(jù)

以試驗(yàn)測(cè)試所得數(shù)據(jù)作為原始樣本，首先進(jìn)行蒙特卡羅抽樣，然后利用二維逆向云算法得到反映火炮射擊水平的數(shù)字特征{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}，再根據(jù){En1，En2；He1，He2}計(jì)算出高低和方向中間誤差，表2給出了分析結(jié)果。其中，期望值{Ex1，Ex2}是所有云滴（彈著點(diǎn)）在靶上的平均點(diǎn)的坐標(biāo)，熵{En1，En2}體現(xiàn)了射中的程度，也反映彈著點(diǎn)相對(duì)于平均點(diǎn)的離散度，超熵反映了熵的離散程度，體現(xiàn)了火炮射擊的穩(wěn)定性。由中間誤差的結(jié)果可以看出，該炮兩種彈射擊結(jié)果均小于規(guī)定指標(biāo)，立靶密集度滿足指標(biāo)要求。

表2 立靶密集度分析結(jié)果

根據(jù)云模型的數(shù)字特征進(jìn)一步應(yīng)用二維正向云算法得出火炮榴彈和穿甲彈射彈散布的還原結(jié)果如圖4、圖5所示，左列為彈點(diǎn)散布二維云模型，右列為二維正向云還原的彈著點(diǎn)，可以直觀地看出彈點(diǎn)的分布情況。與文字性、概念性方式相比較，視覺感受無(wú)疑更普遍、更直接、更形象、更富整體性。

圖4 榴彈散布還原

5 結(jié)論

本文提出的基于二維云模型和蒙特卡羅方法的立靶密集度分析方法和國(guó)軍標(biāo)中規(guī)定的立靶密集度數(shù)據(jù)處理方法相比有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）原方法是在假設(shè)彈著點(diǎn)呈正態(tài)分布的前提下進(jìn)行的，而云模型是用來(lái)分析泛正態(tài)分布數(shù)據(jù)的，因此，云方法較原方法更符合火炮連發(fā)射擊彈著點(diǎn)的實(shí)際分布特征；

2）火炮射擊的彈著點(diǎn)是在二維平面上，二維云分析比一維概率統(tǒng)計(jì)分析更全面、更符合火炮實(shí)際作戰(zhàn)評(píng)估；

3）二維逆向云的數(shù)字特征不僅提供評(píng)估精度所需的射擊的離散度，其中的超熵更體現(xiàn)了射擊的穩(wěn)定性，較原方法具有更豐富的評(píng)估信息；

4）二維正向云還原彈著點(diǎn)散布特征的方法，為小樣本試驗(yàn)客觀評(píng)估武器精度提供了直觀可信的理論依據(jù)。

圖5 穿甲彈散布還原

［1］GJB 2974-1997.火炮外彈道試驗(yàn)方法［S］.北京：總裝備部，2006.

［2］李德毅，孟海軍，史雪梅.隸屬云和隸屬云發(fā)生器［J］.計(jì)算機(jī)研究和發(fā)展，1995，32（6）16-21.

［3］王寶元，衡剛，周發(fā)明，等.火炮立靶密集度測(cè)量方法［J］.測(cè)試技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，25（6）：529-535.

［4］鄭小兵，董景新，張志國(guó)，等.基于蒙特卡羅法的彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)密集度驗(yàn)前估計(jì)［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，19（1）：116-121.

［5］楊朝暉，李德毅.二維云模型及其在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，1998，21（11）：961-969.

［6］呂輝軍，王曄，李德毅，等.逆向云在定性評(píng)價(jià)中的應(yīng)用.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2003，26（8）：1009-1014.

Density Analysis and Prediction of Automatic Gun under Small Sample Conditions

YANG Jie，ZHAO Bao-wei，LIU Lin，SUN Yi-yang
（Huayin Ordnance Test Center，Huayin 714200，China）

In order to solve the problem that there is no effective dispersion investigating method to analyze automatic gun distribution which is not normal，a new method based on 2D cloud model and Monte-calo method is proposed.First the Monte-calo resample method is used to increase the sample quantity，then 2D backward cloud model is used to analyze the gun shooting distribution，at last 2D forward cloud model is used to produce new shooting distribution data which show the shooting result intuitively.Example shows that，this method is consistent with the automatic gun shooting distribution，the analysis result is more precise which provides an effective method for the base to analyze the test data of automatic gun dispersion.

automatic gun dispersion，small sample，2D cloud model，Monte-calo method

TJ31

A

1002-0640（2015）02-0165-05

2014-01-25

2014-02-06

楊杰（1983-），女，河北棗強(qiáng)人，工學(xué)博士。研究方向：火炮試驗(yàn)與鑒定。